对数的运算讲义-2026届高三数学一轮复习

对数与对数函数 课前学习任务 一、必备知识 1．对数的概念及运算性质 概念 一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作____．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，将log10N记作lg N．另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将logeN记作ln N 运算 法则 (1) 对数的性质： ①alogaN＝____； ②logaab＝b(a＞0且a≠1)． (2) 对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝____； ②loga＝____； ③logaMn＝____(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R且m≠0) 换底公式 换底公式：logaN＝(a，b均大于零且不等于1) 2．常用结论： (1) logab＝； (2) logab·logbc·logcd＝logad． 二、练基础 1．化简4log16 x2的结果为(　　) A．|x| B． C．x D． 2．计算：2log525＋3log264－8log71＝(　　) A．14　 B．8　 C．22　 D．27 3．(人A必一P126练习T1改)下列各式正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ 4．(人A必一P126练习T3(2)改)计算：2(log43＋log83)(log32＋log92)＝(　　) A．1 B． C．2 D． 5．(人A必一P127习题T5改)(多选)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是(　　) A．lg 6＝a＋b B．log34＝ C．log212＝a＋2b D．lg ＝b－a 课堂核心考点 考点一 对数式的化简与求值 例1　(1) 计算：31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝____． (2) 计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝____． 变式1　(1) 计算：4log43＋log2－log169＝___． (2) 若正实数a，b满足(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50，lg a·lg b＝lg ，则(ab)lg (ab)＝____． 考点二 换底公式的应用 例2　(1) 已知2a＝7b＝k，若＋＝1，则k的值为(　　) A．28 B． C．14 D． (2) 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝(　　) A． B． C． D． 题组强化 1．设4m＝36，3n＝6，则＋＝____． 2．设a＞1，若－＝1，则a＝____． 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log615＝____(结果用a，b表示)． 考点三 对数的实际应用 例3　大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5 000 m，8 000 m的两地的大气压强分别为54 kPa，36 kPa．若测得某地的大气压强为80 kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．295 m B．995 m C．2 085 m D．3 025 m 变式3　生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 课后提升练 1．若2a＝5b＝10，则2＝(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 2．已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝(　　) A． B． C． D． 3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 4．已知a＞1且－＝－，则a＝____． 5．若a＞b＞1，且4logab＋3logba＝8，则a＋的最小值为____． 答案解析 课前学习任务 1. logaN＝b　N　logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM 1. A　2. C 3. B　【解析】 对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误． 4. D　【解析】 2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2＝log23×＝. 5. AD　【解析】 对于A，lg 6＝lg (2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；对于B，log34＝＝，故B错误；对于C，log212＝＝＝，故C错误；对于D，lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，故D正确． 课堂核心考点 例1　 (1) －　【解析】 31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋()log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－. (2) 　【解析】 设m＝ln 8，则em＝8，所以7ln 8－8ln 7＝7m－(em)ln 7＝7m－(eln 7)m＝7m－7m＝0，所以(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝(lg 2)2＋lg 2(lg 5＋1)＋2lg 5＋(log23＋log23)＋20＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 2＋2lg 5＋log32×log23＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 2＋2lg 5＋＋1＝＋1＝. 变式1　(1) 　【解析】 原式＝3＋log46－log43＝3＋log42＝3＋＝. (2) 100　【解析】 由lg a·lg b＝lg ，得2lg a·lg b＝lg 2①，又(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50②，所以①＋②得(lg a)2＋2lg a·lg b＋(lg b)2＝lg 2＋lg 50＝2，即(lg a＋lg b)2＝2.对于(ab)lg (ab)取常用对数可得lg (ab)lg (ab)＝lg (ab)·lg (ab)＝(lg a＋lg b)2＝2，故(ab)lg (ab)＝100. 例2　(1) A　【解析】 因为2a＝7b＝k，所以a＝log2k，b＝log7k，所以＝logk2，＝logk7，所以＋＝2logk2＋logk7＝logk28＝1，所以k＝28. (2) C　【解析】 由换底公式得log27＝log23·log37＝mn，则log72＝，所以log4256＝log42(7×8)＝log427＋log428，其中log427＝＝＝＝＝，log428＝3log422＝＝＝，故log4256＝＋＝. 题组·高频强化 1. 1　【解析】 由4m＝36，得2m＝6，则m＝log26.由3n＝6，得n＝log36，所以＋＝＋＝log62＋log63＝log66＝1. 2. 3　【解析】 由－＝－3log27a＝－log3a＝1，整理得(log3a)2＋log3a－2＝0，解得log3a＝－2或log3a＝1，即a＝(舍去)或a＝3. 3. 　【解析】 log615＝＝＝＝. 例3　C　【解析】 由题知54＝p0e－5 000k①，36＝p0e－8 000k②，①÷②得e3 000k＝，所以3 000k＝ln ③.当p＝80 kPa时，由80＝p0e－kh④，②÷④得ekh－8 000k＝，所以k(h－8 000)＝ln ⑤，由⑤÷③，得＝＝＝≈－，解得h≈2 085 m. 变式3　D　【解析】 由题意得＝2.1，＝3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N. 课后提升练 1. C　【解析】 因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＝＝＝log25，所以2＝2log25＝5. 2. D　【解析】 由换底公式得logma＝＝，logmb＝＝，所以logabm＝＝＝. 3. C　【解析】 由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝10－＝≈≈0.8. 4. 64　【解析】 由题知－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0⇒log2a＝－1或log2a＝6.又a>1，所以log2a＝6，故a＝26＝64. 5. 5　【解析】 因为4logab＋3logba＝8，所以4logab＋＝8，解得logab＝或.因为a>b>1，所以logab<1，则logab＝，即a＝b.因为a>1，所以a－1>0，a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a－1＝，即a＝3时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$