江苏省常州市天宁区朝阳中学等学校2024--2025学年九年级下学期月考数学试卷（4月份）

2025年江苏省常州市天宁区朝阳中学等学校九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2025的相反数是(    ) A. B. C. 2025 D. 2.若二次根式有意义，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列各式计算结果为的是(    ) A. B. C. D. 4.方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5.为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 6.如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 7.关于x的二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数.如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.根据图中信息，下面4个推断中，合理的是(    ) A. 消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米 B. B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油 C. 对于A车而言，行驶速度越快越省油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶A车比驾驶B车更省油 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.          . 10.分解因式：          . 11.我国的北斗卫星导航系统中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数据21500000用科学记数法表示为______. 12.计算：______. 13.某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小.写出一个满足条件的k的值是______. 14.如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______. 15.扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为______. 16.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为______ 17.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则______. 18.如图，衣夹简化的示意图中夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合即C，D两点重合，，，当夹子完全张开时即A，B两点重合，能夹衣物的最大厚度是______ 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 化简： 20.本小题6分 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21.本小题8分 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为单位；小时，将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析． 下列抽取方法具有代表性的是______. A.随机抽取一个班的学生 B.从12个班中，随机抽取50名学生 C.随机抽取50名男生 D.随机抽取50名女生 由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间小时 5 6 7 8 人数人 1 1 2 10 15 9 10 2 ①这组数据的众数是______，中位数是______； ②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少． 22.本小题8分 随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等.在一次购物中小张和小王从微信记为、支付宝记为、银行卡记为三种支付方式中随机选择一种方式进行支付. 小张选择微信支付的概率是______； 请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率. 23.本小题8分 某公司销售一种商品，成本为每件40元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 … 70 80 90 … 每天销售数量件 … 30 20 10 … 直接写出y与x之间的函数关系式______； 设该公司销售这种商品每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24.本小题8分 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点， 求一次函数、反比例函数的表达式； 求的面积. 25.本小题8分 中国迎来智慧农田时代，某地使用无人机给稻田喷洒农药，当无人机飞行到C处时，操控者在A处测得无人机的仰角为，无人机沿正东方向以的速度飞行15s到A的正上方D处，然后以相同的速度向正东方向飞行到E处，操控者在B处测得无人机的仰角是，已知B在A的正东方向处. 求无人机的高度结果保留根号； 求无人机从点D飞行到点E需要多长时间？结果保留根号 26.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，三个顶点的坐标分别是、、 的外接圆半径是______； 请在第四象限的空白处画一个格点，使∽，且相似比为； 作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点O成中心对称的； 绕点M顺时针旋转后可与重合，则点M的坐标是______. 27.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． 已知点A的坐标为， ①若点B的坐标为，求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式． 的半径为，点M的坐标为，若在上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 28.本小题10分 如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，连接AC、 填空：______，______； 当时，函数的最小值是2，直接写出t的值是______； 在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：2025的相反数是， 故选： 根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案. 本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解答此题的关键. 2.【答案】A  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选： 根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3.【答案】B  【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B.，故本选项符合题意； C.，故本选项不合题意； D.，故本选项不合题意； 故选： 选项A根据同类项的定义以及合并同类项法则判断即可； 选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减； 选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘； 选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：方程， ，，， ， 则方程有两个不相等的实数根． 故选： 求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可． 此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：根据题意得：， 与x的函数关系式为， 故选： 根据购买篮球的个数得出函数解析式． 本题考查根据实际问题列反比例函数的关系式，正确根据相关知识点作答是解题关键． 6.【答案】C  【解析】解：由数轴知：， 由于，故选项A错误； 由于，故选项B错误； 由于，，所以，故选项C正确； 由于，，|，所以，故选项D错误． 故选： 根据数轴上的点确定a、b的正负以及两数绝对值的大小，再通过加法、乘法的符号法则得结论． 本题考查了数轴的相关知识以及加法、乘法的符号法则．解决本题亦可通过特殊值的办法进行判断． 7.【答案】D  【解析】解：A：，函数的开口向下，对称轴是，故此选项错误， B：当，，图象与y轴的交点坐标为：，故此选项错误， C：这个函数的顶点是，故此选项错误， ：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确， 故选： 二次函数的一般形式中的顶点式是：且a，h，k是常数，它的对称轴是，顶点坐标是 此题主要考查了二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，熟练利用其性质是解题关键． 8.【答案】B  【解析】解：①由图象可知，当A车速度超过40km时，燃油效率大于，所以当速度超过40km时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项不合理，不符合题意； ②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40km，，最多消耗4升汽油，此项合理，符合题意； ③对于A车而言，行驶速度在时，越快越省油，故此项不合理，不符合题意； ④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更省油，故此项不合理，不符合题意． 故选： 根据题意和函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据立方根的性质即可得出结论． 体会立方与立方根之间的联系是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解： 故答案为： 直接运用平方差公式分解因式即可． 本题主要考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】1  【解析】解： ， 故答案为： 运用同分母分式相加减法则进行计算，并把结果化为最简形式． 此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行计算、化简． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：由题可知， 当反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小， 即时满足条件， 则k的值取 故答案为：答案不唯一 根据反比例函数的性质以及题意可知，再进行取值即可． 本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例的性质是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形， 指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即， 故答案为： 根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，计算即可． 本题考查的是几何概率，三角形的面积和多边形的对角线，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：点与点B关于原点对称， 点B的坐标为  故答案为： 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 本题考查关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 16.【答案】13  【解析】解：连接AC， 由题意可得：AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 故答案为： 连接AC，根据，得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可． 本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】  【解析】解：由折叠知，，，， ， 在中，， 设，则， ，， 在中， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为： 先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论． 此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键． 18.【答案】  【解析】解：如图：连接CD， ，， ，， ， ， ∽， ， 解得：， 能夹衣物的最大厚度是， 故答案为： 连接CD，先利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19.【答案】；     【解析】解：原式 ； 原式 利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可； 利用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可． 本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.【答案】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：   【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 21.【答案】B  7小时  7小时  【解析】解：因为方法A、C、D均不具有代表性，而方法B对于九年级的每一名学生来说，都有被抽取的机会，具有代表性， 所以选取方法 故答案为：B； ①这组数据的众数为7小时，中位数为小时， 故答案为：7小时，7小时； ②人 故可估计九年级学生平均每天睡眼时间的人数大约为144人． 根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析； ①由众数和中位数的定义求解即可； ②由九年级人数乘以样本中平均每天睡眼时间的人数所占的比例即可． 此题考查了抽样调查、众数、中位数以及利用样本估计总体．掌握定义是解题的关键． 22.【答案】  【解析】解：共有三种支付方式，分别是微信、支付宝、银行卡， 小张选择用微信支付的概率为， 故答案为：；’ 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式记做事件有3种， 两人恰好选择同一种支付方式的概率 直接根据概率公式求解即可； 画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小张和小王恰好选择同一种支付方式的情况，再由概率公式即可求解． 此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23.【答案】；   当销售单价为70元时，每天获利最大，最大利润是900元．  【解析】解：设， 把，代入中得： ， 解得：， ； 由题意得： ， ，， ， 当时，w最大元， 当销售单价为70元时，每天获利最大，最大利润是900元． 利用待定系数法求一次函数的解析式进行计算，即可解答； 根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24.【答案】一次函数为，反比例函数为；     【解析】解：由过点和可得： ， 解得：， 故， 又由过点和可得： ， 解得， 故 由过点B，可知， 故， 而点D到y轴的距离为2， 将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式； 根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求出 本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键． 25.【答案】；    【解析】解：由题可知：，，， 在中，， 答：无人机的高度AD为； 如图：过点B作，垂足为点F， 由题可知：，， 四边形ABFD是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， 答：无人机从点D飞行到点E需要 首先可求得CD的长，再根据解直角三角形，即可求解； 过点B作，垂足为点F，可证得四边形ABFD是矩形，可得，，再根据等腰三角形的判定，即可求得，据此即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，二次根式的运算，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 26.【答案】   见解答．   见解答．     【解析】解：分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点， 则点为的外接圆圆心， 由勾股定理得，， 的外接圆半径是 故答案为： 由勾股定理得，，， ∽，且相似比为，， ，， 如图，即为所求． 如图，和即为所求． 分别作线段，的垂直平分线，相交于点M， 则点M即为所求， 点M的坐标是 故答案为： 分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点，则点为的外接圆圆心，再利用勾股定理计算即可． 在第四象限画格点，使，，即可． 根据旋转的性质、中心对称的性质作图即可． 分别作线段，的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求，即可得出答案． 本题考查作图-相似变换、三角形的外接圆与外心、作图-旋转变换、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27.【答案】解：①如图： ，，四边形ACBD是矩形， ，， 点A，B的“相关矩形”的面积为； ②如图： 由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 点A，C的“相关矩形”为正方形，，C在直线上， 直线AC与x轴的夹角为，或， 设直线AC的解析为：， 把A，C坐标分别代入得：或， 解得：或， 综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为或； 点M，N的“相关矩形”为正方形， 由定义可知：直线MN与x轴的夹角为， 直线MN与直线或直线平行， ①当直线MN与直线平行时，设直线MN的解析式为， 将代入得：，解得， 直线MN的解析式为， 直线MN与y轴交点纵坐标为， 平移直线，使平移后的直线AD、BC与相切，其中A、B是切点，切线与y轴分别交于D、C，如图： 半径为， ， 、BC与直线平行， 和均是等腰直角三角形， ， 当时，直线MN与有交点，且点M，N的“相关矩形”为正方形， ， ②当直线MN与直线平行时，设直线MN的解析式为， 将代入得：，解得， 直线MN的解析式为， 直线MN与y轴交点纵坐标为， 平移直线，使平移后的直线EH、FG与相切，其中E、F是切点，切线与y轴分别交于H、G，如图： 半径为， ， 、FG与直线平行， 和均是等腰直角三角形， ， 当时，直线MN与有交点，且点M，N的“相关矩形”为正方形， ， 综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：或  【解析】由“相关矩形”的定义可知：要求A与B的“相关矩形”面积，AB为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的长和宽度，进而可求出该矩形的面积； 由定义可知，AC为正方形的对角线，故AC与x轴的夹角必为，求出C的坐标，用待定系数法即可得到结论； 由定义可知，MN为“相关矩形”的对角线，若该“相关矩形”为正方形，则直线MN与x轴的夹角为，且与直线或平行，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围． 本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解“相关矩形”的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来． 28.【答案】，2；   ；   存在，点或  【解析】解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 故答案为：，2； 当时，， 解得，， 点， 当时，， 点 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则舍去， 故答案为：； 存在点P，理由如下： 由，得， ， ①当点P在BC左侧时，如图，在y轴上取点，延长BM交抛物线于点， 在和中， ，，， ≌， ， ， 设直线BM的解析式为， 由点B、M的坐标得，直线BM的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则舍去或， 故点； ②当点P在BC右侧时，如上图，作关于BC的对称，CN交二次函数 于点， 则，，， ， ， 四边形OCNB是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ≌， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点P有两个，分别为：或 由待定系数法求出函数表达式，即可求解； 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，即可求解； 分点P在BC左侧和点P在BC右侧两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图象及性质，进而求解． 本题是二次函数综合题，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$