精品解析：湖南省株洲市天元中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

天元中学2024年上学期八年级期中考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将答题卡交给监考老师． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：折叠之后可以完全重合的图形是解题轴对称图形；中心对称图形的概念是旋转后可以完全重合的图形是中心对称图形即可解答． 【详解】解：项既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，理解对应概念是解题的关键． 2. 中，D、E分别是的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线，熟记三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 4. 若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的特征，直角三角形的两个锐角互余，由此可解． 【详解】解：若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于：， 故选A． 5. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 6. 下列各组数中，分别以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）． A. 1，2，3 B. C. 6，10，12 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：根据题意可知， A、∵，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，则该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，则该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，则该三角形是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 7. 在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 8. 下列说法正确的是 （ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形． C. 矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴 D. 对角线相等的平行四边形为矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B、D进行判断；根据矩形的性质对C进行判断． 【详解】解：A、一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以B选项错误； C、矩形是轴对称图形，两组对边中点连线所在的直线是它的对称轴，所以C选项错误； D、对角线相等的平行四边形为矩形，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定，轴对称等知识点的理解和掌握，能熟练地根据这些性质进行判断是解此题的关键． 9. 如图，菱形的周长为12，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设与相交于点O，由菱形的性质得到，， ，则为等边三角形，，得到，在中，利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：设与相交于点O， ∵菱形的周长为12，， ∴，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 10. 矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线找全等三角形和特殊的直角三角形解题,见详解. 【详解】解：连接BD ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，AC、BD互相平分 ∵O为AC中点 ∴BD也过O点 ∴OB=OC ∵∠COB=60°，OB=OC ∴△OBC是等边三角形 ∴OB=BC=OC，∠OBC=60° ∵FO=FC，BF=BF ∴△OBF≌△CBF（SSS） ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称 ∴FB⊥OC，OM=CM.故③正确 ∵∠OBC=60° ∴∠ABO=30° ∵△OBF≌△CBF ∴∠OBM=∠CBM=30° ∴∠ABO=∠OBF ∵AB∥CD ∴∠OCF=∠OAE ∵OA=OC 可得△AOE≌△COF,故①正确 ∴OE=OF 则四边形EBFD是平行四边形，又可知OB⊥EF ∴四边形EBFD是菱形.故④正确 ∴△EOB≌△FOB≌△FCB.则②△EOB≌△CMB错误 ∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°, 设MB=a,则OM=a,OB=2a, OF=OM, ∵OE=OF ∴MB：OE=3：2.则⑤正确 综上一共有4个正确的, 故选B. 【点睛】本题考查了四边形的综合应用,特殊的直角三角形,三角形的全等,菱形的判定,综合性强,难度大,认真审题,证明全等找到边长之间的关系是解题关键. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，共24分） 11. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 12. 在平面直角坐标系中，将点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的特点即可求解． 【详解】解：点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到坐标， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移坐标的变化情况是解题的关键． 13. 某班同学每周课外阅读时间的频数直方图如图所示（每组含前一个边界值不含后一个边界值）．由图可知，该班每周阅读时间不低于4小时的学生一共有________人． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图的数据，求出该班每周阅读时间不低于4小时的学生人数即可得到答案． 【详解】解：人， ∴该班每周阅读时间不低于4小时的学生一共有36人， 故答案为：36． 14. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 15. 若，且a，b，c为的三边，则的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理；根据非负数的性质求得，，，进而根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 故答案为：24． 16. 如图，将Rt△ABC沿着点B到A的方向平移到△DEF的位置，BC＝8，FO＝2，平移距离为4，则四边形AOFD的面积为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，判断AD＝CF＝BE＝4，AD∥CF，再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可． 【详解】如图，连接CF．　 由平移的性质知，AD＝CF＝BE＝4，AD∥CF， ∴四边形ACFD为平行四边形． ∴＝AD•BC＝4×8＝32， ∵FO＝2， ∴S△FOC＝OF•BE＝＝4， ∴＝＝32-4＝28． 故答案为28． 【点睛】本题考查图形的平移以及平行四边形的判定．根据题意得出＝是解答本题的关键． 17. 如图，四边形ABCD为菱形，对角线，，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长为______． 【答案】##4.8##4 【解析】 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4，再由勾股定理求出CD＝5，然后由菱形的面积公式：•AC•BD＝CD•AE，即可解决问题． 【详解】解：设AC、BD交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝3，OB＝ODBD＝4， ∴， ∵AE垂直于CD，垂足为点E， ∴•AC•BD＝CD•AE， 即6×8＝5AE， ∴AE， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 ___°． 【答案】30 【解析】 【分析】以为边作等边，连接，过点分别作，分别交的延长线于点,证明三点共线，进而证明可得，证明可得，进而可得，进而SSS证明，从而可得，即可求得的度数． 【详解】如图，以为边作等边，连接， ∴∠ABE=60° 三点共线， 过点分别作，分别交的延长线于点, DB平分∠ADC， 又, DB平分∠ADC， 又， 故答案为：30 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，添加条直线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． （1）根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； （2）在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图所示： 如图所示： （2） 如图所示； 点C的对应点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查根据题中已知点建立平面直角坐标系及轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质． （1）根据点、坐标可建立坐标系； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某中学在一次科技知识测试中，抽取部分学生成绩（分数为整数，满分分）将所得的数据整理后，画出频率分布直方图，已知图中从左到右的三个小组的频率分别为，，，第二小组的频数为． （1）本次测试中抽取的学生有多少人？ （2）分数在这一组的频率是多少，有多少人？ （3）若这次成绩在分以上（含分）为优秀，则优秀率不低于多少？ 【答案】（1）50人；（2）0.08，4人；（3）90% 【解析】 【分析】（1）根据频率频数数据总和计算； （2）根据各组的频率的和是1，即可求解； （3）根据各组的频率的和是1，求得第四组的频率，第三组与第四组频率的和即为所求． 【详解】解：（1）由题意可知：本次测试中抽取的学生有人； （2）分数在这一组的频率是，则频数为人； （3）成绩在80分以上（含80分）的频率为，则优秀率为． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得出，结合平行线的性质与判定、角平分线的定义，推出，根据“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”判定四边形是平行四边 形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. 如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形. 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）242 【解析】 【分析】对于（1），先根据定义说明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，即可得出，进而得出答案； 对于（2），先说明四边形是正方形，再求出，进而求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 四边形是正方形， ∴. ， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 四边形的面积为∶． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 23. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 （2）整块空地上种植草皮共需投入元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵铺设成本为， ∴铺设这条鹅卵石路的花费为（元）． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是元， ∴整块空地上种植草皮共需投入（元）． 24. 如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长及四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵O是对角线上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）； 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理，得到，结合，得到即可证明四边形 是矩形； （2）根据矩形的性质和三角形中位线定理，得 ，利用勾股定理求解的长即可得到答案． 本题考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定定理和三角形中位线定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴（三角形中位线定理）， ∴， ∴四边形的周长为． 25. 如图，在等边中，交于点于点． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，． 在与中， ∴． （2） 证明：∵， ， ， ． ． ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等； （2）由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则，根据含的直角三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． （2）当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． 【答案】（1）①；②或； ③证明：延长到，使， ， 过作于，交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ， ， ，， 且，即， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）①通过证明，即可得到； ②当点在上时，过点作交于点，延长交于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而得到；当点在上时，过点作交于点，延长交点的延长线于点，同理可证明，推出是等腰直角三角形，则，； ③延长到，使，过作于，交于点，则，推出是等腰直角三角形，则，证明，可得，推出，结合即可证明； （2）延长、，交于点，可推出是等腰直角三角形，则，可证明，得到，，推出是等腰直角三角形，设，则，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②当点在上时，如图1，过点作交于点，延长交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当点在上时，如图2，过点作交于点，延长交点的延长线于点， 四边形是矩形， 同理，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，的度数为或； ③略． 【小问2详解】 如下图，延长、，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 设， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是综合运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天元中学2024年上学期八年级期中考试 数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将答题卡交给监考老师． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 中，D、E分别是的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数中，分别以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）． A. 1，2，3 B. C. 6，10，12 D. 5，12，13 7. 在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是 （ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形． C. 矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴 D. 对角线相等的平行四边形为矩形 9. 如图，菱形的周长为12，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分，共24分） 11. 正六边形的内角和为___度． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是________． 13. 某班同学每周课外阅读时间的频数直方图如图所示（每组含前一个边界值不含后一个边界值）．由图可知，该班每周阅读时间不低于4小时的学生一共有________人． 14. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 15. 若，且a，b，c为的三边，则的面积为_____． 16. 如图，将Rt△ABC沿着点B到A的方向平移到△DEF的位置，BC＝8，FO＝2，平移距离为4，则四边形AOFD的面积为__． 17. 如图，四边形ABCD为菱形，对角线，，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长为______． 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 ___°． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． （1）根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； （2）在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 20. 某中学在一次科技知识测试中，抽取部分学生成绩（分数为整数，满分分）将所得的数据整理后，画出频率分布直方图，已知图中从左到右的三个小组的频率分别为，，，第二小组的频数为． （1）本次测试中抽取的学生有多少人？ （2）分数在这一组的频率是多少，有多少人？ （3）若这次成绩在分以上（含分）为优秀，则优秀率不低于多少？ 21. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 22. 如图，在中，的平分线交于点D，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 23. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 24. 如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长及四边形的周长． 25. 如图，在等边中，交于点于点． （1）求证：； （2）求证： 26. 正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． （2）当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $