第四章 图形的相似 达标测试卷2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册第四章《图形的相似》达标测试卷含答案 第一部分　选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.线段a，b，c，d是成比例线段，a＝4，b＝2，c＝2，则d的长为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB∶BC＝1∶2，DE＝2，则EF的长为（　　） 第2题图 A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） 第3题图 A.∠ABD＝∠ACB B.∠ADB＝∠ABC C.AB2＝AD·AC D.＝ 4.如图，一同学在湖边看到一棵树，他测出自己与树的距离为20 m，树的顶端在水中的倒影距自己5 m远，该同学的身高为1.7 m，则树高为（　　） 第4题图 A.3.4 m B.5.1 m C.6.8 m D.8.5 m 5.若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是（　　） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 6.已知＝＝≠0，则的值为（　　） A. B.1 C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（－3，1），（－1，4）.以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　　） 第7题图 A.（－3，1） B.（－，） C.（3，－1） D.（，－） 8.如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　） 第8题图 A. B. C. D. 第二部分　非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.已知△ABC∽△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，则∠F＝　　°. 10.若＝，则＝　　. 11.如图，BC∥DE，AD＝3，AE＝4，AB＝9，则CE＝　　. 第11题图 12.透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘制的一个图案，已知AB∥CD∥EF，＝，则的值为　　. 第12题图 13.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为　　. 第13题图 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.（5分）如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，EF∥AB. 求证：△ADE∽△EFC. 15.（7分）如图△ABC，请用尺规作图法在BC上找一点P，使得△PAC∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法）. 16.（8分）小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1 m长的直立竹竿的影长为1.5 m时，测量旗杆落在地上的影长为21 m，落在墙上的影长为2 m，求旗杆的高度. 17.（8分）如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm.求： （1）∠B的度数； （2）AD的长. 18.（9分）如图，直线l1∥l2∥l3，且直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F. （1）若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； （2）若＝，AB＝7，求AC的长. 19.（10分）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E. （1）求证：△ABM∽△EMA； （2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长. 20.（14分）如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为点E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于点H. （1）探索AF与DE的关系； （2）求证：点H为DG的中点； （3）求的值. 参考答案 1.A　2.C　3.D　4.B　5.D　6.A　7.D 8.B　解析：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB∥CD， ∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°. ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝30°. 在Rt△ADE中， ∵AE＝AD＝， ∴DE＝AE＝. 在Rt△CDE中，CE＝＝＝. ∵BE∥CD， ∴△BEG∽△DCG， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴EG＝×＝. ∵AE∥CD， ∴△AEF∽△DCF， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴EF＝×＝， ∴FG＝EG－EF＝－＝.故选B. 9.100　10.　11.8　12. 13.4或　解析：∵点P是AC的中点， ∴AP＝AC＝3. 当△AQP∽△ABC时，＝，即＝，解得AQ＝4； 当△AQP∽△ACB时，＝，即＝，解得AQ＝. 14.证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC， ∴△ADE∽△EFC. 15.解：如图，点P即为所求. 16.解：如图，CD＝2 m，BD＝21 m.∵＝， ∴DE＝1.5CD＝3 m. ∵＝， ∴AB＝＝16（m）. 答：旗杆的高度为16 m. 17.解：（1）∵△ABC∽△DEC， ∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°. ∵∠ACB＝60°， ∴∠B＝180°－60°－45°＝75°. （2）∵△ABC∽△DEC， ∴＝. ∵AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm， ∴＝， ∴DC＝ cm，故AD＝3＋＝（cm）. 18.解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴＝＝＝， ∴DE＝EF＝6. （2）∵l1∥l2∥l3， ∴＝＝. ∵AB＝7， ∴BC＝， ∴AC＝7＋＝. 19.（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB. ∵EM⊥AM， ∴∠AME＝90°. ∴∠B＝∠AME， ∴△ABM∽△EMA. （2）解：∵AB＝4，BM＝3， ∴AM＝＝＝5. ∵△ABM∽△EMA， ∴＝，即＝， ∴ME＝. 20.（1）解：在正方形ABCD中， ∵AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，点E，F分别为边AB，BC 的中点， ∴AE＝AB，BF＝BC， ∴AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF. ∵∠DAG＋∠BAF＝90°， ∴∠DAG＋∠ADE＝90°， ∴∠AGD＝90°， ∴AF⊥DE， ∴AF＝DE且AF⊥DE. （2）证明：方法一：如图1，延长AF交DC延长线于点M. ∵点F为BC的中点， ∴CF＝FB. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴DM∥AB，AB＝CD， ∴∠M＝∠FAB. 在△ABF与△MCF中， ∴△ABF≌△MCF（AAS）， ∴AB＝CM， ∴CD＝CM. 又∵∠DGM＝90°， ∴CG＝DM， ∴CG＝CD. ∵CH平分∠DCG， ∴点H为DG的中点. 方法二：如图2，连接DF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝AB，∠DCF＝∠ABF＝90°，DC∥AB. ∵点F为CB的中点， ∴CF＝FB， ∴△DCF≌△ABF（SAS）， ∴∠DFC＝∠AFB. 由（1）已证△DAE≌△ABF， ∴∠AFB＝∠DEA. 又∵DC∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA， ∴∠CDE＝∠CFD. 又∵由（1）已证AF⊥DE， ∴∠DGF＝90°， ∴∠DGF＋∠DCF＝90°＋90°＝180°， ∴D，G，F，C四点共圆， ∴∠DGC＝∠CFD， ∴∠DGC＝∠CDE， ∴DC＝CG. ∵CH平分∠DCG， ∴点H为DG的中点. （3）解：设正方形ABCD的边长为2a， 则由（1）和（2）可得：AD＝AB＝2a，AE＝BF＝CF＝a. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∴AF＝＝a. 在△DGA与△DAE中， ∵∠DGA＝∠DAE＝90°，∠ADG＝∠EDA， ∴△DGA∽△DAE， ∴＝＝，即＝＝， ∴DG＝a，AG＝a， ∴GF＝AF－AG＝a－a＝a， ∴＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$