第1章 本章综合训练 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 本章综合训练 【本章概述】 一、勾股定理（核心基础） 1. 定理内容： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：若直角边为a、b，斜边为c，则： 2. 定理证明方法（重点掌握）： （1）面积拼图法（赵爽弦图）：通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，利用面积相等推导，主要关键在于：大正方形面积小正方形面积4个直角三角形面积。 （2）总统证法（梯形面积法）：利用直角梯形分割，结合三角形面积公式证明。 二、勾股定理的逆定理（重要推论） 1. 逆定理内容：若三角形三边满足（c为最长边），则该三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 2. 应用场景： （1）判断三角形是否为直角三角形（如给出三边长度：3, 4, 5）。 （2）验证实际结构中的直角（如木工检验墙角）。 三、定理的实际应用（高频考点） 1. 求直角三角形的边长：已知任意两边，求第三边（注意区分直角边/斜边）。 2. 解决“不可达距离”问题：测量河宽、山高、旗杆高度等（构造直角三角形模型）。 3. 立体图形中的最短路径（重难点）：圆柱/长方体的表面爬行最短路径（展开成平面直角形）。 四、勾股数（常考记忆点） 1. 定义：满足的正整数三元组。 2. 常见勾股数： （1）基本组：（3, 4, 5）、（5, 12, 13）、（7, 24, 25）、（8, 15, 17） （2）倍数组：（6, 8, 10）、（9, 12, 15）等（比例缩放仍成立）。 五、易错点与关键技巧 1. 陷阱警示： （1）未区分直角边与斜边→混淆中的c是斜边。 （2）忽略三角形存在条件（如边长 1, 2, 3 不满足三角形，更非直角）。 2. 解题关键： （1）复杂图形中构造直角三角形（作辅助线、分割图形）。 （2）实际应用题先建模（将问题转化为直角三角形三边关系）。 六、数学思想方法总结 思想方法 具体体现 数形结合 代数式与几何图形的统一 模型思想 将实际问题抽象为直角三角形的边长关系求解 分类讨论 已知直角三角形两边求第三边时，需明确哪条是斜边 从特殊到一般 通过特例（如等腰直角三角形）归纳出普适规律 【直击真题】 【考点1】勾股定理 【典例】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【变式1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【变式2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．    【变式3】（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【考点2】直角三角形判定的应用 【典例】（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 【变式3】（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ） A． B． C． D． 【考点3】勾股数 【典例】（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【变式1】（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【变式2】（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【变式3】（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【考点4】勾股定理的应用 【典例】（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【变式1】（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【变式2】（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【变式3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 【单元综合训练】 一、单选题 1．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 3．以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 4．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 5．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 7．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 8．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为（   ） A． B． C． D．1 9．如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 二、填空题 11．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 12．如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为 ． 13．如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 14．小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为 cm． 15．中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形屋脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑．若米，米，为的中点，于点，则的长度为 米． 16．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 18．如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 19．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 20．【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 21．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 22．探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 23．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 24．如图，和均为等腰直角三角形，其中，点在线段上，连结，过点作，垂足为点，点在线段上． (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系：______； (3)求证： 25．如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． (1)如果，那么长为________； (2)设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 本章综合训练 【本章概述】 一、勾股定理（核心基础） 1. 定理内容： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式：若直角边为a、b，斜边为c，则： 2. 定理证明方法（重点掌握）： （1）面积拼图法（赵爽弦图）：通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，利用面积相等推导，主要关键在于：大正方形面积小正方形面积4个直角三角形面积。 （2）总统证法（梯形面积法）：利用直角梯形分割，结合三角形面积公式证明。 二、勾股定理的逆定理（重要推论） 1. 逆定理内容：若三角形三边满足（c为最长边），则该三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 2. 应用场景： （1）判断三角形是否为直角三角形（如给出三边长度：3, 4, 5）。 （2）验证实际结构中的直角（如木工检验墙角）。 三、定理的实际应用（高频考点） 1. 求直角三角形的边长：已知任意两边，求第三边（注意区分直角边/斜边）。 2. 解决“不可达距离”问题：测量河宽、山高、旗杆高度等（构造直角三角形模型）。 3. 立体图形中的最短路径（重难点）：圆柱/长方体的表面爬行最短路径（展开成平面直角形）。 四、勾股数（常考记忆点） 1. 定义：满足的正整数三元组。 2. 常见勾股数： （1）基本组：（3, 4, 5）、（5, 12, 13）、（7, 24, 25）、（8, 15, 17） （2）倍数组：（6, 8, 10）、（9, 12, 15）等（比例缩放仍成立）。 五、易错点与关键技巧 1. 陷阱警示： （1）未区分直角边与斜边→混淆中的c是斜边。 （2）忽略三角形存在条件（如边长 1, 2, 3 不满足三角形，更非直角）。 2. 解题关键： （1）复杂图形中构造直角三角形（作辅助线、分割图形）。 （2）实际应用题先建模（将问题转化为直角三角形三边关系）。 六、数学思想方法总结 思想方法 具体体现 数形结合 代数式与几何图形的统一 模型思想 将实际问题抽象为直角三角形的边长关系求解 分类讨论 已知直角三角形两边求第三边时，需明确哪条是斜边 从特殊到一般 通过特例（如等腰直角三角形）归纳出普适规律 【直击真题】 【考点1】勾股定理 【典例】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 【变式2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长． 【详解】解：， ， 点D为的中点， ， 又， ， ， 中，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键． 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 【考点2】直角三角形判定的应用 【典例】（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，判定是直角三角形是关键； （1）由，设，由勾股定理的逆定理即可证明． （2）由（1）的结论及周长条件可求得x的值，从而求得的长；由条件求得，利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：， 设． ． ． 是直角三角形； （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积． 【变式3】（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 【考点3】勾股数 【典例】（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 【变式1】（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 【变式2】（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 【变式3】（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵，是互质的奇数， ∴A．， ∴当，时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当，时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵，是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当，时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键． 【考点4】勾股定理的应用 【典例】（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【变式1】（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 【变式2】（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【答案】50 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 【变式3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】17 【分析】在的延长线上取一点，是，连接，，证明和全等得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长，在中，根据，，由勾股定理得，据此即可得出答案． 【详解】解：在的延长线上取一点，是，连接，，如图所示： 四边形是矩形，且，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 的最小值为线段的长， 当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值是17． 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【单元综合训练】 一、单选题 1．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 3．以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，比较简单，勾股定理的逆定理，即．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足 （其中 为最长边），则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A、不能，因为，故不能构成直角三角形； B、不能，因为，故不能构成直角三角形； C、不能，因为，故不能构成直角三角形； D、能，因为，故能构成直角三角形． 故选：D． 4．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 5．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 6．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，代数式求值，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理可得，，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 7．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查作图，解直角三角形，角平分线的性质定理，熟练掌握基本作图是解题的关键．过点作于点，证明，利用面积法进行计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选B． 9．如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 【答案】D 【分析】① 先证，由全等的性质可得；② 由全等及矩形的性质可得；③ 由全等及矩形的性质可得；④ 由PF=EC且可判断错误 ⑤ 由勾股定理得、、，再相加后等量代换可得 【详解】① 解：过点P作于G，连接PC 易证 又PE⊥BC，PF⊥ CD， ∴ 四边形PECF是矩形 ∴ 故 ① 正确； ② 解：延长AP交BC于H,连接PC交EF于O，如图 由① 知： 故② 正确； ③ 解：由①② 知： 故③正确； ④解：∵四边形PECF是矩形 ∴ PF=EC 在中 故④错误； ⑤ 解：过点P作于G，连接PC 易知四边形ABEG、PECF、GPFD为矩形 ∴ 故⑤ 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的判定及性质，勾股定理，灵活运用知识及作出辅助线是解题关键． 二、填空题 11．如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 12．如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，正确得出的长是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：直角三角形两直角边，， ， ， 则， 解得：． 故答案为：． 13．如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 14．小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用证明得到，然后根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：35． 15．中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图1，用三角形房梁支撑房檩，做成三角形屋脊，图2是房梁的平面图，是加固房梁的一根横撑．若米，米，为的中点，于点，则的长度为 米． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵米，为的中点，米， ∴，米； 在中，（米）； ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 16．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 三、解答题 17．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 18．如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， 在中，由勾股定理得， ∴的长度为． 19．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 【答案】(1)； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 21．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． （1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果； （2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可； （3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴； （3）解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或． 22．探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 23．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求解即可； （2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； （2）解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， 由（1）可知：， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 24．如图，和均为等腰直角三角形，其中，点在线段上，连结，过点作，垂足为点，点在线段上． (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系：______； (3)求证： 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定的性质，三线合一，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得出，最后根据即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等，对应角相等易证，即可得出结论； （3）证明得，由三线合一得，进而可证结论成立． 【详解】（1）证明：和均为等腰直角三角形 在与中 ． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴． （3）证明：∵ 平分 过点作 在与中 ∴ 又 又 25．如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． (1)如果，那么长为________； (2)设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 【答案】(1)20 (2)①4，96；②196 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，全等三角形的性质，熟知勾股定理和完全平方公式是解题的关键． （1）由全等三角形的性质得到，，则可由勾股定理得到，据此可得答案； （2）①根据题意可得，则，则由正方形面积计算公式可得正方形的面积，由勾股定理可得，则，据此求出的值即可得到答案；②根据列式求解即可． 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可得，， 在中，由勾股定理可得， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴正方形的面积为； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个直角三角形的面积和为； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $$