精品解析：河北省秦皇岛市第三中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题A

秦皇岛市第三中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一 数学试卷A 命题人：温梦洁 考试说明：1. 本场考试时间120分钟，总分150分. 2. 考生请将答案填写在答题卡相应位置. 一、单选题：共8个小题，每题5分，共计40分. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ） A. 130 B. 132 C. 134 D. 136 3. 已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π 4. 如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 二、多选题:共3个题，每题6分，共18分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科，每位同学从中选择1门课程学习.现对该校2000名学生的选科情况进行了统计，如图①，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②. 则下列说法正确的是（   ） A. 满意率调查中抽取的样本容量为2000 B. 该校学生中对物理课程满意的人数约为720 C. 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则=80 D. 抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数 11. 如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，则（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与直线所成的角为 C. 三棱台的体积为 D. 三棱台的体积为 三、填空题:共3个小题，每题5分，共计15分. 12. 已知向量，，若，，三点共线，则________． 13. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______． 14. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 四、解答题: 共5个小题，15题13分，16-17 题15分，18 - 19 题17分，共计77分. 15. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： （1）这一组的频率和频数分别为多少？ （2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； （3）估计这组数据的80百分位数. 16. 已知向量. （1）求的坐标； （2）求； （3）若，且，求实数的值. 17. 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. （1）求两地的距离； （2）求这种仪器的垂直弹射高度. 18. 如图，在长方体中，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求直线与平面所成角的正切值. 19. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一 数学试卷A 命题人：温梦洁 考试说明：1. 本场考试时间120分钟，总分150分. 2. 考生请将答案填写在答题卡相应位置. 一、单选题：共8个小题，每题5分，共计40分. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出即可. 【详解】复数，所以所求虚部为. 故选：A 2. 在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ） A. 130 B. 132 C. 134 D. 136 【答案】C 【解析】 【分析】将这组数据按照从小到大顺序排列，根据百分位数的定义即可确定. 【详解】将8位同学分数从小到大排序为：115，118，125，130，130，132，136，140， 因，即这组数据的75百分位数为. 故选:C. 3. 已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理得出底面半径，进而由圆的面积公式以及圆锥的侧面积公式得出圆锥的全面积. 【详解】因为圆锥的母线长为2，高为， 所以该圆锥的底面半径为， 则圆锥的全面积为. 故选：C. 4. 如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法和减法法则即可. 【详解】由向量加法的三角形法则得，，故A错误； 由向量加法的平行四边形法则得，，故B正确； 由向量的减法法则得，，，故CD错误. 故选：B 5. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 故选：B 6. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的运算公式即可得到答案. 【详解】根据古典概型概率知识可知：5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球， 从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为. 故选：A 7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面，面面的位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，由线面垂直的性质可得，故A正确； 对于B，若，则或相交或异面，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 8. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可得；B项由频率计算可得；C项分别求出平均数、中位数比较可知；D项由极差定义可得. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：， A项， 组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； B项，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； C项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是 ， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； D项，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是， 故极差小于等于，但不一定等于50，故D错误. 故选：D. 二、多选题:共3个题，每题6分，共18分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 10. 新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科，每位同学从中选择1门课程学习.现对该校2000名学生的选科情况进行了统计，如图①，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②. 则下列说法正确的是（   ） A. 满意率调查中抽取的样本容量为2000 B. 该校学生中对物理课程满意的人数约为720 C. 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则=80 D. 抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据样本容量的定义可判断选项A；利用样本估计总体可判断选项B；先求出样本中学习历史的人数，再根据满意度的求解公式即可判断选项C；先根据的取值范围求出样本中对历史满意的人数范围，再求出样本中对物理满意的人数，进行比较即可判断选项D. 【详解】根据题意及图①可知：该调查的总体容量为，其中学习物理有人，学习历史有人； 对于选项A:：满意率调查中抽取的样本容量为，故选项A错误； 对于选项B：该校学生中对物理课程满意的人数约为，故选项B正确； 对于选项C：按比例分配进行分层随机抽样时， 学习物理有人，学习历史的有人， 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则，故选项C正确； 对于选项D：因为， 所以抽取的学生中对历史课程满意的人数为， 又因为抽取的学生中对物理课程满意的人数为， 所以抽取的学生中对物理课程满意的人数、对历史课程满意的人数无法比较， 故选项D错误. 故选：BC. 11. 如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，则（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与直线所成的角为 C. 三棱台的体积为 D. 三棱台的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，先判断三棱台为正三棱台，过点作，交于点，证明即直线与直线所成的角，求得即可判断；对于B，平移后易得结论成立；对于C，D，先求出三棱台的高的长，再利用棱台体积公式计算即可判断. 【详解】 对于A，因侧棱相等且底面为等边三角形，则三棱台为正三棱台， 如图，过点作，交于点，因，则得，则， ，故即直线与直线所成的角，因， 由可得，故A错误； 对于B，因，且与的夹角为60°，故与的夹角为60°，故B正确； 对于C，D，如图，分别取上下底面三角形的中心为，连接并延长交于点， 连接并延长交于点，则即三棱台的高， 则 ， 在直角梯形中，， 因， 则三棱台的体积为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题:共3个小题，每题5分，共计15分. 12. 已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 13. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______． 【答案】##0.95 【解析】 【分析】方法一：设出事件，根据进行求解； 方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，， 所以目标至少被击中1次的概率 ； 方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，，，， 所以目标没有被击中的概率为， 目标至少被击中1次的概率为 故答案为：. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 四、解答题: 共5个小题，15题13分，16-17 题15分，18 - 19 题17分，共计77分. 15. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： （1）这一组的频率和频数分别为多少？ （2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； （3）估计这组数据的80百分位数. 【答案】（1）频率为，频数为； （2） （3）83.5. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解， （2）根据图中数据即可求解频率得解， （3）根据百分位数的计算即可求解. 【小问1详解】 频率为，频数为； 【小问2详解】 及格率为； 【小问3详解】 因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. 16. 已知向量. （1）求的坐标； （2）求； （3）若，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算奇数求解； （2）应用模长公式计算求解； （3）先应用坐标运算得出再应用垂直的坐标公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 已知，因为， 即，所以. 17. 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. （1）求两地的距离； （2）求这种仪器的垂直弹射高度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，从而在中，利用余弦定理求出x即可； （2）在中，根据锐角三角函数定义求解可得. 【小问1详解】 由题意，设，因为在地听到弹射声音的时间比地晚，所以. 在中，由余弦定理得， 即，解得. 故两地的距离为. 【小问2详解】 在中，， 所以， 故该仪器的垂直弹射高度为. 18. 如图，在长方体中，，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） 设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，即可证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合等边三角形的性质可求角的大小； （3）利用长方体的性质可得到线面所成的角，在直角三角形中求正切值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. 【小问3详解】 连接， 因为平面，平面， 所以，为直线与平面所成的角. 由题意得，， 所以，即直线与平面所成的角的正切值为. 19. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 【答案】（1），平均值为1.73； （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可； （2）应用分层抽样性质确定不同用户的人数，再由列举法求古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为，所以. 平均值：. 【小问2详解】 抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为，“铂金用户”选2名，记为， 样本空间， 设事件“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $