精品解析： 湖南省长沙市长沙县百熙实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年湖南省长沙市长沙县百熙实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. y＝2x－5 B. y＝2x＋5 C. y＝2x＋8 D. y＝2x－8 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 若点和点都在函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 8. 如图，正方形的周长为，则矩形的周长是（　　） A. B. C. D. 9. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ） A. 汽车在高速路上行驶了 B. 汽车在高速路上行驶的路程是 C. 汽车在高速路上行驶的平均速度是 D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 二、填空题（3分×6＝18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围为_____． 12. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则菱形的面积为_______． 14. 如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______． 15. 如图，菱形的周长是20，对角线相交于点是的中点，则________． 16. 已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点P是对角线上的一个动点，点D是线段上的一个动点，最小值为___________． 三、计算题（4分×2＝8分） 17. 计算： （1）； （2）． 四、解答题（本题共8小题，共64分） 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AC边上的点，DC＝1cm，BD＝5cm，求BC的长． 21. 如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC． （1）求证：四边形ABFC为矩形； （2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积． 22. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 23. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 24. 阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公式的推导过程：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，，那么、两点之间的距离可以用公式计算．试根据公式解决下列问题： （1）若点，，则，两点间的距离为______； （2）若点与的距离为，求的值； （3）若点，，点是坐标原点，试判断是什么三角形，并说明理由． 25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． （1）求E点的坐标； （2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年湖南省长沙市长沙县百熙实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，它不是最简二次根式，则A不符合题意， B、，它不是最简二次根式，则B不符合题意， C、是最简二次根式，则C符合题意， D、，它不是最简二次根式，则D不符合题意， 故选：C． 2. 将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. y＝2x－5 B. y＝2x＋5 C. y＝2x＋8 D. y＝2x－8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象上加下减，可得答案. 【详解】解：由题意，得：y=2x﹣3+8， 即y=2x+5， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的加减，熟练掌握运算法则并正确判断是解答的关键． 4. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：A、两组邻角相等，不能判定这个四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判定这个四边形是平行四边形，故C不符合题意； D、两组邻边相等，不能判定这个四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边相等的四边形是平行四边形；两组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形． 6. 若点和点都在函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用正比例函数的性质： k<0时，y随x的增大而减小，比较两个x值的大小即可判定y的大小. 【详解】解：在中，由于，所以y随x的增大而减小，又因为，所以．故选A． 【点睛】本题考查了正比例函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，熟记性质是关键. 7. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可． 【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选D． 【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 8. 如图，正方形的周长为，则矩形的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及矩形的周长的计算方法的运用．由正方形的周长为，易得，又由矩形，易得与是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的周长为， ， 四边形是矩形， ， 与是等腰直角三角形， ，， 矩形的周长是：． 故选：B． 9. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 10. 现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ） A. 汽车在高速路上行驶了 B. 汽车在高速路上行驶的路程是 C. 汽车在高速路上行驶的平均速度是 D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，即可求解． 【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意； B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意； C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意； D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． 二、填空题（3分×6＝18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则菱形的面积为_______． 【答案】42 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴菱形的面积为：； 故答案为：42． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积的求法． 14. 如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ，， ， 点表示的实数是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 15. 如图，菱形的周长是20，对角线相交于点是的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得OE的长． 【详解】∵菱形的周长是20， ∴AB==5，且O为BD的中点， ∵E为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE=AB=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及三角形的中位线定理，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分及三角形的中位线定理是解题的关键． 16. 已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点P是对角线上的一个动点，点D是线段上的一个动点，最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，由菱形的对称性可得，则，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，，则，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且为其对角线， ∴点C和点A关于对称， ∴． ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，如图所示， ∵点A坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、计算题（4分×2＝8分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，同时把除法变成乘法，然后计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（本题共8小题，共64分） 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合题意可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 19. 已知，求代数式的值． 【答案】3． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与计算，完全平方公式，掌握这些是解题的关键． 观察代数式结构，根据已知条件，对代数式进行配方简化计算． 【详解】解：， 原式 ． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AC边上的点，DC＝1cm，BD＝5cm，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】先求出AD的长，再根据勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，然后在Rt△BCD中，根据勾股定理求出BC即可． 【详解】解：∵AC＝13cm，CD＝1cm， ∴AD＝AC﹣CD＝13﹣1＝12cm， 在△ABD中， ∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm， ∴AB2＝132＝169cm，AD2+BD2＝122+52＝144+25＝169cm， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， 在Rt△BCD中， ∵CD＝1cm，BD＝5cm， ∴cm， 即BC的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能掌握运用勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键． 21. 如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC． （1）求证：四边形ABFC为矩形； （2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴． ∵点E是平行四边形ABCD中BC边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴四边形ABFC是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形ABFC为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质易证，得到，再由，证四边形ABFC是平行四边形，然后由 即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出AC，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形ABFC为矩形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形ABFC的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 22. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【小问1详解】 解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； 【小问2详解】 解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 23. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 【答案】（1） 证明：∵DEBC，DFAB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DEBC， ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠ABD＝∠EDB． ∴EB＝ED． ∴平行四边形BFDE是菱形； （2）3 【解析】 【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形； （2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵EDBF，∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°． 设BF＝x， ∴DE＝BE＝x． ∴AE＝8﹣x． 在RtADE中，AE2＝DE2+AD2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴BF＝3． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键． 24. 阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公式的推导过程：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，，那么、两点之间的距离可以用公式计算．试根据公式解决下列问题： （1）若点，，则，两点间的距离为______； （2）若点与的距离为，求的值； （3）若点，，点是坐标原点，试判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】（1）13 （2） （3）是直角三角形，理由： 点，，点是坐标原点， ， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】根据题目中两点间的距离公式，可以求出，两点间的距离； 根据题目中的距离公式和点与的距离为，可以列出相应的方程，然后求解即可； 根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【小问1详解】 解：∵点，， ，两点间的距离为：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵点与的距离为， ， 解得， 即的值是； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查勾股定理、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的距离，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． （1）求E点的坐标； （2）连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 【答案】（1）E的坐标是 （2）点M的坐标为 （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，菱形的性质，解一元二次方程． （1）令，得，可知，求出，即可作答； （2）先求出，再设M的横坐标是a，代入计算进一步即可得出点M的坐标. （3）当四边形是菱形时，直接根据菱形的性质得到M的纵坐标是3，代入计算即可；当四边形是菱形时，列一元二次方程计算即可． 【小问1详解】 解：一次函数中， 令，得， ∴D的坐标是，， ∵， ∴， ∴， ∴E的坐标是； 【小问2详解】 解：， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴， 设M的横坐标是a，则， 解得：， 把代入得： ， ∴M的坐标； 【小问3详解】 解：当四边形是菱形时，如图（1）， 此时，M的纵坐标是3，把代入中， 解得：， ∴M的坐标是； 当四边形是菱形时，如图（2）， ∵，则设M的横坐标是m，则纵坐标是， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴M的坐标是， 综上，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $