精品解析： 江苏省淮安市盱眙县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

盱眙县2024－2025学年度第二学期期末质量监测试卷 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，选出一个正确答案．） 1. 绿色环保，人人参与，下列环保图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查最适合普查的是（ ） A. 了解淮河中鱼的种类 B. 了解一个班学生一分钟跳绳成绩 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 了解全国中小学生书面作业总量 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线与边相交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 6. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 7. 为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A B. C. D. 8. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ） A. 126 B. 108 C. 90 D. 72 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10 “某人骑车经过十字路口，刚好遇到绿灯”属于____事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________． 12. 已知反比例函数，其图象在所在每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值是_______． 14. 如图，点M是反比例函数图象上的一点，轴于点N，若，那么k的值是____________． 15. 如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，连接，以为边作正方形，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 21. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－2，3）、B（－6，0）、C（－1，0）． （1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标； （2）若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B"的坐标； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 22. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了_____名同学； （2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度； （4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 23. 盱眙龙虾作为盱眙县的璀璨特产，以其独特风味享誉全国．在盱眙龙虾市场中，十三香口味的大虾与中虾的价格存在差异，每斤大虾的价格比中虾高出10元．且用200元购买大虾的数量和用160元购买中虾的数量相等．求十三香口味的大虾和中虾每斤分别是多少元？ 24. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=的图象相交于点A（m，3）、B（–6，n），与x轴交于点C． （1）求一次函数y=kx+b的关系式； （2）结合图象，直接写出满足kx+b>的x的取值范围； （3）若点P在x轴上，且S△ACP=，求点P的坐标． 26. 在平面直角坐标系中，已知点、、． （1） ______ ，四边形的面积是______ ； （2）当四边形是轴对称图形时，求的值； （3）连接，过的中点作直线，分别交线段、于点、连接，的面积为，反比例函数的图象经过直线上两点、，求的值． 27. 综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盱眙县2024－2025学年度第二学期期末质量监测试卷 八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，选出一个正确答案．） 1. 绿色环保，人人参与，下列环保图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不合题意； B、不是中心对称图形，不合题意； C、不是中心对称图形，不合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列调查最适合普查的是（ ） A. 了解淮河中鱼的种类 B. 了解一个班学生一分钟跳绳成绩 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 了解全国中小学生书面作业总量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A：了解淮河中鱼的种类，调查范围广且无法逐一排查，适合抽样调查，故不符合； B：一个班学生人数较少，全面调查可行且能准确获取每位学生的成绩，适合普查，符合题意； C：测试灯泡寿命具有破坏性，无法对所有灯泡进行测试，需抽样调查，故不符合； D：全国中小学生数量庞大，全面调查成本过高，适合抽样估算，故不符合； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则逐一分析即可判断． 【详解】解：A：，运算正确，符合题意； B：与不是同类二次根式，不能合并，运算错误。不符合题意； C：，运算错误，不符合题意； D：，故运算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在中，的平分线与边相交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得，可得，，由角平分线的定义可求解，掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴ ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12， ∴OD＝OB＝BD＝6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD， ∴OE＝BC， ∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝6＋9＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质． 6. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 7. 为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设走甲路线的平均速度为x千米/时，根据题意“甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟”列方程解题即可． 【详解】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时，列方程为， 故选A． 8. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ） A 126 B. 108 C. 90 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及内角和定理解题． 【详解】解：， ∵正五角星的5个角都是36°， ， ∵三角形内角和为180°， ∴∠ABC=180°-18°-36°=126°． 故选A． 【点睛】主要在考查学生动手操作的能力的同时，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键． 10. “某人骑车经过十字路口，刚好遇到绿灯”属于____事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定不会发生的事件是不可能事件，进行判断即可． 【详解】解：“某人骑车经过十字路口，刚好遇到绿灯”可能发生也可能不发生，是随机事件； 故答案为：随机． 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式叫做同类二次根式，进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义．熟练掌握同类二次根式的定义，是解题的关键． 12. 已知反比例函数，其图象在所在每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值是_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：将方程两边都乘以x-2，得：1-x-m=x-2，， ∵关于x的方程有增根， ∴x-2=0,即增根为 x=2， 代入整式方程得 1-2-m=2-2 解得：m= -1. 故答案为-1． 【点睛】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 14. 如图，点M是反比例函数图象上的一点，轴于点N，若，那么k的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是反比例函数（）的图像上一点，设，然后表示出，再通过的面积建立等式，即可计算得到答案． 【详解】∵是反比例函数（）的图像上一点 设 ∵轴，垂足为点N ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数、直角坐标系、直角三角形的知识；求解的关键的熟练掌握反比例函数、直角三角形性质，结合直角坐标系，从而计算得到答案． 15. 如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】2.5或10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理，解题的关键在于构造直角三角形利用勾股定理求解． 根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，连接，以为边作正方形，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作轴于点，则，在轴正半轴取点，使得，连接，延长至点，使得，连接，则，再证明，可求，则垂直平分，那么，则，当点三点共线时，取得最小值即为，由中点坐标公式可得，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点，则，在轴正半轴取点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理当点在点右侧，亦成立， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值即为， ∵，，且为中点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，中点坐标，两点间距离公式等知识点，正确运用转化思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，混合运算，熟练掌握基本知识点是解题的关键． （1）依次化简每一项，再进行加减运算； （2）先化简，再乘除，最后相减． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法：先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验． （1）根据分式方程的解法解答即可； （2）根据分式方程的解法解答即可． 【小问1详解】 解： 方程两边都乘，得， 解这个方程，得 经检验：是原分式方程的解； 小问2详解】 解： 方程两边都乘，得 解这个方程，得， 经检验：是增根，原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用分式的乘法法则进行化简，最后把的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值．能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解题的关键． 20. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再结合四边形是矩形，证明，即可作答． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－2，3）、B（－6，0）、C（－1，0）． （1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标； （2）若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B"的坐标； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】（1）画图见解析，（2，-3）；（2）（0，-6）；（3）（3，3）或（-7，3）或（-5，-3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可； （3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可． 【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，-3）； 故答案为：（2，-3）； （2）B″（0，-6）； 故答案为：（0，-6）； （3）如图，第四个顶点D的坐标为（3，3）或（-7，3）或（-5，-3）． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及中对称图形的性质，得出对应点位置是解题关键． 22. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了_____名同学； （2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______； （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度； （4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 【答案】（1）200；（2）40，60；（3）72；（4）学校购买其他类读物750册比较合理． 【解析】 【分析】（1）用文学的人数÷文学的百分比可得调查人数； （2）科普的百分比×抽样人数得科普人数，再用抽样人数减文学、科普和其他人数得艺术人数； （3）先求出艺术的百分比，再根据比例求得圆心角； （4）用5000乘其他读物的比例求得. 【详解】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%， 故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人， 故答案为：200； （2）根据科普类所占百分比为：30%， 则科普类人数为：n＝200×30%＝60人， m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人， 故m＝40，n＝60； 故答案：40，60； （3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°， 故答案为：72； （4）由题意，得5000×＝750（册）． 答：学校购买其他类读物750册比较合理． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，样本估计总体，能够从不同的统计图中得到有用信息是解题的关键. 23. 盱眙龙虾作为盱眙县的璀璨特产，以其独特风味享誉全国．在盱眙龙虾市场中，十三香口味的大虾与中虾的价格存在差异，每斤大虾的价格比中虾高出10元．且用200元购买大虾的数量和用160元购买中虾的数量相等．求十三香口味的大虾和中虾每斤分别是多少元？ 【答案】十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元，根据“且用200元购买大虾的数量和用160元购买中虾的数量相等”建立分式方程求解． 【详解】解：设十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元， 由题意得：， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则， 答：十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元． 24. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（m，3）、B（–6，n），与x轴交于点C． （1）求一次函数y=kx+b的关系式； （2）结合图象，直接写出满足kx+b>的x的取值范围； （3）若点P在x轴上，且S△ACP=，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）-6＜x＜0或2＜x；（3）（-2,0）或（-6,0） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）根据函数图像判断即可； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP=S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=上， ∴m=2，n=-1， ∴A（2，3），B（-6，-1）． 将（2，3），B（-6，-1）带入y=kx+b， 得：，解得，． ∴直线的解析式为y=x+2． （2）由函数图像可知，当kx+b>时，-6＜x＜0或2＜x； （3）当y=x+2=0时，x=-4， ∴点C（-4，0）． 设点P的坐标为（x，0），如图， ∵S△ACP=S△BOC，A（2，3），B（-6，-1）， ∴×3|x-（-4）|=××|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=2， 解得：x1=-6，x2=-2． ∴点P的坐标为（-6，0）或（-2，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据函数图像判断不等式取值范围；（3）根据三角形的面积公式以及S△ACP=S△BOC，得出|x+4|=2． 26. 在平面直角坐标系中，已知点、、． （1） ______ ，四边形的面积是______ ； （2）当四边形是轴对称图形时，求的值； （3）连接，过的中点作直线，分别交线段、于点、连接，的面积为，反比例函数的图象经过直线上两点、，求的值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）平行线两点之间的距离，横坐标相等，用纵坐标相减即可，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，即可求得面积． （2）①当四边形是矩形时，根据矩形的性质得；②当四边形是菱形时，根据菱形的性质得，或； （3）为平行四边形对称中心，，可得，过作轴，垂足为，根据面积公式即可得，设直线的函数表达式为：，两点确定一条直线的解析式，直线的函数表达式为，把、两点代入反比例函数，可得，即可求出的值． 【小问1详解】 解：点、、， ，，， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积， 故答案为，； 【小问2详解】 解：、， ，轴， ， ，， 四边形为平行四边形， 当四边形是矩形时，； 当四边形是菱形时， ， ， 即或； 【小问3详解】 解：为中点， 为平行四边形对称中心， ， ， ， 过作轴，垂足为， ， 即：， ， 设直线的函数表达式为：， 过，， 直线的函数表达式为， ， 为中点，， ， 反比例函数的图象经过直线上两点，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用解本题要熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的性质、反比例函数的性质等基本知识点． 27. 综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； （2）过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ； （2）解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得； （）解：的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间线段最短，正方形的判定及性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$