精品解析： 四川省泸州市第十五中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年四川省泸州十五中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题．（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 3. 在中，、、所对的边为、、，则下列不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，比大，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，则（　　） A. B. C. D. 4 7. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 9. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 10. 如图，在中，、的角平分线交于边上一点E，且，线段的长为（　　） A. B. C. 3 D. 11. 化简二次根式 ，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与平面直角坐标系的坐标原点O重合，AC，BC分别在坐标轴上，AC=BC=1，△ABC在x轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C第一次落在x轴正半轴上时，点A的对应点A1的横坐标是( ) A. 2 B. 3 C. 1+ D. 2+ 二、填空题．（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 函数中自变量x的取值范围是_________． 14. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 15. 已知，则的值为 _____． 16. 如图，在正方形中，点E是的中点，点P在上运动，以为边向外作正方形，连接，若，则的最小值为_____． 三、解答题．（本大题共72分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 20. 已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）琳琳家离药店的距离为______； （2）琳琳邮寄物品用了______ ； （3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 21. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 22. 如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处． （1）求的长； （2）求的面积． 23. 已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 24. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒 （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段PB上有一点M，且PM＝2.5，当P运动多少，四边形OAMP的周长最小值为多少，并画图标出点M的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省泸州十五中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题．（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长． 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ，，， 的周长． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分． 3. 在中，、、所对的边为、、，则下列不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、， ， 不能构成三角形，故符合题意； B、，且， ， 为直角三角形，故不符合题意； C、，且， ， 为直角三角形，故不符合题意； D、， ， 为直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 4. 在平行四边形中，比大，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出，，根据，求出，，即可得出答案． 【详解】解：画出图形如下所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则和指数的计算法则逐个计算即可． 【详解】A 选项正确；B选项错误， C 选项错误，；D选项错误， 故选A 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算法则和指数的计算法则，应当熟练掌握． 6. 如图，在中，则（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征量，勾股定理，根据题意，，得到，根据勾股定理，得，选择即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选B． 7. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 点表示的数为,点表示的数为， ， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：B． 8. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 9. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可． 【详解】解：根据数轴可以得到： ， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键． 10. 如图，在中，、的角平分线交于边上一点E，且，线段的长为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义和平行线的性质可推出是等边三角形，进一步推出是直角三角形，再由勾股定理求解的长． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 11. 化简二次根式 ，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先判断a的正负，再根据二次根式的性化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 12. 如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与平面直角坐标系的坐标原点O重合，AC，BC分别在坐标轴上，AC=BC=1，△ABC在x轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C第一次落在x轴正半轴上时，点A的对应点A1的横坐标是( ) A. 2 B. 3 C. 1+ D. 2+ 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， ∵AC=BC=1，∠AOB=90°， ∴OA′=B2C3=1，AB=A′B2=， ∠A1C3B2=∠AOB=90°， ∴点A1的横坐标为2+． 故选：D． 二、填空题．（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 函数中自变量x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可解答． 【详解】解：根据题意得：3x-4≥0， 解得x≥． 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数非负． 14. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 15. 已知，则的值为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，点E是的中点，点P在上运动，以为边向外作正方形，连接，若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的对称性，结合“两点之间线段最短”即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由正方形的对称性可得： 因为两点之间线段最短 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的对称性，及 “两点之间线段最短”．根据对称性得出是解题关键． 三、解答题．（本大题共72分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可； 【详解】解：原式 【点睛】本题考查的是完全平方公式和平方差公式,熟练掌握乘法公式是解题的关键． 19. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出，即可得出结论． 【详解】略 20. 已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离与时间之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）琳琳家离药店的距离为______； （2）琳琳邮寄物品用了______ ； （3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 【答案】（1）； （2）20； （3）琳琳从邮局走回家的速度是． 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （1）因为琳琳从家直接到药店，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为药店离琳琳家的距离； （2）观察函数图象的横坐标，可得琳琳在邮局停留的时间； （3）根据“速度路程时间”即可得出回家的速度； 【小问1详解】 解：（1）由所给图象可知， 药店离琳琳家，琳琳用了走到药店； 因为， 所以琳琳在药店停留了； 因为，， 所以药店距邮局，琳琳走了； 因为， 所以琳琳在邮局停留了； 因为，， 所以邮局离琳琳家，琳琳走了． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）知， 琳琳在邮局停留了， 即琳琳邮寄物品用了． 故答案为：20． 【小问3详解】 解：由（1）知， 邮局离琳琳家，琳琳走了， 所以， 故琳琳从邮局走回家的速度是． 21. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 22. 如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）的长为6； （2） 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得； （2）设，则在中，利用勾股定理可求出x的值，结合图形求面积即可． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，； 【小问2详解】 由（1）得， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5， ∴， ∴的面积为：． 23. 已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质推出，证明，即可推出结论； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，证得四边形是平行四边形，结合推出，即可证得平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定定理，熟记各定理是解题的关键． 24. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的垂直平分线， ，． 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， . 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形； （2）在中，勾股定理求得，进而在中，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∵， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明． 25. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒 （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段PB上有一点M，且PM＝2.5，当P运动多少，四边形OAMP的周长最小值为多少，并画图标出点M的位置． 【答案】（1）t＝1.25；（2）①Q（4，2）；②Q（1.5，2），③Q（﹣1.5，2）；（3）、． 【解析】 【分析】（1）先求出OA，进而求出OD=2.5，再由运动知BP=5-2t，进而由平行四边形的性质建立方程5-2t=2.5即可得出结论； （2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论． 【详解】（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2）， ∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2， ∵点D时OA的中点， ∴OD＝OA＝2.5， 由运动知，PC＝2t， ∴BP＝BC﹣PC＝5﹣2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB＝OD＝2.5， ∴5﹣2t＝2.5， ∴t＝1.25； （2）①当Q点在P的右边时，如图1， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD＝OP＝PQ＝2.5， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝1.5， ∴2t＝1.5； ∴t＝0.75， ∴Q（4，2）； ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2， 同①的方法得出t＝2， ∴Q（1.5，2）， ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3， 同①的方法得出，t＝0.5， ∴Q（﹣1.5，2）； （3）t＝ 如图4， 由（1）知，OD＝2.5， ∵PM＝2.5， ∴OD＝PM， ∵BC∥OA， ∴四边形OPMD时平行四边形， ∴OP＝DM， ∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP＝5+AM+2.5+DM＝7.5+AM+DM， ∴当AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小， ∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M， ∴AB＝EB， ∵BC∥OA， ∴BM＝AD＝， ∴PC＝BC﹣BM﹣PM＝5﹣﹣＝，DM+AM＝DE＝＝＝， ∴t＝÷2＝，周长的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理的运用，解题的关键是要运用分类讨论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $