精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高一下学期综评考试数学试题（新高二）

武强中学2024--2025学年度下学期综评考试 高二数学试卷 出题人：郝敬先 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则化简复数，即可得到虚部. 【详解】，所以虚部为1. 故选：B. 2. 在平行四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将、、、用、表示，利用平面向量数量积运算性质结合可求得的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】在平行四边形中，，，，， 则，， 所以， ，可得， ，， 所以，. 故选：B. 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，结合直观想象，判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，，则可能平行，相交，故B错误； C.若，，，则，故C正确； D. 若，，，则可能，比如三棱柱的侧面和侧棱， 也可能三条交线交于一点，比如三棱锥的侧面和侧棱，故D错误. 故选：C. 4. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知． 故选：C． 5. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 6. 圆锥的高为1，其侧面积是底面积的2倍，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据侧面积与底面积的关系求出底面半径，再代入体积公式计算体积. 【详解】设圆锥的底面积，侧面积，且侧面积是底面积的倍，则，可得.  圆锥的高、底面半径与母线长满足勾股定理，已知，，代入可得. 即，即，解得.  圆锥体积公式为，将，代入可得：.  所以圆锥的体积为. 故选：A. 7. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角. 【详解】根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以. 先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得. 再计算，根据向量模长公式：可得，那么. 所以. 所以.  得，所以与的夹角为.  故选：C. 8. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法确定原图为直角梯形并确定相关边长，再求出面积. 【详解】由题设，原图为直角梯形，且， 由斜二测画法知，，， 所以平面图形ABCD的面积为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 10. 2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（ ） A. 图中的值为0.029 B. 参赛学生分数位于区间的概率约为0.85 C. 样本数据的分位数约为79 D. 参赛学生的平均分数约为69.4 【答案】AC 【解析】 【分析】利用各小矩形面积和为1求出x判断A；求出分数位于区间的频率判断B；求出75百分位数判断C；估计学生的平均分数判断D作答. 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，分数位于区间的频率为，估计概率为0.60，B错误； 对于C，由选项B知，样本数据的75%分位数，由，得，C正确； 对于D，由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 平均分数，D错误. 故选：AC 11. 如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（ ） A. 与平面所成的角为 B. 异面直线与所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件可得平面，利用空间角的定义求解判断ABC；求出点到平面的距离即可判断D. 【详解】在三棱锥中，由，为的中点，得, 由，得点在平面上的射影到三顶点的距离相等， 即点在平面上的射影为点，因此平面， 对于A，是与平面所成的角，而为正三角形，则，A正确； 对于B，由点是的中点，得，则是异面直线与所成的角， 而，，则，B错误； 对于C，取中点，连接，则， 是二面角的平面角，，C正确； 对于D，由选项C，得平面，而平面，则平面平面， 在平面内过点作于，而平面平面， 则平面，， 因此点到平面的距离为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故答案为： 13. 设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 14. 殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据欧拉公式可得，结合复数的加法可得. 【详解】，，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知向量． （1）若，求λ的值； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解； （2）根据题意，利用向量垂直的坐标表示列出方程求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 解：由题意得，向量，， 由，可得，则， 即，解得或， 因为，所以，可得， 所以． 16. 如图，在中，底面． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 【答案】（1）10 （2） 由（1）知， 又底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明，然后可求底面积，进而可得三棱锥体积； （2）利用线面垂直证明，结合（1）由线面垂直判定定理可证. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 故， 又因为底面，， 所以. 【小问2详解】 略 17. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理? （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； （3）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率. 【答案】（1）78 （2）8个分数的平均数是90，方差是 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据频率比值求，再求百分位数，即可求解； （2）根据平均数和方差公式，再结合10个分数的平均数和方差公式，即可求解； （3）利用编号和列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，所以， 设晋级分数线为分，则， 得， 所以晋级分数划为78分合理； 【小问2详解】 由条件可知，这10个数据的，， 设剩下8个数据的平均数为， 剩下8个数的方差为 【小问3详解】 因为分数在，这两组的频率比为， 所以抽取的6人中，抽取2人，抽取4人， 这组的2人编号为，这组 4人编号为， 6人中所有抽取2人的组合包含，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况 其中2人恰来自同一组包含，，，，，，，共7种情况， 所以两人恰好来自于同一小组的概率. 18. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2） ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，， ∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2024--2025学年度下学期综评考试 高二数学试卷 出题人：郝敬先 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 在平行四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 6. 圆锥的高为1，其侧面积是底面积的2倍，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（ ） A. 图中的值为0.029 B. 参赛学生分数位于区间的概率约为0.85 C. 样本数据的分位数约为79 D. 参赛学生的平均分数约为69.4 11. 如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（ ） A. 与平面所成的角为 B. 异面直线与所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是__________. 13. 设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数__________． 14. 殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知向量． （1）若，求λ的值； （2）若，且，求． 16. 如图，在中，底面． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 17. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理? （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； （3）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率. 18. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $