精品解析：四川省内江市2024-2025学年八年级下学期下学期期末考试数学试题

2025年内江市义务教育阶段八年级质量监测 数学 本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将测评卷和答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义．利用分式定义，分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可． 【详解】解：A、是多项式，故本选项不符合题意； B、是分式，故本选项符合题意； C、是单项式，故本选项不符合题意； D、是多项式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 北斗导航是我国的定位神器，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，能为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达12纳米（即米），则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，根据点到坐标轴的距离及所在象限确定坐标．点到x轴的距离为纵坐标绝对值，到y轴的距离为横坐标绝对值，结合第四象限坐标符号特征求解． 【详解】解：点到轴的距离为，故纵坐标绝对值为，即，得． 点到轴的距离为，故横坐标绝对值为，即，得． 第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，故，． 因此，点的坐标为， 故选：D． 4. 将分式中的的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的6倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 当分式中的与分别扩大为原料的3被后：， ． 则扩大为原料的3倍． 故选：A． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限； 当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限． 观察图形可知，只有A选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键． 6. 如图，在中，，，平分，平分．那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键．由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：C． 7. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ） A. ①对角相等 B. ③对边相等 C. ②对角线互相垂直 D. ④邻角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可求解，掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、平行四边形的对角都相等但不一定是矩形，该选项错误； 、矩形的对边都相等但不一定是正方形，该选项错误； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项正确； 、菱形的邻角都互补但不一定是正方形，该选项错误； 故选：． 8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数解析式可得反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再根据即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算．根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 10. 若关于的方程无解，那么的值是（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根． 将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可； 【详解】解：将分式方程变为整式方程得：． 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 11. 如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等内容，将转化为是解题的关键．先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】如图，连接，作点关于点的对称点，连接 四边形是矩形 ， ∵ ， 的最小值为 故选：D． 12. 如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】连接PC，证明四边形PECF是矩形；根据正方形是轴对称图形，矩形的性质可判断AP= PC=EF； 延长AP，交EF于点N，证明∠EPN=∠BAP =∠PCE=∠PFE，可判断③正确；再证明∠PNF=90°, 可判断②正确；当AP在正方形的对角线AC上时，AP取得最小值，利用，可知④正确；由△PDF是等腰直角三角形，△BPE是等腰直角三角形，结合勾股定理可判断⑤正确；从而可得答案． 【详解】解：根据题意不能证明， 故①不正确； 连接PC， ∵ 正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD， ∴ 四边形PECF是矩形； ∴PC=EF， ∠EPF=∠PFC=∠PEC=90°， 根据正方形是轴对称图形可得：AP=PC， ∴AP=EF； 延长AP，交EF于点N， 由题意可得：AB∥PE， 则∠EPN=∠BAP， 由正方形的对称性可得：∠BAP=∠BCP， 由矩形的对称性可得：∠PCE=∠EFP， ∴ ∠EPN=∠BAP =∠PCE=∠PFE，故③正确； ∵∠EPN+∠NPF=90°， ∴∠PFN+∠FPN=90°， ∴∠PNF=90°， ∴ AP⊥EF；故②正确； 当AP在正方形的对角线AC上时，AP取得最小值， ∵正方形边长为2， ∴AP的最小值为， ∵， ∴EF的最小值为，故④正确； 由题意可得：， ∵BP是对角线， ∴△PDF是等腰直角三角形，同理：△BPE是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 故⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．解题的关键是熟练正方形与矩形的对称性． 第Ⅱ卷（非选择题共72分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上） 13. 使分式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据“分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义”可得，解之即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 14. 一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的方差是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查方差，解题关键在于掌握方差的计算公式．先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 则方差； 故答案为． 15. 如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分， ， 又 ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 16. 如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算；由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为S， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）6；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则和方法是解答本题的关键． （1）原式分别化简，然后再进行加减运算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ∵， ∴ ∴原式． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 19. 中华优秀传统文化源远流长．《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》是我国“四大古典名著”．某中学为打造“人爱读书，人人好读书”的书香校园，开展以“整本书阅读——我喜欢的古典名著”阅读情况调查活动，就“四大古典名著你读完了几部”的问题从全校各年级抽取部分学生进行了调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）学校抽取被调查的学生总人数为________，并将条形统计图补充完整； （2）本次调查“四大古典名著你读完了几部”所得数据的众数是________，中位数是________； （3）“名著达人”的评选条件是读完了其中3部及以上，在全校1200名学生中，估计有多少名同学可以入选“名著达人”． 【答案】（1）40人；见解析 （2）1；2 （3）540名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数和众数： （1）先用1部的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出2部的人数即可补全统计图即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用1200乘以样本中3部和4部的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴一共调查了40人， ∴“2部”的人数为（人）， 补全统计图如下 【小问2详解】 解：∵1部的人数最多， ∴众数为1部， ∵40名学生看的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2， ∴中位数为2部； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计有540名同学可以入选“名著达人”． 20. 教育部印发《义务教育课程方案和课程标准》，将劳动课程从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地每捆种菜苗价格的2倍，用500元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的种菜苗少10捆． （1）求菜苗基地每捆种菜苗的价格； （2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是35元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共200捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，求本次购买最少花费多少元． 【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元 （2）本次购买最少花费是6000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用500元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的A种菜苗少10捆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗，根据购买A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设本次购买共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗的价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为25元； 【小问2详解】 解：设购买m捆A种菜苗，则购买捆B种菜苗， 根据题意得：， 解得：． 设本次购买共花费w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值． 答：本次购买最少花费是6000元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，根据图象直接写出不等式的解集； （3）点关于原点的对称点是点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可； （3）求出点坐标，进而求出的解析式，进而求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：把、，代入，得：， 解得：， ∴、， ∴， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：等式的解集为； 【小问3详解】 由（1）知：、， ∴， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴． 22. 小田同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的数是关系，下面是他的思考过程． （1）探究一 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） （2）探究二 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，小田发现在中，若，，则①的结论依然成立，小田同学已写出部分证明过程，请你跟随小田的思路，完成余下的证明过程． 证明：如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，易证， ，，…… （3）拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为点，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①②见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （2）①根据矩形，得到，结合已知，， 得，继而得到，解答即可． ②利用平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可． （3）根据题意，中，，，，得到，根据前面的结论得，得到继而得到（舍去），分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况计算即可． 【小问1详解】 解：根据菱形的性质，得，， 根据勾股定理得， 变形得， 整理得． 故答案为：． 【小问2详解】 ①解：根据矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． ②如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点， 易证， ，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意，中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∵点B绕点O旋转，点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， 当顺时针旋转时， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当顺时针旋转时， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转性质，平行线的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内江市义务教育阶段八年级质量监测 数学 本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将测评卷和答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 北斗导航是我国的定位神器，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，能为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达12纳米（即米），则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将分式中的的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的6倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，平分，平分．那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 7. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ） A. ①对角相等 B. ③对边相等 C. ②对角线互相垂直 D. ④邻角互补 8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 10. 若关于的方程无解，那么的值是（ ） A. 4 B. C. D. 3 11. 如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 12. 如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题共72分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上） 13. 使分式有意义的x的取值范围是______． 14. 一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的方差是________． 15. 如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为________． 16. 如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 19. 中华优秀传统文化源远流长．《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》是我国“四大古典名著”．某中学为打造“人爱读书，人人好读书”的书香校园，开展以“整本书阅读——我喜欢的古典名著”阅读情况调查活动，就“四大古典名著你读完了几部”的问题从全校各年级抽取部分学生进行了调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）学校抽取被调查的学生总人数为________，并将条形统计图补充完整； （2）本次调查“四大古典名著你读完了几部”所得数据的众数是________，中位数是________； （3）“名著达人”的评选条件是读完了其中3部及以上，在全校1200名学生中，估计有多少名同学可以入选“名著达人”． 20. 教育部印发《义务教育课程方案和课程标准》，将劳动课程从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地每捆种菜苗价格的2倍，用500元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的种菜苗少10捆． （1）求菜苗基地每捆种菜苗的价格； （2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是35元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共200捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，求本次购买最少花费多少元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，根据图象直接写出不等式的解集； （3）点关于原点的对称点是点，求的面积． 22. 小田同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的数是关系，下面是他的思考过程． （1）探究一 如图1，正方形的边长为，则． 如图2，菱形的边长为，则________．（请用含的代数式表示） （2）探究二 ①如图3，在矩形中，，，则________．（请用含、的代数式表示） ②如图4，小田发现在中，若，，则①的结论依然成立，小田同学已写出部分证明过程，请你跟随小田的思路，完成余下的证明过程． 证明：如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，易证， ，，…… （3）拓展应用 在如图4的中，，，，将点绕点旋转，点的对应点为点，在旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $