精品解析：辽宁省营口市2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试卷

2024-2025学年度下学期八年级期末质量监测数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 4 6 12 7 5 该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 对于一次函数下列说法正确的是（　　） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交于点 C. 图象经过第一、三、四象限 D. 当时， 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 7. 如图，在菱形中，点，分别是，的中点，若菱形的周长为24，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 8. 如图，在矩形中，为上一点，连接，，将沿着翻折．点的对应点点恰好落在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为上一点，，过点作于，交于，连接为的中点，若，则的长为（　　） A. B. 3 C. 3 D. 10. 甲开汽车从地去往地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速运动，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与乙行驶的时间为（小时）之间的函数关系如图所示．下列选项中正确的是（　　） ①点代表两人相遇的时刻； ②点代表乙到达目的地； ③甲的速度为； ④乙的速度为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 12. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是______． 13. 已知：菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的边长为______． 14. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为_____尺． 15. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，某景区有一个四边形区域为观光点平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若直线为景区观光车的行驶道路（道路宽度忽略不计），景区管理部门想要在处安装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头能监控的最远距离为70米，求被监控到的道路长度． 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）___________，___________； （2）若一次函数图象与轴交于点，求的面积； （3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 19. 为推动人工智能领域人才发展，提升从业者语言处理能力，某企业预从20名人工智能工程师中选拔部分参加市级人工智能语言应用大赛．参赛者需参加语音识别、文本分析、机器翻译三项测试，每项测试由五位专家打分，各项成绩均按百分制计，取平均数作为该项测试成绩，然后再按语音识别占，文本分析占，机器翻译占算出总评成绩．工程师小艾、小智成绩如下表，20名工程师总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下． 小艾，小智成绩统计表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 语音识别 文本分析 机器翻译 小艾 92 85 90 小智 94 92 88.5 根据以上问题，回答下列问题： （1）在语音识别测试中，五位评委给小智打出的分数如下：96，90，97，94，93，这组数据的中位数是___________分． （2）分别计算小艾、小智的总评成绩：若企业决定根据总评成绩安排前2名工程师代表企业参加市级比赛，试分析小艾、小智能否入选，并说明理由． 20. 某动画制作团队参与《哪吒2》的制作，团队共有80名工作人员，其中特效师30名，动画师50名．根据需要现将这80名工作人员派往A，B两个工作室进行制作，A工作室需要45名工作人员，B工作室需要35名工作人员，两个工作室的月工资情况如下： 特效师（万元/月） 动画师（万元/月） A工作室 B工作室 （1）若派往A工作室名特效师，求出这80名工作人员的月工资总额（万元）与（名）之间的函数表达式，直接写出的取值范围； （2）根据制作需要，如何安排这80名工作人员才能使月工资总额最小，并求出月工资总额的最小值． 21. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是中点，连接交于点，点在延长线上，且，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 22. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）点是正比例函数第一象限内图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）在坐标平面内，是否存在一点，使点构成一个平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图1，在菱形中，对角线相交于点，在的左侧以为直角边作，且，边交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，，求的长； （3）如图3，若时，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级期末质量监测数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，理解概念，注意是先要化成最简二次根式后再判断是解答的关键． 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A、与均是最简二次根式，且被开方数不一样，故不是同类二次根式，故不符合题意； B、与均是最简二次根式，且被开方数不一样，故不是同类二次根式，故不符合题意； C、，与被开方数不一样，故不是同类二次根式，故不符合题意； D、，与被开方数一样，故是同类二次根式，故符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中，是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的．根据一次函数的定义，形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：，分母含x，不符合一次函数的定义． 选项B：，整理为，符合的形式，其中，满足一次函数的条件． 选项C：，变量a的次数为2，属于二次函数，不符合一次函数的定义． 选项D：，虽然形式类似一次函数，但未明确．若，不符合一次函数的定义．因此无法确定其必然为一次函数． 故选：B． 3. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形邻角互补、对角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合与的比例关系求解的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补，即，且，设，， ，解得，则， 又 平行四边形对角相等，， ． 故选：A ． 4. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 4 6 12 7 5 该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、众数、方差、中位数的实际意义，熟练掌握各统计量代表的含义是解题关键．要确定影响店主决策的统计量，需分析各统计量意义，看哪个能体现最畅销尺码（销量最多）． 【详解】解： 众数是一组数据中出现次数（或销量）最多的数值，能反映最畅销的情况；41码衬衫平均每天销售12件，远高于其他尺码，店主因41码销量最大决定增加进货，而平均数反映整体水平、方差衡量数据波动、中位数体现中间位置，均不直接关联最畅销尺码 影响决策的统计量是众数， 故选B ． 5. 对于一次函数下列说法正确的是（　　） A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交于点 C. 图象经过第一、三、四象限 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的解析式，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解： A：，故随的增大而增大，选项A错误； B：令，得，图象与轴交点为，而非，选项B错误； C：因，图象从左向右上升，，与轴交于负半轴，故图象经过第一、三、四象限，选项C正确； D：解不等式得，即当时，而非，选项D错误； 故选：C． 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题的逆命题及平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质，熟练掌握这些定理和定义是解题关键．先写出各命题的逆命题，再依据相关数学定理（平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质 ）判断逆命题真假． 【详解】解：原命题逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 这是平行线判定定理，是真命题 A不符合题意，排除． 原命题逆命题为“对应边相等的三角形全等”． 符合SSS（边边边）全等判定，是真命题 B不符合题意，排除． 原命题逆命题为“相等的角是对顶角”． 存在相等但不是对顶角的角（如两直线平行，同位角相等，同位角不是对顶角 ），是假命题 C符合题意． 原命题逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”． 这是垂直平分线判定定理，是真命题 D不符合题意，排除． 故选：C ． 7. 如图，在菱形中，点，分别是，的中点，若菱形的周长为24，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握菱形四条边相等的性质以及三角形中位线定理的内容是解题关键．先根据菱形周长求出边长，再利用三角形中位线定理确定与菱形边长的关系，进而求出的长． 【详解】解：∵菱形的周长为，菱形的四条边相等， ∴边长 ． ∵点，分别是，的中点， ∴ ． ∵， ∴ ． 综上，的长为， 故选：A ． 8. 如图，在矩形中，为上一点，连接，，将沿着翻折．点的对应点点恰好落在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握矩形和折叠的性质，准确运用三角形内角和计算角的度数是解题关键． 利用矩形性质和折叠性质，先求出相关角的度数，再结合直角三角形性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，， ∴， ． ∴ ． ∴ ． ∵， ∴ ． 在中， ． 又∵， ∴ ． 综上，的度数为， 故选：B ． 9. 如图，在正方形中，为上一点，，过点作于，交于，连接为的中点，若，则的长为（　　） A. B. 3 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明三角形全等得出相关线段长度，再利用直角三角形斜边中线性质求解 的长． 【详解】解：∵四边形 是正方形，， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， 又∵ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 在 中，，，根据勾股定理 ． ∵ 为 中点，且在 中（ ， ）， ∴ ． ∴ ． 综上， 的长为 ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 10. 甲开汽车从地去往地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速运动，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与乙行驶的时间为（小时）之间的函数关系如图所示．下列选项中正确的是（　　） ①点代表两人相遇的时刻； ②点代表乙到达目的地； ③甲的速度为； ④乙的速度为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象在行程问题中的应用，涉及相遇问题、速度计算及对图象关键点含义的理解，熟练掌握行程问题中路程、速度、时间的关系和图象分析方法是解题关键．通过函数图象中距离与时间的关系，结合相遇、到达终点等含义，以及速度的计算方法（路程÷时间），对每个选项进行分析判断． 【详解】解： 两人相遇时，距离，图象中点 点代表两人相遇的时刻，①正确． 甲到达终点后，乙继续行驶，此时两人距离变化趋势改变．图象中点后距离变化率改变，结合甲、乙行驶情况，点代表甲到达目的地，而非乙，②错误． 由图象知、两地距离为千米，甲从到用时小时（点对应时间） 甲的速度为，③错误． 两人小时相遇（点对应时间），此时两人路程和为千米，甲小时行驶路程为千米，则乙小时行驶千米 乙的速度为，④正确． 综上，①④正确， 故选：D ． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据统计图中数据计算出两位同学成绩的方差，即可进行判断． 【详解】解：甲同学成绩的平均数为：（分） 甲同学成绩的方差为； 乙同学成绩的平均数为：（分） 乙同学成绩的方差为 由此可得，甲乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 13. 已知：菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的面积求出另一条对角线的长，再由对角线互相垂直且平分，可得直角三角形，利用勾股定理可得出边长． 【详解】解：如图，四边形是菱形，，则，， 菱形的面积为， 菱形的面积 ， ， 在中，， 菱形的边长为 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，关键是利用菱形的面积求出的长． 14. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为_____尺． 【答案】10 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得： x2﹣（x﹣4）2＝82， 解得：x＝10 答：绳索长为10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握知识点是解题关键． 15. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于，根据题意就是的最小值，由直线的解析式求得的坐标，进而求得的长，从而求得和，然后根据勾股定理即可求得． 【详解】解：取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于， 连接， 根据平移可得，且， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点D于于时， 根据对称可得， ∴，即， ∴的最小值为， 由题可知， 令，解得， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、平移的性质，勾股定理的应用，证得是的最小值是本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，及运用乘法公式简便计算，熟练掌握计算法则和公式是解题关键． （1）先化简为最简二次根式，再加减计算即可； （2）先化简再结合乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，某景区有一个四边形区域为观光点平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若直线为景区观光车的行驶道路（道路宽度忽略不计），景区管理部门想要在处安装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头能监控的最远距离为70米，求被监控到的道路长度． 【答案】（1） （2）被监控到的道路长度为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）过点作于，作点关于的对称点，连接，根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， 米，， ． 在中，由勾股定理得：米， 米，米， 又 ． 【小问2详解】 过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：米，， 是等腰直角三角形，， ， 米， 米， 答：被监控到的道路长度为米 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）___________，___________； （2）若一次函数图象与轴交于点，求的面积； （3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把分别代入解析式计算解答即可； （2）根据求得点，继而得到计算即可； （3）求得点B的坐标，再利用数形结合思想写出解集即可． 本题考查了待定系数法，坐标轴的交点，一次函数与不等式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点代入得， 解得； 把点代入得， 解得， 故答案为：；3． 【小问2详解】 解：根据， 得点， 故， 故． 【小问3详解】 解：由题意可知， 由图象可知，不等式的解集是． 19. 为推动人工智能领域人才发展，提升从业者语言处理能力，某企业预从20名人工智能工程师中选拔部分参加市级人工智能语言应用大赛．参赛者需参加语音识别、文本分析、机器翻译三项测试，每项测试由五位专家打分，各项成绩均按百分制计，取平均数作为该项测试成绩，然后再按语音识别占，文本分析占，机器翻译占算出总评成绩．工程师小艾、小智成绩如下表，20名工程师总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下． 小艾，小智成绩统计表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 语音识别 文本分析 机器翻译 小艾 92 85 90 小智 94 92 88.5 根据以上问题，回答下列问题： （1）在语音识别测试中，五位评委给小智打出的分数如下：96，90，97，94，93，这组数据的中位数是___________分． （2）分别计算小艾、小智的总评成绩：若企业决定根据总评成绩安排前2名工程师代表企业参加市级比赛，试分析小艾、小智能否入选，并说明理由． 【答案】（1）94 （2） 小智能入选，但小艾不能，理由如下： 小艾总评成绩（分）． 小智总评成绩（分）． 由20名工程师的总评成绩频数分布直方图可知，大于90分的有2人 小智能入选，小艾不能入选． 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图、中位数、加权平均数等知识点，掌握中位数、众数、平均数、加权平均数的意义是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义计小艾、小智总评成绩，由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于等于90分的有2人，可知小智排在前两名，能入选，小艾不能入选． 【小问1详解】 解：五位评委给小智打出的分数按从小到大的顺序排列如下：90，93， 94，96，97， 由于中间的一个数是94，则中位数是94分． 故答案为：94． 【小问2详解】 略 20. 某动画制作团队参与《哪吒2》的制作，团队共有80名工作人员，其中特效师30名，动画师50名．根据需要现将这80名工作人员派往A，B两个工作室进行制作，A工作室需要45名工作人员，B工作室需要35名工作人员，两个工作室的月工资情况如下： 特效师（万元/月） 动画师（万元/月） A工作室 B工作室 （1）若派往A工作室名特效师，求出这80名工作人员的月工资总额（万元）与（名）之间的函数表达式，直接写出的取值范围； （2）根据制作需要，如何安排这80名工作人员才能使月工资总额最小，并求出月工资总额的最小值． 【答案】（1） （2）月工资总额的最小值为171万元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）根据派往A工作室名特效师，则派往B工作室名特效师，则派往A工作室名动画师，派往B工作室名，根据表格计算月工资总额，即可求解； （2）根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：． 月工资总额与之间的函数表达式为：． 【小问2详解】 由（1）知 随的增大而减小． 当时，工资总额最小，． 答：月工资总额的最小值为万元 21. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是中点，连接交于点，点在延长线上，且，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ． ． 是中点 ． ． 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质，可得，即可证明，进而证明，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据题意可得，由（1）知四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知四边形是平行四边形 ． ∵ ． 四边形是平行四边形 ． 在中，由勾股定理得： ． 22. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）点是正比例函数第一象限内图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）在坐标平面内，是否存在一点，使点构成一个平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，两直线的交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，其中，则，，表示出，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得点的坐标，分三种情况讨论，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，即可求解． 【小问1详解】 解：将，，代入得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：设，其中，则， ∴，， ∵， ∴ 解得：或 ∴或 【小问3详解】 解： 解得： ∴， 设，∵， ①当为对角线时， 解得：，则 ②当为对角线时， 解得：，则 ③当为对角线时，， 解得：，则 综上所述，或或 23. 如图1，在菱形中，对角线相交于点，在的左侧以为直角边作，且，边交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，，求的长； （3）如图3，若时，，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ， ． 四边形是菱形， ． 是线段的垂直平分线 点在上， ， ． ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，根据菱形的性质得则，进而根据垂直平分线的性质可得，进而根据三线合一可得，等量代换得出，即可，进而得出结论； （2）过点作于，则四边形是矩形，根据得出，则是等腰直角三角形，进而根据平行四边形的性质可得，勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理，即可求解． （3）过点作于，是等腰直角三角形，由题知，四边形是正方形，得出，在中，得出，进而求得，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于． ， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形 四边形是平行四边形， ． 在中， ， ． 在中， ． 【小问3详解】 ． 过点作于，是等腰直角三角形， 由题知，四边形是正方形 在中， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $