2026年八年级数学秋季开学·学情自测卷01（上海专用，沪教版新教材八上第19～20章实数+二次根式）

**基本信息** 2026年八年级开学数学学情自测卷，以基础巩固与能力创新结合的方式，覆盖实数运算、二次根式等核心知识，渗透抽象能力、推理意识与几何直观，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|科学记数法、二次根式意义、实数性质|结合铁路钢轨伸缩情境考查科学记数法，注重基础概念辨析| |填空题|12/24|立方根、无理数识别、同类二次根式|设置黄金分割数规律题，渗透数学文化与推理意识| |解答题|8/58|实数计算、数轴应用、规律探究、几何变换|24题规律探究培养推理能力，26题剪拼正方形体现几何直观与创新意识|

2026年秋季八年级开学·学情自测卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 B B A B B A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 9. 10. 1 11. 12. 13. 14 . 15. 或 16 . 17. 18. 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 【详解】（1）解：                   ∴ 或                               解得：或……（3分） （2）解： ∴ ∴ 解得：……（6分） 20．（6分） 【详解】解： ……（2分） ……（4分） ．……（6分） 21．（6分） 【详解】解：原式……（2分） ……（3分） ……（4分） ．……（6分） 22．（6分） 【详解】解：根据数轴可得，且，……（2分） ∴，……（3分） ∴．……（6分） 23．（8分） 【详解】（1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为；……（2分） （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为；……（4分） （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1．……（8分） 24．（8分） 【详解】（1）解：，验证如下： ；……（4分） （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：．……（8分） 25．（8分） 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：；……（6分） （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为．……（8分） 26．（10分） 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间；……（3分） （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或；……（6分） （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为．……（10分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共24分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题（共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•A4考试版 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 3．已知，那么（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 5．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 6．设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．已知，则的立方根是___________． 8．已知是两个连续整数，若，则___________． 9．近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 10．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 11．实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 12．如果，，那么的值是__________． 13．化简：_____． 14．不等式的解集是_______． 15．在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 16．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 17．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1) (2) 20．（6分）计算：． 21．（6分）计算：． 22．（6分）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    23．（8分）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 24．（8分）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 25．（8分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 26．（10分）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•A4考试版 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 3．已知，那么（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 5．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 6．设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．已知，则的立方根是___________． 8．已知是两个连续整数，若，则___________． 9．近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 10．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 11．实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 12．如果，，那么的值是__________． 13．化简：_____． 14．不等式的解集是_______． 15．在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 16．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 17．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1) (2) 20．（6分）计算：． 21．（6分）计算：． 22．（6分）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    23．（8分）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 24．（8分）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 25．（8分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 26．（10分）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂☐ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1[A][B][c][D] 3 [A][B][c][D] 5[A][B][c][D] 2[A][B][G][D] 4 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 二、填空题（每小题2分，共24分） 7. 8. 9. 10. 11 12 13 16. 17. 18 三、解答题（共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(6分) 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(6分) 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 图(a) 图(b) 方43之102方→ 图(c) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: : 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 O 数学●A4考试版 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) : 1.铁路钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩0.0000118米.将0.0000118这个数用科学记数法表示为() A.1.18×104 B.1.18×10- C.1.18×10-6 D.1.18x10- 2.如果二次根式√2x-4有意义，那么实数x满足条件的范围是() : A.x≠2 B.x22 C.x≤2 D.x≠-2 : 3.已知2025=a,202.5=b,那么2.025=（) . : A.0.1a B.10a c.0.1b D.10b .: 4.下列说法错误的是() A.3是9的平方根 B.√16的平方根为±4 : C.-27的立方根为-3 D.在实数范围内，负数没有平方根 5.下列各式中互为有理化因式的是( ) : A. √a+b和Va-b B.-√x-1和Vx-1 .: C.√5-√2和-√5+√2 D.x√a+Wb和x√a+Wb 6.设4-√2的整数部分为a,小数部分为b,则a+的值为(). 斟 A.3+② 8.1+② C.3② 0.1-② 2 .: 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分) : 7.已知V√x-4+√2+y=0,则y的立方根是 8.已知a,b是两个连续整数，若a<√7<b,则V= : 9.近似数1.50所表示的准确数x的取值范围是 泳 10.若3x+1和x-1是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 区 11.实数-√8,3.14,27,0.1010010001，-0.0272727…("27"依次不断出现)中，其中无理数是 : 12.如果√0.1521=0.39，√=3.9，那么x的值是 13.化简：√32b(a>0)= 试题第1页（共6页） : 学科网·上好课 14.不等式√3x-2x>1的解集是 15.在数轴上有两个点A和点B,点A所对应的实数是√5，A、B两点的距离为3，那么点B所对应的实数 是 16. 比较大小： √6-5 √20（填“>”，“=”，“<"）. 17.已知最简二次根式√9-a2与√a+7是同类二次根式，则a=」 18.人们把5山这个数叫做黄金分制数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数。设 2 a5-b5+则b=1,记a6s11 1 1 一十 2 2 =1+d+1+8’,Sm1+a丽+1+6丽， 则VS+S2+S3++S03= 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(6分)计算： (1)(x-1)2=25 (2)(x+1)3-64=0 20.(6分)计算：V-3)+-27-5-2. 试题第2页（共6页） 可学科网·上好课 21.6分)计：324侣+烟-25. 22.(6分)实数a五c在数轴上的位置如图所示，化简代数式√匠-a+b-b-c)· 试题第3页（共6页） 23.(8分)已知点AB、C、D在数轴上，其中AB分别表示数1-√5和1+√5.点C向左平移4个单位 长度后与点B重合. (1)求线段AB的长； (2)求点C表示的数： (3)对于数轴上三点，点A、点B关于点D对称，求点D对应的实数 卡 张 游 数 游 .· 24.(8分)观察下列各式及其验证过程： 时 验证： 111 1 212 性 viGs a-s 验证： 1 3二_15 V2x32x43V8 ,验证 414 V3x4x5 V3x4x541h5: 烯 烯 (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想 111 的变形结果并进行验证. 456 (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥1)表示的等式，不需要证明. 试题第4页（共6页) 25.(8分)数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换.请阅读下列素材，完成各题. [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为α，点B表示的数为b,点C表示 O 的数为c.已知a、b、c满足a+√5+(6+c)2=-√b-7 B (1)在“灵动数轴"中，a= ,b= ,C= (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数 试题第5页（共6页） 可学科网·上好课 26.(10分)小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个 形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得 到了无理数√2.他受此启发：将一个由5个边长为1c的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大 的正方形（没有重叠和空隙）. 图(a) 图(b) 5-4-3210123→ 图(c) (1)图(b)中大正方形的边长m= cm,边长m介于两个连续整数 和 之间. (2)如图()是一个数轴，把图(b)中大正方形旋转使得边AB落到数轴上，且点A与-2重合，则点B在数轴 上表示的数为 (3)在(2)的基础上，点B在点A的右侧，点P表示数1，将数轴沿着点P所在的某条直线翻折使得点B恰 好落在数轴上的点B'处，此时点B'所表示的数为 试题第6页（共6页） 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 2．如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴． 故选：B． 3．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 4．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 5．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 6．设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分为， ∴ ． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．已知，则的立方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 8．已知是两个连续整数，若，则___________． 【答案】 【详解】解：因为，所以，即． 由于，是两个连续整数，且， 因此，． 则． 故答案为． 9．近似数所表示的准确数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：近似数表示的数的取值范围是． 故答案为：． 10．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 11．实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 12．如果，，那么的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 13．化简：_____． 【答案】 【详解】解：． 14．不等式的解集是_______． 【答案】 【详解】解： ， ． 15．在数轴上有两个点和点，点所对应的实数是两点的距离为3，那么点所对应的实数是__________． 【答案】或 【详解】解：当点B在点A的右侧时，点B对应的数是； 当点B在点A的左侧时，点B对应的数是； 综上，点所对应的实数是或． 故答案为：或． 16．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 17．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 18．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【详解】∵， ∴， ， …… ， …… ， ∴， ∴． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1) (2) 【详解】（1）解：                   ∴ 或                               解得：或……（3分） （2）解： ∴ ∴ 解得：……（6分） 20．（6分）计算：． 【详解】解： ……（2分） ……（4分） ．……（6分） 21．（6分）计算：． 【详解】解：原式……（2分） ……（3分） ……（4分） ．……（6分） 22．（6分）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    【详解】解：根据数轴可得，且，……（2分） ∴，……（3分） ∴．……（6分） 23．（8分）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【详解】（1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为；……（2分） （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为；……（4分） （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1．……（8分） 24．（8分）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【详解】（1）解：，验证如下： ；……（4分） （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：．……（8分） 25．（8分）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：；……（6分） （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为．……（8分） 26．（10分）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间；……（3分） （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或；……（6分） （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为．……（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $