精品解析：广东省茂名市龙岭学校2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

茂名市龙岭学校2024-2025学年第二学期初三期中考试 数学试卷 时间：120分钟总分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 计算（－1）－2等于（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －3 2. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2x+3x＝5x B. （x﹣y）2＝x2﹣y2 C. x6÷x2＝x3 D. （﹣2xy）2＝﹣4x2y2 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 8. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 9. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论： ①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平面直角坐标系中，（图中的三角形都是等边三角形），一个点从原点O出发，沿折线移动，每次移动1个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分共15分） 11. 计算：______． 12. 若，则的值为______． 13. 如图，已知折扇的骨柄，折扇张开的最大角度为，此时弧的长度为__________（结果保留） 14. 如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为______． 15. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为______． 三、解答题一（每题7分，共21分．） 16. 化简： 17. 解分式方程： 18. 如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．经开区某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来，在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为________，并将条形统计图补充完整． （2）若“”这一组的数据为：，，，，，96，，95，，．求这组数据的众数为________，中位数为________． （3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为85，90，94，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 20. 【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值． 如图1，在中，，延长到点，使，则有． 在中，，∴，； 在中； ∴． 【实际应用】（1）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（ ），于2025年2月7日至2月14日举行，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，广州融创热雪奇迹为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度m．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度是多少米？（结果取整数，参考数据）． 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为的滑道． 已知：中（图3），．求出的值是多少？ 21. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元； （2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？ 五、解答题三（22题13分，23题14分） 22. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． （1）若，，求点的坐标； （2）求点的横坐标； （3）是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市龙岭学校2024-2025学年第二学期初三期中考试 数学试卷 时间：120分钟总分：120分 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 计算（－1）－2等于（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的减法法则计算． 【详解】（－1）－2＝（－1）＋（－2）＝－3， 故选D． 【点睛】本题考查有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 2. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念逐一进行分析即可得. 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 3. 下列计算正确的是（　　） A. 2x+3x＝5x B. （x﹣y）2＝x2﹣y2 C. x6÷x2＝x3 D. （﹣2xy）2＝﹣4x2y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方运算法则分别进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、2x+3x＝5x，故本选项计算正确； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误； C、x6÷x2＝x4，故本选项计算错误； D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项计算错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项、整式乘法的完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 6. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 8. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：画树状图得： 所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=． 故选：C． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论： ①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）根据AB段火车在隧道内的长度保持不变，可得知火车的长度； （2）在BC段，火车离开隧道所用的时间是5秒，路程是150米，可算出火车的速度； （3）由于火车匀速行驶，因此火车进入隧道与离开隧道的时间相同，都是5秒，进而可得到火车在隧道内的时间； （4）火车走过的路程减去火车的长度即为隧道的长． 【详解】解：（1）分析图知，AB段火车在隧道内的长度保持不变，可得知火车的长度为150米，所以结论①错误； （2）在BC段，火车离开隧道所用的时间是5秒，路程是150米，可算出火车的速度为： 米/秒，结论②正确； （3）由于火车匀速行驶，因此火车进入隧道与离开隧道的时间相同，都是5秒，所以火车整体都在隧道内的时间为：秒，结论③正确； （4） 米，所以隧道长为900米，结论④错误． 综上所述，只有结论②和③正确． 故选：B 【点睛】本题考查变量之间关系的实际应用，根据图形进行分析计算是解题关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，（图中的三角形都是等边三角形），一个点从原点O出发，沿折线移动，每次移动1个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴，垂足为B，求出，，求出前若干个点的坐标，找到规律点的每运动6次循环一次，每循环一次向右移动4个单位，每个周期内点的横坐标变化为：，纵坐标依次为，计算出2023与6的商和余数，据此得到结果． 【详解】解：∵图中的三角形都是等边三角形，边长为1， 如图，过作轴，垂足为B， 则， ∴， ∴点的坐标为：； 点的坐标为：； 点的坐标为：； 点的坐标为：； 点的坐标为：； 点的坐标为：； … 分析图象可以发现，点的每运动6次循环一次，每循环一次向右移动4个单位， 每个周期内点的横坐标变化为：， 纵坐标依次为， ， ∴点的坐标为，即， 故选B． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环． 二、填空题（共5题，每题3分共15分） 11. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，首先计算绝对值和零指数幂，然后计算减法，求出版式的值即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 12. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知折扇的骨柄，折扇张开的最大角度为，此时弧的长度为__________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为， 的长度为． 故答案为：． 14. 如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．连接，，，可证四边形是平行四边形，从而可得，求的最小值，求最小值即可，由垂线段最短可知，当、、三点在一条直线上时，最小值，即可求解． 【详解】解：连接，，， 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 求的最小值，求最小值即可， 由垂线段最短可知，如图，当、、三点在一条直线上时，最小值， 在中， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题一（每题7分，共21分．） 16. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开后，合并同类项即可． 【详解】 =) = =． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． 17. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． 根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 18. 如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．经开区某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来，在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为________，并将条形统计图补充完整． （2）若“”这一组的数据为：，，，，，96，，95，，．求这组数据的众数为________，中位数为________． （3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为85，90，94，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 【答案】（1）， 补图如下： ． （2）96，96 （3）小敏能参加决赛，理由： 根据题意，得， 故小敏能参加决赛． 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，根据圆心角的计算方法，计算即可． （2）利用中位数，众数的定义解答即可． （3）利用加权平均数公式计算解答即可． 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息． 【小问1详解】 ∵(人)， A组的百分比为：， 根据题意，得． 故答案为：． B组的人数：(人)． 【小问2详解】 排序如下：，，，，， 96，，，，． 根据题意，得众数为96，中位数是． 故答案为：96，96． 【小问3详解】 略 20. 【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值． 如图1，在中，，延长到点，使，则有． 在中，，∴，； 在中； ∴． 【实际应用】（1）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（ ），于2025年2月7日至2月14日举行，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，广州融创热雪奇迹为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度m．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度是多少米？（结果取整数，参考数据）． 【类比探究】（2）如果滑雪场准备再建一条坡角为的滑道． 已知：中（图3），．求出的值是多少？ 【答案】（1）27米；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用. （1）在中，根据，，即可求解； （2）延长到点，使，连接，构造，然后在中， ，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中 ∵， ∴ 答：滑道的铅直高度是米． （2）解：延长到点，使，连接 ∴（等边对等角） ∵ ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴． 21. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元； （2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？ 【答案】（1）A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元 （2）32本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种笔记本每本的进价为元，则种笔记本每本的进价为元，根据数量总价单价结合用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，根据总利润每本的利润销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x＋10）元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元． 【小问2详解】 解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 依题意，得：， 解得：． 答：最多购进A种笔记本32本． 五、解答题三（22题13分，23题14分） 22. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． （1）若，，求点的坐标； （2）求点的横坐标； （3）是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点横坐标为； （3）存在，． 【解析】 【分析】（）根据条件求出点坐标，利用直线解析式求出点坐标即可； （）设点的坐标为，利用一线三直接全等，则有即可． （）设点，则，，由推导出点，三点共线时，点点的纵横坐标之比相等列出关于的等式，化简可得； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握三点共线时，点的纵横坐标之比相等，都等于正比例函数的常数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 过点作，垂足为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点横坐标为； 【小问3详解】 解：存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点三点在同一直上，理由如下： 设点的坐标为，则，， 由（）可知，点点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵三点在一条直线上时，点的纵横坐标比值相等， ∴， 整理得，， ∴． 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点、代入中求出，的值即可； （2）由点得，，从而得，化为顶点式，根据二次函数的图象与性质即可得到结论； 易得到，则分为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中，得 ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， ． 点是轴上的一动点，且轴， ，， ． ， 抛物线开口向下． 又点在线段上运动， ， ， 当时，有最大值； 轴， 轴，即， 、是以、为顶点的菱形的边； 如图所示，当为对角线时，      ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 轴， 轴，即轴， 点与点关于抛物线对称轴对称， ， 对称轴为直线， 点的坐标为， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      ，，， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      同理可得， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图所示，当为对角线时， ， ， ， x， 轴， 轴，这与题意相矛盾， 此种情形不存在； 如图所示，当为对角线时，设，交于， 轴， ， ， ，这与三角形内角和为度矛盾， 此种情况不存在； 综上所述，存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $