江苏省无锡市江阴市祝塘第二中学2024-2025学年九年级下学期第一次段考数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市祝塘二中九年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2025的倒数是(    ) A. B. 2025 C. D. 2.要使二次根式有意义，x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形.下列汉字中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.分式方程的解是(    ) A. B. C. D. 6.已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是(    ) A. 114，115 B. 114，114 C. 115，114 D. 115，115 7.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题凫：野鸭，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，是的外接圆，AD是的直径，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★若关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(    ) A. B. C. 且 D. 且 10.如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为，连接AB，BC，P是线段AC上一动点，连接BP，作BP的垂线交线段OA于点D，以PB、PD为边作矩形BPDE，连接AE，DE与AC交于点下列结论：①；②点P在移动过程中，；③当时，；④当线段CF的长度取得最小值时，点P的坐标为其中正确的个数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境，有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池大约会污染水数据600000用科学记数法可表示______. 12.分解因式：__________. 13.某个函数具有性质：当时，y随x的增大而减小.请写出一个符合上述条件的函数表达式：______. 14.底面圆半径为10cm、高为的圆锥的侧面展开图的面积为______ 15.古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地.若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC为______结果保留根号 16.如图，滑轮圆心为O，半径为3cm，若在力F作用下滑轮上一点A绕点O顺时针旋转，则图中物块上升______结果保留 17.如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______. 18.如图，中，，，，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、若，则线段CD的长为          . 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 化简： 20.本小题8分 解方程：； 解不等式组： 21.本小题10分 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，求证： ≌； 22.本小题10分 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋.为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示. 请你根据以上信息解决下列问题： 参加问卷调查的学生人数为______名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是______； 补全条形统计图画图并标注相应数据； 若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？ 23.本小题10分 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动． 若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是______； 若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程 24.本小题10分 如图，在中， 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交AC于点D，在AB上求作点E，使；不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，则______如需画草图，请使用图 25.本小题10分 如图，在中，，点D是AB上一点，且，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点. 试判断直线AB与的位置关系，并说明理由； 若，的半径为3，求AC的长. 26.本小题10分 某景区旅游商店以20元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元，不高于45元经市场调查发现每天的销售量与销售价格元之间的函数关系如图所示. 求y关于x的函数表达式； 当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润销售价格-采购价格销售量】 27.本小题10分 在▱ABCD中，，E是边BC上一点，将沿着AE翻折到如图，若E、F、D三点共线. 求证：； 若，，求BE的长. 28.本小题10分 已知二次函数图象的对称轴与x轴交于点，图象与y轴交于点，C、D为该二次函数图象上的两个动点点C在点D的左侧，且 求该二次函数的表达式； 若点C与点B重合，求的值； 点C是否存在其他的位置，使得的值与中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据倒数的定义得2025的倒数为， 故选： 本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键. 乘积为1的两个数互为倒数，运用定义解题即可. 2.【答案】C  【解析】解：根据题意，得：， 解得： 故选： 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数列出不等式，然后解不等式即可得出答案． 本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：，故本选项不符合题意； B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意． 故选： 选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可． 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：“中”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形， 故选： 根据轴对称图形的概念求解． 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解题的关键． 将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案． 【解答】 解：， 方程两边都乘得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 故选： 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数． 【解答】 解：平均数， 数据115出现了2次，次数最多， 众数是 故选： 7.【答案】A  【解析】解：设经过x天相遇， 可列方程为：， 故选： 根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意建立等量关系是关键． 8.【答案】A  【解析】解：连接CD，则， ， ， 是的直径， ， ， 故选： 连接CD，则，因为AB是的直径，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：根据题意得， 整理得， 关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根， 且， 解得且 故选： 先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可． 本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：直线与x轴、y轴交于点A、C， 当时，， ， 当时，， 解得， ， 点B的坐标为， 四边形OABC是矩形， ，，，， 四边形BPDE是矩形， ， 点B，P，D，A，E五点共圆， ， ， ， ， ，故①正确； 四边形BPDE是矩形， ， 是线段AC上一动点， 点D在线段OA上运动， 当点D和点O重合时，BD最大，即OB的长度， ， 的最大值为10，即PE的最大值为10； 当时，即点D和点A重合时，BD的长度最小，即OA的长度，为6， 的最小值为6，即PE的最小值为6， 点P在移动过程中，，故②正确； 如图所示，当时， ， 此时点P为AC的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 点B，P，D，A，E五点共圆， ， 又， ≌， ，故③正确； 过P作于N，过F作于H，则四边形OCMN是矩形， ，， ， ， ， ， ∽， ， 设，则，，， 同理可证， 设，则，， ， ∽， ，即， 解得， ， 同理可证∽， ，即， 整理得， ，  时，a有最大值，则有最小值， 此时， 故④错误； 故选： 首先求出，，然后证明出四边形OABC是矩形，然后得到点B，P，D，A，E五点共圆，然后利用圆内接四边形对角互补得到，得到，即可判断①； 首先根据矩形的性质得到，然后根据题意求出BD的最大值和最小值即可判断②； 首先得到当时，点P为AC的中点，然后根据题意证明出≌，即可得到，进而判断③； 过P作于N，过F作于H，则四边形OCMN是矩形，证明∽，得出，设，则，，，同理可证，设，则，，证明，得出，求出，，证明∽，可得，整理得，利用二次函数的性质求解即可． 本题考查了矩形的判定与性质，一次函数的应用，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正切等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数． 本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了运用提取公因式法与公式法因式分解，首先提取公因式2，根据完全平方公式正确的分解因式是解决问题的关键． 【解答】 解：原式 故答案为： 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：根据题意有： 故答案为：答案不唯一 根据函数的性质写出一个反比例函数、一次函数或二次函数即可． 本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可． 14.【答案】  【解析】解：圆锥的底面半径为10cm，高为， 圆锥的母线为， 圆锥的侧面展开图的面积为 故答案为： 先求出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算即可． 本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式． 15.【答案】  【解析】解：由题知， 因为点C是靠近点A的一个黄金分割点， 所以 又因为， 所以 故答案为： 根据黄金分割的定义进行计算即可． 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：根据题意，图中物块上升的高度为 故答案为： 根据题意得到物块上升的高度为滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 此题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解本题的关键． 17.【答案】或  【解析】解：有条件可知所得的直线与直线平行， 当A在原点右侧时，则B点坐标为， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， 或舍去； 当A在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， m的取值范围是或 故答案为：或 当A在原点右侧时，B点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到m的取值范围． 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 18.【答案】2或  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的内心，理解三角形内心的概念，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 连接BO，CO，分两种情况：结合内心的概念及平行线的判定分析可得当时，，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算；过点O作，作，根据内心概念可证明≌，继而根据全等三角形性质结合线段的和差关系求出，再证明∽，由相似三角形性质可求出的长. 【解答】 解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO， 为的内心， 平分，BO平分， ，， 当时，则， ， ， ， ， ， 则， 设，， 在中，， ， ∽， ， 即， 解得， ， 过点O作，作， ， 点O为的内心， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 在和中，，， ∽， ， ， 解得：， ， 故答案为：2或 19.【答案】解：原式； 原式  【解析】根据实数的运算法则进行计算即可； 利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算即可． 本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】解：， ，，， ， ， ，； ， 解不等式①得， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：  【解析】方程利用公式法求解即可； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式组的基本步骤是解答本题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ，， 是BC的中点， ， 在和中， ， ≌ 证明：≌， ，   【解析】根据矩形的性质得出，，再根据中点的定义得出，即可根据SAS求证≌； 根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22.【答案】100，126；   见解析；   45名．  【解析】解：参加问卷调查的学生人数为：名， “羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是； 故答案为：100，126； “插花”社团的人数为人， 补全条形统计图如下： 名， 答：估计选择“围棋”社团课的学生有45名． 根据C的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用乘以A类所占的百分比即可得出答案； 用总人数乘以B所占的百分比求出B的人数，从而补全统条形计图； 用七年级的总人数乘以选择“围棋”社团课的学生所占的百分比即可． 本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23.【答案】解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是或的结果有6种， 抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为  【解析】【分析】 此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是或的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】 解：若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是， 故答案为：； 见答案. 24.【答案】见解析；    【解析】解：如图，射线AD、点E即为所求； 如图，过点D作于G，过点E作于F，则， 平分，，， ，又， ， ， ，， ，则， ， ，又，， ， ， ，， ∽，又， ，即， ，， ∽， ，即， 负值舍去， ， 故答案为： 根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可； 过点D作于G，过点E作于F，分别证明和得到，再分别证明∽和∽得到，然后利用正切定义求解即可． 本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、正切等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，正确添加辅助线，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键． 25.【答案】解：直线AB与相切， 理由：连接OD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线AB与相切； ，， ， ， 在中，， 设，， ， ，   【解析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到，求得，等量代换得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论； 根据三角函数的定义得到，求得，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 26.【答案】解：当时，设函数表达式为， 将，代入解析式得，， 解得， 函数表达式为：； 当时，设函数表达式为：， 将，代入解析式得，， 解得， 函数表达式为：， 综上，y与x的函数表达式为：； 设利润为w元，当时，， 在范围内，w随着x的增大而增大， 当时，w取得最大值为400； 当时，， 当时，w取得最大值为450； ， 当销售价格为35元时，利润最大为450元．  【解析】由图象可知，分两种情况：当时，当时，分别利用待定系数法求解即可； 设销售利润为w元，再根据销售利润销售价格-采购价格销售量列出w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值． 27.【答案】证明见解析；    【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ， 将沿着AE翻折到， ， ， ； 解：将沿着AE翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 四边形ABCD是平行四边形，， ，， 由①知， ， ， ， 由四边形ABCD是平行四边形，可得，根据将沿着AE翻折到，有，故，从而； 证明，可得，故∽，即可求FD的长，进而求出，从而求出 本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质和平行四边形性质． 28.【答案】解：将点代入，可得， 二次函数图象的对称轴与x轴交于点， ，解得：， 二次函数的解析式为； 如图，过点D作轴于点E，连接BD， ， ， ， ， ， ∽， ，即  ， 设D点坐标为， ，，， ，解得：舍去，， 当时，， ，， 在中，， 在中，， 在中，； 存在，理由如下： 如图，当图中关于对称轴对称时，， 当点、关于抛物线对称轴对称时，此时与长度相等，即， ①当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E， ，点C、D关于对称轴对称， ， 为等腰直角三角形， ， 设点C的坐标为， ，， ， 解得舍去或， 此时点C的坐标为； ②当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F， ，点C、D关于对称轴对称， ， 为等腰直角三角形， ， 设点C的坐标为， ，， ， 解得舍去或， 此时点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或或  【解析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合、分类讨论及方程思想解题是关键． 二次函数与y轴交于点，求得，二次函数的对称轴与x轴交于点，即二次函数对称轴为直线，求出b的值，即可得到二次函数的表达式； 通过证明∽，，然后结合点D的坐标特征列方程求得DE和AE的长度，从而求解； 根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点C的坐标即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$