河北邯郸市永年区第二中学等校联考2025-2026学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

2025一2026学年第二学期质量检测 高一数学参考答案 少命卷意图 本套试题依据高中数学必修二教学大纲命制，秉持综合创新的命题思路，打破传统 固化的命题套路，以全新视角延伸基础数学思想与方法。试题立足教材主干知识与核心 基础考点，坚守“重基础、强思维、考能力”的原则，以逻辑思维与数学运算考查为主 线，多层次、综合性地考查必修二核心知识及关联内容，全面检测学生的知识掌握水平 与综合应用能力。 一、核心素养导向与命题目的 试题紧扣数学六大核心素养，全面覆盖数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、 数学运算和数据分析，素养考查导向鲜明。命题核心目的是扭转师生机械刷题的固化思 维，引导日常教学侧重培养学生的知识运用、发散拓展与创新探究能力，助力学生构建 完整的数学思维体系。如第18题突破常规立体几何考法，从线面垂直考点延伸至外接 球问题，灵活设问、层层递进，是落地核心素养、考查综合思维的代表性题目。 二、数学思想与解题技巧考查 整套试题深度融合各类核心数学思想与解题技巧，将数形结合、方程不等式、函数 构造、化归转化、发散创新等思维方法全面渗透在各题型中。试题既考查学生基础解题 技巧的熟练运用能力，也检验学生灵活转化、综合解题的高阶思维，帮助学生打通知识 壁垒、夯实数学思维根基，为高中后续阶段的数学学习做好铺垫。 三、典型亮点试题解析 第8小题：整合向量线性运算、最值几何意义与坐标运算考点，打破传统向量题单 解题模式，可借助几何意义简化运算，重点考查学生直观想象与数学运算素养，引导学 生灵活择优解题。第14小题：以复数为载体，结合复数概念与基本不等式命题，依托基 础考点，侧重常规方法的灵活变式运用，打破基础题型固有认知，有效训练学生知识迁 移与变通思维。第19小题：以向量为载体，采用新定义命题形式，隐晦考查向量夹角正 弦值相关知识，设问新颖、创新性强，试题兼顾基础与选拔功能，可有效区分学生思维层 次，对培养学生创新思维、精准选拔优质人才具有重要导向作用。 题号 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 B D C D C C ABD AC BCD 1.A解析：因为之2=3一i,所以其对应点为(3，一1)，又复数1对应的点与复数之2对应的点关于x轴对 称，所以之1对应的点为(3,1)，则之1=3十i,故选A 2.A解析：由题可知，1十2+5+6十m-4,解得m=6.故选A 5 3B解折：由正玻定理，得asnB-6sinA-5,代入b-5,得snA-受，因为△ABC是直角三角形，所 高一数学答案第1页（共6页） 以A=45°，故选B. 4.D解析：因为ab,所以4m一2m(m一2)=0，又m≠0，得m=4,a=(4,2),b=(8,4),所以a·b=32十 8=40,故选D. 释析：设从高三学生中抽取x人，因为高三学生共有800人，按分层随机抽样有38=)，解 16,故选C. 6D解析：因为3BD=2D心，所以3(B+AD)=2(Di+AC),整理得A市-A店+号AC,故选D 7.C解析：如图，将△BCC1绕直线BC1翻折，使A,B,C,C1,D1五点共面，连接EC,则EF十FC的最小 值即为线段EC的长，此时EC2=12+22-2×1×2cos135°=5+22，故选C. C E B 8.C解析：PC.PD=(PA+AC)·(PA+AD)=PA2+AC.AD+PA·(AC+AD)=PA2+AD2十 PA·(AC+AD)=5+PA·(AC+AD),当PA与AC+AD反向共线时最小，此时PA·(AC+ AD)=一6.如图，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则AC十 AD=(m,4),又AP|=1,所以AC+AD1=6,解得m=25,故选C B 9.ABD解析：对于A,由m⊥a,m∥n,得n⊥a,又n⊥B,所以aB,A正确；对于B,由m⊥a,m∥n,得 n⊥a,又n3,所以a⊥3，B正确；对于C,由题可知，n也可能与B相交，C错误；对于D,由a3,m⊥a,得 m⊥3，又mn,所以n⊥3，D正确.故选ABD. 10.AC解析：对于A,之2-2x+2=(之-1)2十1=+1=0，A正确；对于B,之(2-i)=(1十i)(2-i)=3+i, 对应点在第一象限，B错误对于C=3=是-C正确：对于D.三2e“三2户 -64,D错误.故选AC. 11.BCD解析：样本空间：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2， 6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个等可能的基本事件.对于 A,事件A和事件C存在公共事件(3,2)，因此A与C不互斥，A错误；对于B,事件C和事件D两个事 件不可能同时发生，因比C与D显乐，B正确：对于C.PA)一品言=3共6种).P(B)号 高一数学答案第2页（共6页） 名共12种)，P(AB)=6-高女=3且≤2即8,1).(3,2)共2种).则P(AP(B)=日× 号8-PAB).因此A与B相互独立，C正确：对于D.PB)-号同上L),PD)-品-名x十y 11 7共6种：1,6)，(2,5，(3,0,4,3)，5,2,6D),P(BD)=3=8y≤2且x+y=7,即(5,2》，(6， 1D类2种，则PB)PD)=×日-P(BD).因此B与D相互孩立.D正确故选D 12.164.5解析：30×70%=21，第21个数是164，第2个数是165，故第70百分位数为164十165- 2 164.5. 13.√6解析：2a-b|2=4a2-4a·b+b2=12-4×√5×√6cos45°+6=6，所以|2a-b=√6. 14.7解析：由题得，之1之2=(x-i)(2+yi)=2x十y十(xy-2)i,所以2x+y=xy-2,即xy-2x-y=2, 则x一10y一2)-≤(1告，即x十y≥7，当且仅当-3-4时等号成立故填 15.解：(1)由已知得b=9一Q,…1分 由余孩定现，得c2=a2+b2-2 C=a2+（0-a)2-2a(9-0)X日=36，…4分 解得Q=4或a=5.…6分 (2)因为cosC=日，C∈(0m),所以simC=37 8· ……………………………………8分 当a=4时h=5.S=2 bin=C-15 1 · …………………………………10分 同理当a=5时，S=157 4 综上，△ABC的面积为15√7 4 ……13分 16.解：(1)由题可知，(0.005十0.040+0.030十x十0.005)×10=1，…3分 解得x=0.02. …6分 (2)设C=“学生甲答对”，D=“学生乙答对”，E=“学生丙答对”， 则P(C)=0.7,P(D)=0.8,P(E)=0.9.… …7分 设F=“甲、乙、丙三人中有且仅有两人答对”， P(F)=P(CDE)+P(CDE)+P(CDE) …11分 =0.7×0.8×(1-0.9)+0.7×(1-0.8)×0.9+(1-0.7)×0.8×0.9 =0.398.…15分 17.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,…1分 又因为ABCD是正方形，所以ADCD,又PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD,…2分 又AEC平面PAD,则CD⊥AE,…3分 高一数学答案第3页（共6页） 因为AE⊥PD,且CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD,…4分 又AEC平面ACE,所以平面ACE⊥平面PCD.…5分 2易得AE-PA AD_25,AC=2w2. PD 3 …6分 由(I)知AE⊥平面PCD,所以∠ACE即为AC与平面PCD所成角，且AE⊥CE,…8分 在R△E中s∠icE- ，…9分 (3)证明：如图，连接BD交AF于点O,连接OE.…10分 由均及定理知PE-1,D-2,S之 3’DE …11分 因为PB∥平面AEF,PBC平面PBD,平面PBD∩平面AEF=OE, 所以PB/0E,所以0呢2，m …13分 因为△0AB0n△0FD,所以品部 2 …14分 所以F为CD的中点.…15分 18.解：(1)设三棱柱上、下底面的中心分别为O1,O2,连接OO2,O2A,则O为O1O2的中点， 易得0A=A5=25,0A-号×2w5× 2-2, …2分 则OO2=√OA2-O2A7=2√2，所以AA1=4√2，…3分 因为△PMN是正三角形，所以PM=PN=MN=4.…4分 所以阳楼维P-BB,NM的体积V=3××(4计42)×25X3=45+4 .…6分 (2)取BB1和CC,的中点D,E,显然，平面PDE⊥平面PMN,且△PDE是正三角形， 设PE中点为Q,连接DQ,则DQ⊥平面PMN.…8分 在PE上取△PMN的中心G,则PG=2GE=4 3, ……………………10分 过G作平面PMN的垂线，则该垂线在平面PDE内，且该垂线上任意一点到△PMN三顶，点的距离相 等，…1门分 所以四棱锥P-BB1NM的外接球球心在该垂线上。…12分 设该垂线交DE于点H,所以HGDQ, 爱器号D-2,H-9 3 …14分 高一数学答案第4页（共6页） HN=AM=+N-√/+4-2 3 HB=HB,=√AD+BD=√3 22I …15分 3 所以，点H到B,M,N,B1四点的距离相等， 又，点H到P,M,N的距离也相等，所以H为四棱锥P-BB1NM的外接球球心，…16分 所以四校锥P-BB,NM的外接球的表面积S=4x×(2)°-I12 ，…17分 19.解：1)证明：由Ya,b)=1,得v2二t =1, √x十y所√x十y 即(x1y2-x2y1)2=(x7十y)(x经十y),…2分 整理得(x1℃2十y1y2)2=0,…3分 所以x1x2十y1y2=0,即a·b=0,所以a⊥b.… …4分 (x1y2x2y)2_(x1x2十y1y2)2 (2)证明：周为1-[Y(a,b)]=1一+y)x十)(+y)u+) =c0sa,…7分 所以Y(a,b)=SinQ,8分 则[Y(a,b)]2+[Y(c,d)]2=sina十sin2B=cos2B+sin2B=1.…9分 (3)因为S△A=S△4BD十S△4D,…l0分 4[L…09asIV·32+。09u四sV·92=0zLs92啦 所以c-只6十o, …]2分 由余弦定理，得7=b十c2+bc=+c)-c=(十c)2-5 b十c),…14分 解得b十c=8,所以bc=15,又c<b, 解得b=5,C=3,…16分 所以asc-at-是gyCi.G=nc- 2ab 14 ………17分 高一数学答案第5页（共6页） 编写细目表 题号 题型 分值 知识点 难度 1 选择题 5分 复数的几何意义 易 2 选择题 5分 样本平均数 易 9 选择题 5分 正弦定理 易 4 选择题 5分 向量的坐标运算 易 5 选择题 5分 分层随机抽样 中 6 选择题 5分 向量的线性运算 中 7 选择题 5分 立体几何中的最值 中 8 选择题 5分 向量的线性与坐标运算 中 9 选择题 6分 立体几何中的线面关系 易 10 选择题 6分 复数的运算与性质 中 11 选择题 6分 概率的性质与事件独立性 中 12 填空题 5分 百分位数 易 13 填空题 5分 向量的模运算 中 14 填空题 5分 复数运算与基本不等式 难 15 解答题 13分 解三角形 易 16 解答题 15分 频率分布直方图与概率 易 17 解答题 15分 立体几何综合 中 18 解答题 17分 几何体体积及外接球 难 19 解答题 17分 新定义与向量 难 高一数学答案第6页（共6页）绝密★启用前 2025一2026学年第二学期质量检测 高一数学 班级 姓名」 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=3一i对应的点关于x轴对称，则x1= A.3+i B.1+3i C.-1-3i D.-3+i 2.样本数据1,2,5,6，m的平均数为4，则m= A.6 B.7 C.8 D.9 3.在Rt△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B=√3，b=√6，则A= A30° B.45 C.60° D.90 4.已知向量a=(m,m-2),b=(2m,4),若a%且m≠0，则a·b= A28 B.32 C.36 D.40 5.某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生.该校为了调 查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高 三学生中抽取 A20人 B.18人 C.16人 D.12人 6.在△ABC中，点D在线段BC上，且3BD=2DC,则AD= A号A+号ACB.子AB+AC C.AB+3AC D丽+Ad 高一数学第1页（共4页） 7.如图，在梭长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是AB的中点，F是BC上的动点，则 EF+FC的最小值为 D A.2√2 B.3+√2 C.√5+22 D.√10 8.已知点P在矩形ABCD的边及其内部运动，且1AP1=1,|AB|=m(m>1),AD1=2,若 P.PD的最小值为-1，则m= A.3 B.4 C.25 D.26 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9,设a,3是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题正确的是 A若m⊥a,n⊥3，mn,则a3 B.若m⊥am∥n,n3,则a⊥3 C.若m⊥n,a⊥3，m⊥a,则n/3 D.若m∥n,a3,m⊥a,则n⊥3 10.已知复数x=1+i,则 Az2-2z+2=0 B.复数(2一i)对应的.点在第二象限 D.z2=64 11.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子 的点数.记事件A:x=3,B:y≤2，C:x十y=5,D:x+y=7,则 AA与C互斥 B.C与D互斥 C.A与B相互独立 D.B与D相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某校高二(1)班有30名女生，其身高数据（单位：cm)按从小到大排序如下： 151152154154154155156156158158160160161161162 162162163163164164165165166166167168169170171 则这30名同学身高数据的第70百分位数为 13.已知向量a与b的夹角为45°，la=3,b|=√6，则12a-b1= 14.已知xy是正实数，复数：1=x-i,x:=2+yi,若：1：的实部与虚部相等，则x十y的最小 值为 高一数学第2页（共4页） ▣▣ a“"1%oa 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知a,bc分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，且a+b=9.c=6,6osC=言 (1)求a的值： (2)求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 某中学为普及学生的人工智能知识，组织高一学生开展A1使用方法培训，并为每位学生发放 《AI使用学习手册》.培训结束后，学校组织了针对高一学生AI使用能力的测试，并随机抽取 100名学生的测试成绩（单位：分）整理后分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100],并绘制成如下的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中x的值. (2)现设置一道AI测试题，从成绩区间[70,80)中随机抽到学生甲作答，其答对该题的概率为 0.7,从成绩区间[80,90)中随机抽到学生乙作答，其答对该题的概率为0.8，从成绩区间 [90,100]中随机抽到学生丙作答，其答对该题的概率为0.9.已知甲、乙、丙三人是否答对 该题相互独立，求甲、乙、丙三人中恰有两人答对该题的概率， ↑频率/组距 0.040 0.030 x 0.005 0 060708090100成绩分 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD,PA= √2AB,点E在棱PD上，且AE⊥PD (1)求证：平面ACE⊥平面PCD; (2)求直线AC与平面PCD所成角的正弦值： (3)已知点F在棱CD上，且PB平面AEF,证明：F为CD中点. 高一数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图，已知正三棱柱ABC-A,B,C,的外接球球心为O,底面边长AB=23,三棱锥O- ABC为正四面体，P为侧棱AA,的中点，点M,N在棱CC,上，且CM=C:N,△PMN为正 三角形 (1)求四棱锥P-BB1NM的体积： (2)求四棱锥P-BB1NM的外接球的表面积 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y),b=(x2,yz),定义Y(a,b)= riy:-rayl √+y√r+y (1)若Y(a,b)=1,证明：a⊥b: (2)已知向量a,b的夹角为a,向量c,d的夹角为B,若sina=cosB,证明：[Y(a,b)]+ [Y(c,d)]=1: (3)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,D在边BC上，AD为角A的平分线，A= 120a7ADY(CA.CB) 高一数学第4页（共4页） a^“"1%oa