专题10：二次根式的运算（2）（4大知识点+9大题型+真题检验） 暑假班预修提升课 2025—2026学年沪教版（五四制）数学年新八年级上册

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题10 二次根式的运算（2） 知识点一、 分母有理化 有理化因式 1. 分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。 分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 知识点二、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 知识点三、二次根式的应用 1. 二次根式的比较大小 ①能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； ②不能化简成同类二次根式的： a.正数大于负数； b.同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 2．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01：分母有理化 【名师点拨】分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式； 【例1】把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）． 【例3】化简． （1）； （2）． 【例4】把下列各式分母有理化． （1）； （2）． 【例5】． 【跟踪训练】 1．分母有理化： （1） ；（2） ；（3） ． 2．分母有理化： ． 3．计算：______． 4．计算： 5．化简：； 6．计算： 题型02：分母有理化因式 【名师点拨】两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个． 常见的互为有理化因式的形式有: 与互为有理化因式，与 互为有理化因式,与互为有理化因式。 【例6】下列各组中互为有理化因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪训练】 1．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 题型03：分母有理化的应用 【例7】式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知则a与b的关系是(  ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【跟踪训练】 1．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形： 甲：； 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是(　　) A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2.【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 题型04：比较二次根式的大小 【例9】比较大小： （填“”、“”、“”）． 【例10】比较大小：______． 【例11】比较大小： （1） ； （2） ． 【跟踪训练】 1.比较大小：（1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）_________． 2.先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 3.阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 4.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 5.观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 题型05：二次根式的混合运算 【例12】计算： 【例13】计算： 【例14】计算：． 【例15】计算：． 【例16】计算：． 【跟踪训练】 1.计算： (1)； (2)． 2.计算： (1) (2) (3) 3．计算： (1)； (2)． 题型06：解含二次根式的方程或不等式 【例17】解方程：． 【例18】不等式的解集是 ． 【跟踪训练】 1.解方程：． 2.不等式的解集是 . 3.不等式的解集是 ． 4.解不等式： 5．解不等式：； 题型07：已知条件式，化简求值 【例19】已知，，则______． 【例20】已知，则的值． 【例21】如果，，那么 ． 【例22】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知：，，求：的值． 2．若，则 ． 3．已知，则 ． 4．先化简，再求值： 已知a＝，求的值． 5．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 题型08：解决实际问题 【例23】用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪训练】 1．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 2.站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 3.站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 4.“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 5.已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 题型09：阅读理解问题 【例24】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【例25】阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________． ； (2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【跟踪训练】 1.阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 一、选择题 1．（2022八年级上海市徐汇中学校考期中）下列各式中是有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024上海八年级课时作业）计算：（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（2024上海八年级课时作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024上海八年级课时作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024上海八年级课时作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024上海八年级课时作业）若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）的一个有理化因式是 ． 8．（2024上海八年级课时作业）计算结果为 ． 9．计算： ． 10．计算： ． 11．比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 12．计算： ． 13．的整数部分是_______ 14．当时，式子 ． 15．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 16．比较大小 3、 解答题 17．（2024上海八年级课时作业）计算：； 18．计算：． 19．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 20.（23-24八年级上·上海宝山·期末）计算：． 21．（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 22．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 23．解不等式：． 24．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知求：的值． 25．现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为_____； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 26．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 27．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题10 二次根式的运算（2） 知识点一、 分母有理化 有理化因式 1. 分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。 分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 知识点二、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 知识点三、二次根式的应用 1. 二次根式的比较大小 ①能化简成同类二次根式的，化简后比较系数，系数大的二次根式就大； ②不能化简成同类二次根式的： a.正数大于负数； b.同为正数时，进行平方运算，结果大的二次根式就大； 2．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型01：分母有理化 【名师点拨】分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式； 【例1】把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）． 【例3】化简． （1）； （2）． 【例4】把下列各式分母有理化． （1）； （2）． 【例5】． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据完全平方公式和平方差公式将原式变为，再利用分式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可． 解： ． 【点睛】 本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【跟踪训练】 1．分母有理化： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，根据分母有理化的方法，分子，分母同乘有理化因式，逐一进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：． 2．分母有理化： ． 【答案】 【分析】根据原式，计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运． 3．计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】 先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 解： 故答案为：． 【点睛】 本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解． 