陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝 上的点数均为奇数，则 A.A为必然事件 B.B为不可能事件 C.A与B为互斥但不对立事件 D.A与B互为对立事件 2.已知向量a=(x,5),b=(6,2),且ab,则x= A.10 B.15 c-号 D-号 ati 3.已知a∈R,复数z一十2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为 A.（-∞，-2) B(-,2) c(2,+∞) D.(-2,十∞) 4.已知a,B是两个互相垂直的平面，l,m是两条互相平行的直线，且⊥a,mB,则 A.L//B B.l⊥3 C.m/a D.m⊥a 5.若复数x=a十i(a∈R)是关于x的一元二次方程x2十4x十m=0(m∈R)的一个根，则m= A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，△OA'B是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，若△O'A'B'是边长为3 的等边三角形，则△OAB的面积为 A29 B2要 C. 4 D96 4 【高一数学第1页（共4页）】 7.已知点A在点B的正西方向，为了测量A,B两点之间的距离，在观测点C处测得A在C的 北偏西15°方向，B在C的北偏东45°方向，且B,C两点之间的距离为20米，则A,B两点之 间的距离为 A.(302-10w6)米 B.(30√2+10W6)米 C.(30-103)米 D.(30+10W3)米 8.已知向量a,b满足|a|=5,a·b=5,则1a十b的最小值为 A.10 B.8 C.6 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数之1=(1一i)(2-i),之2=iz1,则 A.21=1-3i B.之1=22 C.|z11=|z21 D.之2的虚部为1 10.不透明的袋子中装有两个分别标有数字1,2的红球和四个分别标有数字1,2,3,4的黄球， 这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则 A.这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B.至少有一个红球被取出的概率为弓 C这两个球上的数字相同的概率为号 D这两个球上的数字之和为偶数的概率为号 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2A+sin2C+sin Asin C-sinB=0, a=c,D,E是线段AC上的两点（不包括端点），铝-X,二=rQ<,且∠DBE= 合∠ABC,下列结论正确的是 AB=号 B若∠ABD=T,则X=3-E C若u=2,则∠ABD=否 D.(一1)4是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一组数据25,23,26,19,17,21,20的第40百分位数为 13.如图，在△ABC中，BC=3BD,AE=Ei,若B克=xAB+ yAC,则x十y=▲ 14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC,AB⊥BC,AA1十 √2AB=4,则该三棱柱外接球表面积的最小值为▲ 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消 防安全知识测试，将他们的得分（满分：100分）分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90),[90,100],并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图. (1)求m的值； (2)在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分 层随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数； (3)若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为 代表，估计当地中学生评级为优秀的人数. ↑频率/组距 0.030 0.020 0.010 0.005 0405060708090100每分 16.(15分)》 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A一asin B=c. (1)求角B; (2)若b=√10，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 17.(15分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C中，D为AB的中点，AA1=AB=4,B1它=3E克. (1)证明：CD⊥A1E. (2)证明：BC1平面A1CD A B (3)证明：A1D⊥平面CDE. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从 袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为号。 (1)求m的值； (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率， 19.(17分) 如图1，在△ABC中，AB=BC=√3，∠BAC=30°，D是线段AC上一点，且BD⊥AB.将 △BCD沿着BD翻折至△BPD,得到如图2所示的三棱锥P-ABD,记二面角P-BD-A的 大小为a. (1)当a=时，求直线AP与平面ABD所成角的正切值. (2)当写<<受时，在翻折的过程中： ()求点P的运动轨迹的长度； (i)求AP的取值范围. 图1 图2 【高一数学第4页（共4页）】 高一数学考试参考答案 1.C显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互 斥但不对立事件 2.B因为a/h,所以2x-30=0,得x=15. 3.A a+i_(a+i)(1-2i)_a+2+(1-2a)i 1+2i(1+2i)(1-2i) 因为之在复平面内对应的点位于第二象 1a+2<0, 限，所以 1-2a>0, 解得a<-2. 4.D 因为a⊥β，lhm,l⊥a,mB,所以m⊥a,lB或lCR. 5.D 由题意可得2a=-4,解得a=-2,所以m=(-2十i)(-2-i)=5. 6.B如图，过点A'作A'C∥x'轴，并与y'轴交于点C',则∠OA'C= O'c' O'A 12o,∠A'C0'=45',0A'-3,则gnZ0AC-snZ0CA,得0C ，则△0AB的高为36，面积为2×3X3v6-9 3v6 2 7.A 如图，由题可知∠ACB=15°+45°=60°，∠BAC=75°，BC=20米，由 正弦定理可 sin∠ACB=sin2BAc,则AB-20sim60°-105 AB BC sin75°√2+√6 =(30√2-10√6)米. 8.C因为la|=5,a·b=|allb1cos(a,b)=5,所以|blcos(a,b)=1,则|b|≥1.la+b12=a +2a·b+b2≥36，则|a+b|≥6. 9.ACD因为x1=(1-i)(2-i),z2=iz1,所以之1=2-i-2i+=1-3i,x2=iz1=i-3i2=3+ i,则2=3-i,2的虚部为1，g1≠2,1=|2|=√/10. 10.AC从袋子中随机取出两个球，样本空间2={（红1，红2），（红1，黄1），（红1，黄2）， (红1，黄3)，（红1，黄4），（红2，黄1），（红2，黄2），（红2，黄3），（红2，黄4），（黄1，黄2）， (黄1，黄3)，（黄1，黄4），（黄2，黄3），（黄2，黄4），（黄3，黄4）.这两个球颜色相同的概率 为名，颜色不同的概率为。A正确至少有-个红球被取出的概率为号=号，B不正确这 93 2 62 两个球上的数字相同的概率为，C正确这两个球上的数字之和为偶数的概率为污一， D不正确. 11.ACD 由正弦定理得62十女-6=-c,得cosB-a+-方则B=A正确 2ac 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 AD 2AB·BDsina 设∠ABD=a,0<a<号，则A- _S△BD sin a S△CBD CB.BDsin( ) 2tan a AE_S△AE 2AB.BEsn(号+ ）sin(号ta） tana+√③ tan a+3 EC CB·BEin(告-a）sm(号-a】 √3-tana 当a=开 时，A= 2tan a 2 tana+√31+√5 3-1当上2时.am6得得aB错误0 正确.(A一1)μ=（ 小罗-清得 tana+√3 =一1，D正确。 12.20将这组数据从小到大排序为17,19,20,21,23,25,26，因为0.4×7=2.8，所以这组数据 的第40百分位数为20， 13.-7 由题可知，眩=A花-A店=A市-A店=号×（号A店+}A)-A应=-号A被+ 君AC则x十y=-合 14.8π 由题意得AC-2AB,设该三棱柱外接球的球心为O,则A02-(2AM,)+2AC)°- 二(AA,+W2AB)2 子AA+号AB≥ 2 2 =2,当且仅当AA1=√2AB=2时， 等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为4π×2=8π 15.解：(1)由图可得10X(0.01十2×0.02十0.03十0.005+m)=1,…2分 解得m=0.015. 4分 (2)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在[40,50)内的频率为10×0.01=0.1， …5分 则学生人数为1000X0.1=100,…6分 得分在[80,90)内的频率为10m=0.15, 7分 则学生人数为1000X0.15=150,…8分 100 故抽取的得分在[40,50)内的学生人数为100十150X50=20.… 9分 (3)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于70分的频率为10×(0.02+m+ 0.005)=0.4,… 11分 以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为0.4× 40000=16000.… …13分 16.解：(1)因为bcos A-asin B=c,所以sin Bcos A-sin Asin B=sinC. …2分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 设∠ABD=,0<a<号，则入= AD SAABD AB,BDsin a sin a S△CBD CB·BDsn(5-。 sinlg-a】 2tan a AESAAIE= AB:BEsn(货+a）sn(爱+a】 tan a+3 ana十5u武-S6cE 2cB·BEsin(3-a）sin(3-a) 3-tana 当a=开 时，A= 2tan a 2 tana+51+√5 =5-1，当以=am中5=2时，ana=得a=吾，B错误，C √5-tana 正稳a-咖-(0后一层-尝+ √3-tan a tan a+√3√5-tana =-1,D正确。 12.20将这组数据从小到大排序为17,19,20,21,23,25,26，因为0.4×7=2.8，所以这组数据 的第40百分位数为20. 由题可知，B配=A范-A店=号A币-A=2×(号A+}AC)-A店=-子A+ aC,则x+y=-是 14.8π 由题意得AC=巨AB.设该三棱柱外接球的球心为O,则A02=(2AA,)'+(2AC) (AA+AB) 2 2 =2,当且仅当AA,=√2AB=2时， 等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为4π×2=8π 15.解：(1)由图可得10×(0.01+2×0.02+0.03+0.005+m)=1, 2分 说獬得m=0.015.…4分 (2)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在[40,50)内的频率为10×0.01=0.1，… …5分 则学生人数为1000X0.1=100,…6分 得分在[80,90)内的频率为10m=0.15, 7分 则学生人数为1000X0.15=150,…8分 100 故抽取的得分在[40,50)内的学生人数为100+150×50=20. 9分 (3)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于70分的频率为10×(0.02十m+ 0.005)=0.4,…11分 以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为0.4× 40000=16000.… 050844444455551000:13分 16.解：(1)因为bcos A-asin B=c,所以sin Bcos A-sin Asin B=sinC. …2分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 又A+B+C=π，所以sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 4分 则-sin Asin B=sin Acos B.…5分 因为sinA≠0，所以-sinB=cosB,即tanB=一l.…6分 由B∈(0，x),可得B=3 7分 (2)因为△ABC的面积为1，所以2 acsinB=号 1ac=1,得ac=22. 9分 由余弦定理可知b2=a2+c2-2 accos B=a十c2+√2ac=(a十c)2-(2-√2)ac,…11分 则(a十c)2=b2+(2-√2)ac=6+4√2=(2+√2)2，… 13分 所以a十c=2十√2，… 14分 故△ABC的周长为2+√2十√/10.… …15分 17.证明：(1)因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，所以CD LAB.…1分 因为BB⊥平面ABC,CDC平面ABC,所以BB1⊥CD.…2分 因为ABC平面ABB1A,BB1C平面ABB1A1,AB∩BB1=B,所以CD⊥平面ABB1A· 3分 因为A,EC平面ABB1A1,所以CD⊥A,E.… 4分 (2)连接AC1,设AC1与A,C交于点F,则F为AC1的中点. 5分 连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为△ABC1的中位线， 6分 则DF/BC1。… 7分 又DFC平面A1CD,BC1庄平面A1CD,…8分 所以BC平面ACD.…9分 (3)易得A,D=25,DE=√5，A,E=5,则A,D2+DE2=A,E2,所 以AD⊥DE.…11分 由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,所以A1D⊥CD.…13分 因为CDC平面CDE,DEC平面CDE,CD∩DE=D, 所以A1D⊥平面CDE.…15分 18.解：(1)由题可知，” 'm+35, 2分 解得m=2. 3分 (2)若第-次取出的是红球，则这两次取出的球的颜色不同的概率P,-号×号一务： …4分 1 44 若第一次取出的是绿球，则这两次取出的球的颜色不同的概率P,=5×行一25：…5分 1 44 若第一次取出的是黄球，则这两次取出的球的颜色不同的概率P,一亏×行一2方：…6分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 2 若第一次取出的是黑球，则这两次取出的球的颜色不同的概率P,= ×- …7分 故这两次取出的球的颜色不同的概率为25十25十25十25一25： 4 444618 …9分 皆黑球被取出两次，则取出的球至少有两种不同的颜色的概率P,=。×名X?+, 5 号+××号-器 51 12分 若黑球被取出一次，取出的球至少有两种不同的颜色的概率P。= 2 号×+×号 5 +×号×号= …15分 故取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率为5十5一写， …17分 19.解：(1)油a=受，可得平面ABD⊥平面PBD,过点P作PE⊥BD,并与BD交于点E. 因为平面ABD∩平面PBD=BD,所以PE⊥平面ABD.·1分 连接AE,则∠PAE即为直线AP与平面ABD所成的角. 2分 在题图1中，由AB=BC=3,∠BAC=30°，BD⊥AB,可得∠BDC=120°，BD=CD= 号BC=1,则DE-号，PE= 2, …3分 则BE=多AE=√AB+肥= 2 4分 从而a∠PAE-是-号， 5分 即直线AP与平面ABD所成角的正切值为7， 6分 (2)(i)在翻折的过程中，由题可知，点P的运动轨迹是以E为圆心，PE为半径的圆上 的孤.…8分 因为行<a<,所以点P的运动轨迹的长度为( 2π 2π_1 …10分 (i)如图，当行<a<号时，记点P在平面ABD内的投影为R, 则PF= 2 sin a, …11分 过点F作FGLAB,.并与AB交于点G,则AG=(2-cosa) 12分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 APAG+FGcac ,…13分 AP:-AP+PPco 213 ,…14分 因为<a<行所以-<osa≤分 15分 则号<P<, 16分 「3v2√301 从而AP的取值范围为之，2 …17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】