精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

内蒙古自治区鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前.考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第6节、必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B. 调查一个县各村的粮食播种面积 C. 调查一批炮弹的杀伤半径 D. 调查一批玉米种子的发芽率 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ） A. 该组数据的极差为1.8 B. 该组数据的众数为10.1 C. 该组数据的分位数为9.9 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10. 下列关于复数的结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 方程的根是 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边上有一点，则______． 13. 如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角. 15. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； （2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 16. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 17. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前.考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第6节、必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B. 调查一个县各村的粮食播种面积 C. 调查一批炮弹的杀伤半径 D. 调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项. 【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A. 查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查； B. 调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查； C.调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查； D. 调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 4. 已知，是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可证充要性． 【详解】在中，若，由正弦定理得，所以； 若，则，由正弦定理得， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 5. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算可求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，则，且，， 则，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：B. 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 故选：D． 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ） A. 该组数据的极差为1.8 B. 该组数据的众数为10.1 C. 该组数据的分位数为9.9 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A项，极差等于，故A正确； 对于B项，该组数据的众数为10.1和，故B错误； 对于C项，，故分位数为，故C正确； 对于D项，平均数等于， 去掉后，这两组数据的平均数相等，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列关于复数的结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 方程的根是 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数虚部的定义可以判断A选项；根据复数运算法则以及共轭复数的定义可以判断B选项；取，验证，即可判断C选项；通过配方求一元二次方程的根以及即可判断D选项. 【详解】对于A，的虚部是，A错误； 对于B，设，，则，，，，又，所以，B正确； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，由得，，，D正确. 故选：BD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，但AC与不垂直，即可判断A，根据线面平行的判定即可求解B，根据线线平行可得就是异面直线与所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C，根据线面平行，结合等体积法即可求解D. 【详解】对A：连接，，则交于， 又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误； 对B：由，平面，平面，故平面；故B正确. 对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角， 由正方体可知，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成的角为，故C正确； 对D：由于，平面，平面，故平面， 所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d， 由体积法可知，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边上有一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合三角变换公式可求的值. 【详解】由三角函数的定义，知，所以， ． 故答案为： 13. 如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，结合，即可求得，第一空得解；在中，求出的正余弦值，然后利用求得，再结合正弦定理即可得求得第二空. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以， 因为，所以，. 因为，所以， ， 在中，由正弦定理得. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数乘表示向量共线关系，结合向量模长的坐标公式计算即可； （2）利用垂直向量的数量积为0，结合向量数量积的运算律计算可得，再根据向量间夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是非零向量，则由可设， 因为，所以，解得， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得， 设向量与的夹角为， 所以，， 又因为，所以. 15. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； （2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 【答案】（1）平均数为72.5，中位数为72.9 （2）14 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得参数，结合平均数公式直接计算即可； （2）算出各个区间的人数，用总抽取人数乘以抽样比即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得． 估计这200名员工所得分数的平均数． [40，70）的频率为， [40，80）的频率为， 所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9． 【小问2详解】 [70，80）的人数：，[80，90）的人数：， [90，100]的人数：， 所以[70，80）这组中抽取的人数为：． 16. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）取到最小值为；取到最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的最值，周期和“五点法”，求解析式中的系数，即可求解； （2）首先求平移后函数的解析式，再利用代入法，结合三角函数的图象和性质，即可求解. 【小问1详解】 由最值得， 由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即， 此时， 图象的一个最高点坐标为，代人得， 则，即， 又因为，所以， 故. 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以当，即时，取到最小值，为； 当时，即时，取到最大值，为. 17. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及三角形的面积表示，化简求得的值； （2）利用余弦定理及二次函数性质求得的最大值． 【小问1详解】 由及， 得， 又，所以，所以， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，且，即． 因为，， 所以， ， 所以， 因为为锐角三角形，所以解得， 所以， 令，则， 所以当时，取得最大值． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，即可求证； （2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $