精品解析：河北省石家庄市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

石家庄市第一中学2024-2025学年高一第二学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是　(　　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. 若，，则． B. 若，，，，则． C. 若，，，则． D. ，，，，，则． 5. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ） A. 样本中A层次身高的女生少于男生 B. 样本中B层次身高的学生人数最多 C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D. 样本中E层次身高的男生有6人 6. 将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A. 事件与互斥，与相互对立 B. C. 但不满足两两独立 D. 且两两相互独立 8. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4 C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67 D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 10. 若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当最小时与重合 D. 若，则的最小值为 11. 正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D. 若点为棱上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一只田径队有男运动员56名，女运动员有42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，则男运动员应抽取________名、女运动员应抽取________名. 13. 若向量，满足，，则与的夹角为______. 14. 已知圆台的上底半径分别为1cm，2cm，高为3cm，光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点,则光线在圆台内部扫过的面积为_____ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，为上一点，，且. （1）求的值； （2）求的面积. 16. （1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标； （2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标. 17. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下， （1）计算制作该模型所需原料的质量； （2）计算该模型的表面积（精确到0.1） 参考数据：，， 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19. 如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2024-2025学年高一第二学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】解：由复数的几何意义得复数，在复平面内对应的点，是第四象限. 故选：D 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 3. 在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是　(　　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【详解】如图， 作向量，则是 与 的夹角， 在△ABC中，因为， ， 所以， 所以．选C． 4. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. 若，，则． B. 若，，，，则． C. 若，，，则． D. ，，，，，则． 【答案】B 【解析】 【分析】由线线垂直的性质可知A错误；由线面平行的性质定理可得B选项正确；由面面垂直的性质以及线面的位置关系可得C错误；由线面平行的性质和线面垂直的性质可得D错误. 【详解】对于A，若，，则或，即可能在平面内，所以A错误； 对于B，根据条件可知，，，，所以，又，， 由线面平行的性质定理可得，即B选项正确； 对于C，若，，，则与可能平行、相交或异面，即C错误； 对于D，当，，，，时，与可能平行或相交，即D错误. 故选：B 5. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ） A. 样本中A层次身高的女生少于男生 B. 样本中B层次身高的学生人数最多 C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D. 样本中E层次身高的男生有6人 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题中统计图可判断各选项正误. 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误. 故选：ABC 6. 将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表法列出所有基本事件，从中找出符合条件的，用公式可得到答案. 【详解】基本事件共36个， 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 点数相同共包括（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）6个基本事件， 所求概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型，用列表法是注意做到不重不漏. 7. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A. 事件与互斥，与相互对立 B. C. 但不满足两两独立 D. 且两两相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确. 【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：. 因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误； 因为所含的样本点为：，所以，故B错误； 因为所含的样本点为：，所以，又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误. 故选：C 8. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得，进而求得，再把化为，结合即可求解. 【详解】 ，, 即 ， ，， ，， ， . 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4 C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67 D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项. 【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误； 对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确； 对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误； 对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确. 10. 若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当最小时与重合 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由重心的性质结合向量的加法可得A正确；结合图形由向量的加减法则可得B错误；建立坐标系，由坐标表示向量，结合二次函数的性质可得C正确；由向量的加法结合基本不等式可得D正确. 【详解】 对于A，由三角形重心性质知，点为线段上靠近的三等分点，故A正确； 对于B，由， 得，故B错误； 对于C，建立坐标系，设，，，， 则， 令， 由二次函数性质可得，在对称轴处当，且时，取得最小值，此时在线段上且与点重合，故C正确； 对于D，， 当且仅当为线段中点时取等号，故D正确. 故选：ACD. 11. 正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D. 若点为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值； 【详解】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3， 在中，，为等腰直角三角形， 将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：线面角求解方法：（1）定义法（2）向量法； 三棱锥体积求法方法：（1）直接法（2）等体积变换法； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一只田径队有男运动员56名，女运动员有42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，则男运动员应抽取________名、女运动员应抽取________名. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 先计算得到抽取比例为，再计算得到答案. 【详解】解：田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取(名)， 在女运动员中随机抽取(名). 故答案为：，. 13. 若向量，满足，，则与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将两边平方，求出，再根据向量夹角的求法即可得解. 【详解】由，得， 即，所以， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故答案为：. 14. 已知圆台的上底半径分别为1cm，2cm，高为3cm，光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点,则光线在圆台内部扫过的面积为_____ 【答案】cm 【解析】 【分析】圆台的上下底面半径和圆台的高，结合题意得出圆锥的高及母线，最后利用圆锥侧面积公式计算求解. 【详解】 光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积， 圆台的上、下底面，令，，设，， 则，∴， 则， 所以圆锥的侧面积和为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知，为上一点，，且. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值； （2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积. 【小问1详解】 ，，则， 在中，，所以. 在中，，，所以. 故. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，， 则. 故的面积为. 16. （1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标； （2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）设，由和，分别利用共线向量定理和数量积运算求解； （2）设，由向量与平行和，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解. 【详解】（1）解：设， 则， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以点C的坐标为； （2）设， 则， 因为向量与平行， 所以 ， 又， 所以， 解得 或， 所以的坐标为或. 17. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下， （1）计算制作该模型所需原料的质量； （2）计算该模型的表面积（精确到0.1） 参考数据：，， 【答案】（1）118.8；（2）cm2． 【解析】 【分析】先计算出该模型的体积，体积等于长方体的体积减去四棱锥的体积，再用体积乘以密度即可求出所需原料的质量； （2）由已知数据计算出四棱锥的侧面积，则该模型的表面积 【详解】解：（1）因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形． 由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得 又因为O为长方体的中心，所四棱锥O﹣EFGH的高． ， ． ∴该模型体积为： cm3． ∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗， ∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8g． （2）记面的中心为，连接，，， 则，，． 由题意，四棱锥O﹣EFGH的四个侧面为全等三角形． 在等腰中，取的中点，连接， ， 所以． ∴该模型表面积为： cm3 cm2． 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，因为，是中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，又，，得； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，先得面，从而，求得，再由勾股定理得证； （2），，两两垂直，建立如图坐标系，求出面和面的法向量，利用空间向量夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，分别是面和面的法向量，二面角记为， 由，令，得， 得是面的一个法向量， 由，令，得， 得是面的一个法向量， 所以，所以， 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $