微专题01平行线中常见的几何模型（M字模型与笔尖模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题01 平行线中常见的几何模型 M字（锯齿）型与笔尖型 平行线是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而平行线的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将平行线的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决平行线的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“M字（锯齿）、笔尖”模型． 模型来源 “M字(锯齿)型”与“笔尖型”是平行线中的重要模型，没有明确的起源时间或历史背景，是从事数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用平行线的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 M字（锯齿）模型 一、例题讲模型 例1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，求∠BCE的度数. A．70° B．65° C．35° D．5° 分析：作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 解：作CF∥AB，如图 ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 二、提炼模型 1．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 2．如图，，则 ． 3．如图，，，则，和的数量关系是 ．    4．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）； （2）． 5．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 笔尖模型 一、例题讲模型 例2．已知如图，，求的度数. A． B． C． D． 分析：本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 解：过点作平行线，如图， ， ． 二、提炼模型 1．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ． 3．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    4．综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 5．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 模型运用 1．在图中，，与又有何关系？ 2．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 3．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 4．（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 5．（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 6．已知，直线AB∥CD （1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 7．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 8．如图，已知，分别探究下面三个图形中和，的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性． 结论：（1）______________________________________； （2）___________________________________________； （3）____________________________________________； 选择你喜欢的任意一个结论，进行说理证明． 9．（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系. （2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明. （3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 10．(1)问题发现：如图①，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠𝐵 +∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∵ 𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知)，𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法)． ∴ 𝐸𝐹//𝐷𝐶( )． ∴ ∠𝐶 = ∠𝐶𝐸𝐹( ) ∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴ ∠𝐵 = ∠𝐵𝐸𝐹(同理)． ∴ ∠𝐵 + ∠𝐶 = (等量代换) 即∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐶． (2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠𝐵 + ∠𝐶 = 360°−∠𝐵𝐸𝐶，请说明理由． (3)解决问题：如图③，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=120°，∠𝐴𝐸𝐶=80°，请直接写出∠𝐴的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 平行线中常见的几何模型 M字（锯齿）型与笔尖型 平行线是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而平行线的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将平行线的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决平行线的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“M字（锯齿）、笔尖”模型． 模型来源 “M字(锯齿)型”与“笔尖型”是平行线中的重要模型，没有明确的起源时间或历史背景，是从事数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用平行线的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 M字（锯齿）模型 一、例题讲模型 例1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，求∠BCE的度数. A．70° B．65° C．35° D．5° 分析：作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 解：作CF∥AB，如图 ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 二、提炼模型 1．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【解析】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 2．如图，，则 ． 【答案】 【解析】过点作的平行线 ， 又 又 . 故答案为：． 3．如图，，，则，和的数量关系是 ．    【答案】 【解析】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）过点作， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ，， ． （2） ， ， 又∵∠BED=∠BEF+∠DEF， ． 5．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 笔尖模型 一、例题讲模型 例2．已知如图，，求的度数. A． B． C． D． 分析：本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 解：过点作平行线，如图， ， ． 二、提炼模型 1．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，        ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 2．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ． 【答案】 【解析】解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    【答案】540° 【解析】解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°．    4．综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）110°；（2），理由见解析 【解析】解：（1）过P作， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）， 如图3，过P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； 5．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【解析】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 模型运用 1．在图中，，与又有何关系？ 【答案】 【解析】分别过，，作的平行线， 则，，，， ， 即，． 2．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【解析】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 3．（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】（1）证明：如图①，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵， ∴， ∴（等量代换） 即. （2）证明：如图②，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）. ∴，， ∴， ∴. （3）解：如图③，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 5．（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°； ②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析 【解析】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN， ∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴结合（1）问得： 所有角的和为（n+1）•180°． 6．已知，直线AB∥CD （1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【解析】解：（1）如图，过点G作GE∥AB， ∵AB∥GE， ∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A=140°， ∴∠AGE=40°． ∵AB∥GE，AB∥CD， ∴GE∥CD． ∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠C=150°， ∴∠CGE=30°． ∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°． （2）如图，过点G作GF∥AB ∵AB∥GF， ∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥GF，AB∥CD， ∴GF∥CD． ∴∠C=∠CGF． ∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ． ∵∠A=x°，∠C=y°， ∴∠AGC=（x+y）°． （3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD． ∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD． ∵∠EFN+∠NFG=∠EFG， ∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 7．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【解析】（1）解：如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴∠P=80°． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∴ ∵， ． （3）如图分别过点、点作、 ∵， ∴． ∴， ， ． ∴ ∵， ， ， ∴ ∴ 故答案为：． 8．如图，已知，分别探究下面三个图形中和，的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性． 结论：（1）______________________________________； （2）___________________________________________； （3）____________________________________________； 选择你喜欢的任意一个结论，进行说理证明． 【答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC+∠PAB =∠PCD；答案不唯一，证明见解析 【解析】解：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； （2）∠APC=∠PAB+∠PCD； （3）∠APC+∠PAB =∠PCD； 选择（1）： 过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠1+∠PAB=180°， ∠2+∠PCD=180°， ∵∠1+∠2=∠APC ， ∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； 选择（2）： 过点P作PF∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥PF∥CD， ∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2， ∵∠1+∠2=∠APC， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD； 选择（3）： ∵AB∥CD， ∴∠1=∠PCD， ∵∠1=∠PAB+∠APC， ∴∠PCD=∠PAB +∠APC． 9．（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系. （2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明. （3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 【答案】（1）详见解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【解析】（1）过点E作EF∥AB     ∵∠B=25° ∴∠BEF=∠B=25° ∵∠BED=80° ∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55° ∵∠D=55° ∴∠D=∠DEF ∴EF∥CD         ∴AB∥CD      （2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF， ∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠B， ∵CD∥EF， ∴∠DCF=∠F， ∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F， 即∠C=∠B+∠F．      （3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4， 如图， 作MN∥AB， 由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7， ∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5. 10．(1)问题发现：如图①，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠𝐵 +∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∵ 𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知)，𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法)． ∴ 𝐸𝐹//𝐷𝐶( )． ∴ ∠𝐶 = ∠𝐶𝐸𝐹( ) ∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴ ∠𝐵 = ∠𝐵𝐸𝐹(同理)． ∴ ∠𝐵 + ∠𝐶 = (等量代换) 即∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐶． (2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠𝐵 + ∠𝐶 = 360°−∠𝐵𝐸𝐶，请说明理由． (3)解决问题：如图③，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=120°，∠𝐴𝐸𝐶=80°，请直接写出∠𝐴的度数． 【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）见解析；（3）20° 【解析】解：（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠C=∠CEF．（两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠BEF（同理）， ∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换） 即∠B+∠C=∠BEC， 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF； （2）证明：如图②，过点E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°， ∴∠B+∠C+∠AEC=360°， ∴∠B+∠C=360°-∠BEC； （3）解：如图③，过点E作EF∥AB， ∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF， ∵∠C=120°，∠AEC=80°， ∴∠CEF=180°-120°=60°， ∴∠BEF=80°-60°=20°， ∴∠A=∠AEF=20°． 故答案为：20°． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$