【解析】解： 5．化简：； 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，原式进行分母有理化后再进行计算即可得出答案 【解析】解： 6．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【解析】 ． 题型02：分母有理化因式 【名师点拨】两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个． 常见的互为有理化因式的形式有: 与互为有理化因式，与 互为有理化因式,与互为有理化因式。 【例6】下列各组中互为有理化因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义判断即可. 【详解】A. =,不符合题意;     B. =,不符合题意; C. =    ,符合题意; D. ·=,不符合题意; 故选C. 【点睛】本题考查有理化因式得定义,关键在于掌握定义化简判断. 【跟踪训练】 1．的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【解析】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 2．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【解析】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：C． 3．下列式子中，是的有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解． 【解析】由题意，得的有理化因式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式． 题型03：分母有理化的应用 【例7】式子的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可． 【解析】解：的倒数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化． 【例8】已知则a与b的关系是(  ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】把的分子分母同乘（），进一步化简与a比较得出结论即可． 【解析】== （）， a=， ∴a与b互为相反数. 故选A. 【点睛】本题考查分母有理化. 【跟踪训练】 1．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形： 甲：； 乙：． 关于这两种变形过程的说法正确的是(　　) A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m=n这种情况． 【解析】甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m=n则化简不成立； 乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确． 故本题选D． 【点睛】本题考查的是分母有理化的计算方法． 2.【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 题型04：比较二次根式的大小 【例9】比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【例10】比较大小：______． 【答案】＞ 【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵ 而， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小． 【例11】比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪训练】 1.比较大小：（1）_________； （2）_________； （3）_________； （4）_________． 【答案】     > ，     < ，     > ，     < 【解析】 【分析】 （1）先将，变形为 ，有，即可比较大小； （2）利用作差法，即可比较大小； （3）利用作商法，即可比较大小； （4）先将，化为，，又有，即可比较大小． 解：（1）∵，且， ∴， ∴； （2）∵，又∵， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ， ， ∴， 即． 故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<． 【点睛】 本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2.先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 【答案】（1）＜；（2）＜ 【分析】（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：＜； （2）∵()()=1，()()=1， ∴，， 又∵＞， ∴＜，即：＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． 3.阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________． (2)应用：化简． (3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；② 分子分母都乘以可得答案； （2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可； （3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解：①； ②； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题的关键． 4.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小： （填“”，“”或“”）； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化得到，，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到，则移项得到，再两边平方可得到，然后把变形位，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的大小比较和计算． （1）用平方差公式进行分母有理化； （2）先分子有理化再比较； （3）先分母有理化再计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 题型05：二次根式的混合运算 【例12】计算： 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【例13】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算，即可解题． 【详解】解：原式          ． 【例14】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及性质是解题的关键．根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算乘法和分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【例15】计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了二次根式的化简和分母有理化，根据二次根式的化简法则依次化简后再计算加减法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 【例16】计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】 先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果． 解： =． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 【跟踪训练】 1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先化简各二次根式，再用二次根式加减法计算括号内的，最后用二次根式除法法则计算即可； （2）先运用平方差与完全平方公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和使用平方差与完全平方公式简便计算是解题的关键． 2.计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则即可解答； （2）根据二次根式的混合运算法则即可解答； （3）根据二次根式的混合运算法则即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算法则，二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案. (1) 解： (2) 解： 【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键. 题型06：解含二次根式的方程或不等式 【例17】解方程：． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ ， ∴方程的解为． 【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【例18】不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先移项，再合并，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【跟踪训练】 1.解方程：． 【答案】 【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算． 2.不等式的解集是 . 【答案】/ 【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 即 ∵， ∴ ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 3.不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集． 【详解】解： 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化1，可得：， 分母有理化，可得：， ∴不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4.解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】 根据解不等式的步骤解不等式即可． 解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得，即． 【点睛】 本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略． 5．解不等式：； 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元一次不等式和分母有理化，先将含有x的项移到不等式的左边，不含x的项移到不等式的右边，运用不等式的性质进行解答即可 【解析】解：， ， ， ， ， 解得， 题型07：已知条件式，化简求值 【例19】已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可． 解：， 将，代入 得：原式=， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键． 【例20】已知，则的值． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据分母有理化化简x，再把原式变形即可求解． ∵ ∴． 【点睛】 此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 【例21】如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘法公式，二次根式的性质，分母有理化，掌握完全平方公式，二次根式的运算方法是解题的关键． 根据题意，运用配方法将配成完全平方公式，再判定，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴将配方得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例22】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 【跟踪训练】 1.已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 2．（21-22八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 4．先化简，再求值： 已知a＝，求的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】 先化简得，再将代入即可得． 解：原式= = = 当代入得： ． 【点睛】 本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 5．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 题型08：解决实际问题 【例23】用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 【跟踪训练】 1．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、几何体的平面展开图，分两种情况展开，再结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将长方体展开如图（1）所示：此时， 将长方体展开如图（2）所示：此时， ∵， ∴它所行的最短路线的长是， 故答案为：． 2.站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 【答案】160 【分析】把h=2000代入公式进行即可. 【详解】解：把h=2000代入公式得 所以答案是：160. 【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键. 3.站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 【答案】 【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到． 【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为，现在的水平线的距离为，，即他看到的水平线的距离是原来的倍． 4.“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 【答案】 【分析】根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． 5.已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 题型09：阅读理解问题 【例24】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 【例25】阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________． ； (2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2021 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1.阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 一、选择题 1．（2022八年级上海市徐汇中学校考期中）下列各式中是有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】观察各选项，只有B选项中有一项与所给式子中一项的符号相同，另一项符号相反， = 故选：B 【点睛】本题主要考查运用平方差公式对式子有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式． 2．（2024上海八年级课时作业）计算：（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 原式． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 3．（2024上海八年级课时作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2024上海八年级课时作业）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．利用二次根式的乘除法和加减法法则进行计算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（2024上海八年级课时作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加减法运算法则判断A、B选项，根据二次根式化简判断C选项根据二次根式的乘法运算法则判断D选项即可． 【详解】A． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B． 和，不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故本选项不符合题意； C． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； D． ，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（2024上海八年级课时作业）若a＝，b＝2+，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值． 【解析】a＝•＝． ∴． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海崇明·期末）的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 【详解】解：， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2024上海八年级课时作业）计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质，根据二次根式的乘除法法则进行计算即可求解，掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，原式先化简分子中的二次根式，再计算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 12．计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，将各式进行分母有理化后再计算即可得出答案． 【详解】解： 原式 故选：C． 14．当时，式子 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 16．比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 17．（2024上海八年级课时作业）计算：； 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确化简二次根式是计算本题的关键． 先去括号和分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【解析】 ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先算除法及乘法，再算加减即可． 【解析】解： ． 19．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20.（23-24八年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 先根据完全平方公式计算，然后进行分母有理化后合并即可． 【详解】解： ． 21．（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 22．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．解不等式：． 【答案】 【分析】先化简二次根式，然后根据解不等式的方法和步骤解不等式即可； 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算、解一元一次不等式；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 24．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知求：的值． 【答案】77 【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可． 【详解】解： 原式=． 故原式的值为77． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案． 25．现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为_____； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不能截出，理由见解析． 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长； （2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 故答案为：； （2）解：由题意得，截出的正方形纸片B的边长为， 则矩形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 26．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 27．（24-25七年级上·山东淄博·期末）细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … (1)请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； (2)推算出的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$