福建省华安县第一中学2025届高三下学期数学模拟试题

2025届高三数学模拟试题 一、单选题（40分） 1．若复数满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．网上直播带货已成为电商主流模式之一，已知某一家网上官方旗舰店近五年“五一”黄金周期间的销售额如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 51 63 75 87 99 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是（   ） A．84万元 B．98万元 C．104万元 D．111万元 4．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，若抛物线上一点到其准线的距离为5，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，则的面积为（   ） A． B． C．2 D．1 5．已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，（   ） A． B．1 C． D． 7．若是奇函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题18分 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．若两个变量线性相关，则相关系数越大，线性相关程度越强 C．若随机变量的分布列为，则 D．若随机变量，随机变量，则 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是函数的一条对称轴 C． D．函数在区间上单调递增 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，为的极值点 B．存在，使得在有且仅有一个零点 C．当时，过点存在两条直线与曲线相切 D．存在，使得 三、填空题15分 12．的展开式中的系数是 .（用数字作答） 13．2024年开始，贵州省实行新高考“3+1+2”选科模式，它是指考生需要参加三门全国统一高考科目，即语文、数学、外语.此外，考生还需在物理和历史两门科目中选择一门作为首选科目，以及在思想政治、地理、化学、生物学四门科目中选择两门作为再选科目；赋予了学生充分的自由选择权.已知黔南州某三所中学分别有，，的学生选了物理，这三所中学的学生人数之比为，现从这三所中学随机选取一名学生，则这名学生选了物理的概率为 . 14．已知函数（且），，若函数与的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为 . 四、解答题77分 15．已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 16．端午节是中国传统节日之一，也是中华民族节日文化的重要组成部分.在这个节日中，粽子备受喜爱.粽子是用糯米和馅料包裹在竹叶中蒸煮成的食品，有着浓郁的文化内涵.由于地域饮食文化差异，南方与北方居民对粽子口味偏好（甜粽/咸粽）存在显著差异.为科学验证这种差异是否具有统计显著性，某研究机构用分层抽样的方法，从全国代表性的城市选取居民300人，记录其在端午节期间实际食用的粽子口味偏好（甜粽/咸粽），并记录其居住地域（南方/北方）.将调查数据整理如下表： 甜粽 咸粽 合计 南方居民 90 120 北方居民 120 合计 150 300 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”是否有关； (2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，现从南方居民中随机抽取3人，记为其中偏好甜粽的人数，假设每个人的粽子口味偏好相互独立，求的分布列、数学期望和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 18．已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 19．已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高二数学参考答案 1．B【详解】因为，所以，则．故选：B． 2．C【详解】由题意可知，集合，. 故选：C. 3．D【详解】依题意，. 又线性回归方程为必过点，所以，解得， 所以，2026年的年份代号为6，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是111万元. 故选：D. 4．B【详解】由抛物线：上一点到其准线的距离为5， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为，则焦点． 因为，则直线：．设点，． 由消去得，则，．又， 所以．故选：B． 5．B【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故．以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故．故选：B 6．A【详解】因为且，所以，， 所以.故选：A 7．B.【详解】若，则的定义域为，不关于原点对称，所以． 若奇函数有意义，则且，所以且． 因为奇函数的定义域关于原点对称，由，解得． 由，得，所以．所以，经验证满足题设. 故选：B 8．A【详解】不妨设，则，设直线的方程为． 将直线方程代入，化简并整理，得． 由，得． 设，，则，， 所以．因为点是线段的中点，所以． 由题意，得，所以．又， 所以的面积． 由已知条件知，所以，解得（满足），所以， 所以直线的斜率为．故选：A． 9．ACD 【详解】对于A：随机变量，由知，A正确； 对于B：相关系数越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故B错误. 对于C：若随机变量满足，，则，故C正确； 对于D：因为随机变量， 故， ，故D正确. 故选：ACD 10．BC【详解】由图可知，，，所以，故A错误； 由图可知，，所以，.由图知，解得，故，故C正确； 由，得的对称轴为，故B正确； 由，得的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC. 11．ABD【详解】，所以. 对于A：令，解得. 当时，由得，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点； 当时，由得，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以为的极大值点； 所以当时，为的极值点，故A正确； 对于B：因为时，， 当时，在上单调递增，此时在内没有零点； 由选项A知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上取得极小值也是最小值，即. 因为在有且仅有一个零点，故， 解得，故B正确； 对于C：设切点，则切线斜率，故切线方程为，过点，则，所以，所以有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 对于D：当时，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 12．【详解】由的展开式的通项为， 则的展开式中的系数是.故答案为：. 13．【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 14．【详解】令，由方程两边同时取对数，可得，即， 该方程有两个不同的根.令，则. 当时，，单调递增，当，，单调递减， 且，，，，，. 易知，当时，该方程有两个不同的根，即函数有两个不同的零点， 则函数与的图象有两个不同的交点，所以. 故答案为： 15．【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 16．【详解】（1）列联表，如图所示： 甜粽 咸粽 合计 南方居民 90 30 120 北方居民 60 120 180 合计 150 150 300 零假设为：“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”无关， 则. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”有关. （2）由题意得南方居民偏好甜粽的概率为. 由已知得，，，， ，，所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以，. 17．【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 所以，，因为，所以； 在中，，，，所以， 所以，即； 因为平面，平面，所以； 又平面，平面，，所以平面. （2） 由（1）可知、、两两垂直， 建立如图所示分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，，所以， 设到平面的距离为，则. 18．【详解】（1）根据题意，得，，解得，， 则双曲线的标准方程为. （2）（i）判断：为定值.如图设， 则，所以所以的定值为1. （ii）联立直线与双曲线，得. 由题可知解得，且， 设，则所以. 由（i）得，即，即，所以，解得，可得.因为两点均在第一象限，所以，故，综上，当时，. 19．【详解】（1）的定义域为，，所以， 依题意有，即，解得，此时， 所以在点处的切线方程为，与平行． 所以实数a的值为1． （2）令，方程的判别式． 若，即，恒成立， 即对任意，，所以在单调递增； 若，即或， 当时，恒成立， 即对任意，，所以在单调递增； 当时，令，得或； 令，得． 在上，；在上，． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上， 当时，在区间恒单调递增； 当时，在区间单调递减，在区间，单调递增． （3）由整理可得， 因为，，所以，因此， 因为，所以， 令，则，所以，， 所以， 要证，需证，即证，即， 由（2）知时，在单调递增，所以时，， 所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$