陕西省西安高新唐南中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024～2025学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷 （本试卷共4页，在答题卷规定区域作答，写在范围外的答案无效，满分150分） 一、单选题（本题共8个小题，共计40分） 1. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 2. 已知复数，则（    ） A. 2 B. C. 1 D. 0 3. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 85 D. 86 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，共计18分） 9. 已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前8项和为 D. 的前50项和为 10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A. 当时， B. ，都有 C. 的解集为 D. 的单调递增区间是， 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 与C仅有公共点P的直线共有三条 C. 若，且P为线段MN的中点，则l的方程为 D. 若l与C相切于点，则M，N的纵坐标之积为 三、填空题（本题共3个小题，共计15分） 12. 已知向量，若，则=___. 13. 已知函数在处有极大值，则__________. 14. 某半球形容器如图（左）所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图（右）所示，则小球的表面积等于__________. 四、解答题（本题共5个小题，共计77分） 15. 设，图象的一条对称轴是直线 （1）求，并求函数的对称中心； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 16. 设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，. （1）求椭圆方程及离心率. （2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程. 17. 如图1，在四边形中，，E是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为（如图2），M，N分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）求二面角的余弦值． 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由. 19. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. （1）求，和，； （2）证明：为等比数列； （3）求的数学期望（用表示）. 2024～2025学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷 （本试卷共4页，在答题卷规定区域作答，写在范围外的答案无效，满分150分） 一、单选题（本题共8个小题，共计40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3个小题，共计18分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题（本题共3个小题，共计15分） 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5个小题，共计77分） 【15题答案】 【答案】（1），， （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1），离心率 （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：如图，取的中点P，连接． 因为E是的中点，，所以． 又∥，所以四边形是平行四边形． 因为M，N分别是的中点，所以∥∥． 又平面平面，所以∥平面∥平面． 因为，所以平面∥平面． 又平面，所以∥平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①； ②，理由：不妨令，， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 【19题答案】 【答案】（1），， （2）证明：依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $