第1章 勾股定理 （6大重难题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 重难题型专项训练（6大重难题型） 【重难题型概述】 1. 最值问题（将军饮马问题）→【1.1.1认识勾股定理】【用勾股定理解三角形】 2. 正方形网格中求角度→【1.1.2 验证并应用勾股定理】【勾股定理与网格问题】 3. 长方形的折叠问题→【1.1.2 验证并应用勾股定理】【勾股定理与折叠问题】 4. 利用勾股定理解决折叠问题→【1.1.2 验证并应用勾股定理】【勾股定理与折叠问题】 5. 卡车过隧道问题→【1.2 一定是直角三角形吗】【用勾股定理解现实应用】 6. 最短路线问题→【1.3 勾股定理的应用】【立体图形中的最短路径问题、最短路程问题】 【例1】最值问题（将军饮马问题） 【典例】如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴； ∵， ∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式1】如图，在直角三角形中，，，．若是线段上的一个动点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，根据垂线段最短结合等积法求出的最小值即可． 【详解】解：，，， ， 是线段上的一个动点， 当时，的值最小，如图， 此时，， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称和垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 在上取一点，使得，由，推出，推出，推出当，且、、共线时，的值最小，利用面积法求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得， ， ， ， ， ∴当，且、、共线时，的值最小， ∵平分， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 【例2】正方形网格中求角度 【典例】如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 【变式1】如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AD，BE，根据勾股定理逆定理可得，，从而得到∠ACD=∠CAD=45°，∠BCE=90°，即可求解． 【详解】解：如图，连接AD，BE， 根据题意得：， ， ∴AD=CD，，， ∴∠ADC=90°，∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】如图，在3×3的网格上标出了和，则 ． 【答案】/45度 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将、转化为、，再通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出的度数 ．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 设每个小正方形的边长为a， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 ． 故答案为：． 【变式3】已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 【答案】(1)①见解析 ② (2)见解析 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解∶  ①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 【例3】长方形的折叠问题 【典例】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式1】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 【答案】6 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵将长方形折叠，使点与点重合， ∴， 设，则：， 在中，由题意，得：， 则：， 解得：， ∴， ∴的面积为； 故答案为：6． 【变式2】如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 【变式3】【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，，点在边上，连接，点为的中点，过点作交于点，延长交于点N，点F与点A关于所在直线对称，连接、，求的面积； 【问题解决】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在四边形中，米，米，校学生会计划在边上找一个点E（足够张），在边、上分别取点M、N，使得垂直平分，取点关于的对称点，将区域规划为活动区，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区，为了节省搭建材料，你帮助校学生会计算出安全文化宣传长廊（即周长）的最小值． 【答案】（1）的面积为15；（2）安全文化宣传长廊（即周长）的最小值为180米 【分析】（1）连接，由题意可知点E与点B关于所在直线对称，结合点F与点A关于所在直线对称，得到与关于所在直线对称，那么与的面积相等，然后求的面积即可得到答案． （2）取点关于所在直线的对称点，连接交于点，先证明与关于所在直线对称，推出的长为定值，那么当的值最小时，的周长最小，由，可知当点E位于点处时，取得最小值，最小值为，接着利用勾股定理求得即可得出答案． 【详解】解：（1）连接，如图． 点P为的中点，， 点E与点B关于所在直线对称， 又点F与点A关于所在直线对称， 与关于所在直线对称， 与的面积相等． 四边形为矩形， ， 点E到的距离等于的长， ， ， 即的面积为15． （2）取点关于所在直线的对称点，连接交于点，如图． 垂直平分， 点与点关于所在直线对称． 又点D与点F关于所在直线对称， 与关于所在直线对称， 米，即的长为定值， 当的值最小时，的周长最小．              点A与点关于所在直线对称， ， 即当点E位于点处时，取得最小值， 此时点F、M、N分别位于点处． ， ， 点A与点关于BC所在直线对称，米， 米， 米． 又米， 米，                                  即的最小值为130米， （米）， 安全文化宣传长廊（即周长）的最小值为180米． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【例4】利用勾股定理解决折叠问题 【典例】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 【变式1】如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据折叠的性质得，，，即，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，进行计算得，即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点C落在边的点， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， 解得， ∴的面积为：， 故选：A． 【变式2】如图，在中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到，由三角形面积公式即可求出． 【详解】连接， 将沿过点的直线折叠，点与点重合，是折痕， 垂直平分， ， 是边上的高，，， ， 设，则， ， 是边上的高， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【变式3】如图，在四边形中，，，，．把四边形的两个角向内折叠，使，两点在点处重合，点落在边上的点处，，是折痕．若，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，根据折叠的性质可得，，勾股定理求得，根据折叠可得，进而可得，证明，进而根据等角对等边，即可求解． 【详解】解：∵四边形中，，， ∴， ∵四边形的两个角向内折叠，使，两点在点处重合，点落在边上的点处， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【例5】卡车过隧道问题 【典例】一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 【变式1】如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 【答案】能，理由见解析 【分析】首先根据题意确定相应线段，再根据勾股定理求出CD的长，进而求出CH的长，再判断即可． 【详解】能通过，理由如下： 根据题意可知DH=2.3米． 卡车关于中线对称更容易通过，所以OD=0.8米． 在Rt△OCD中，根据勾股定理，得 （米）， ∴CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5， ∴卡车能通过此门． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解决这一类问题的常用方法． 【变式2】某小组利用课余时间进行车过隧道的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答问题解决中的问题． 项目 车能否顺利通过隧道的探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：刘明成员：李丽、胡磊、王青 知识储备 勾股定理、轴对称的性质 问题解决 题干 某隧道的截面是一个半径为的半圆形． 任务 请通过计算说明一辆高，宽的卡车能否通过该隧道？ 【答案】卡车能通过隧道，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据题意直接构造直角三角形，进而得出当时的长，即可得出答案．正确构造直角三角形是解题关键． 【详解】解：如图所示： 当， ， ， 一辆宽3米，高3.6米的卡车能通过隧道． 【变式3】如图所示，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是． (1)如果设计半圆的直径为单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高，宽．那么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． (2)为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能刚好安全通过，那么此桥洞半圆的直径应设计成多少米？ 【答案】(1)这辆卡车能通过，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键． （1）过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案； （2）根据已知条件求出的长，再根据勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】（1）解：这辆卡车能通过，理由如下： 如图，，为卡车的宽度， 过，作的垂线交半圆于，，过作，为垂足， ，， 由作法得，， 又， 在中，， ． 这辆卡车能通过． （2）解：如图： 根据题意可知：，，， ， 根据勾股定理有：， ， ∴此桥洞半圆的直径应设计成． 【例6】最短路线问题 【典例】“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．    【答案】20 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．利用勾股定理得出是解题关键． 【详解】解：由题意可得，展开图中，， 在中，． 这段枝蔓的长是． 故答案为：20． 【变式1】葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为 分米． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如下，则分米，分米， （分米）， 这段葛藤的长分米， 故答案为：． 【变式2】如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得， 故爬行的最短路程为． 故选：D 【变式3】如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开， 由题意得， 在中，由勾股定理得， ∵两点之间线段最短， ∴蜘蛛所走最短路径长度为， 故答案为：20． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 重难题型专项训练（6大重难题型） 【重难题型概述】 1. 最值问题（将军饮马问题）→【1.1.1认识勾股定理】【用勾股定理解三角形】 2. 正方形网格中求角度→【1.1.2 验证并应用勾股定理】【勾股定理与网格问题】 3. 长方形的折叠问题→【1.1.2 验证并应用勾股定理】【勾股定理与折叠问题】 4. 利用勾股定理解决折叠问题→【1.1.2 验证并应用勾股定理】【勾股定理与折叠问题】 5. 卡车过隧道问题→【1.2 一定是直角三角形吗】【用勾股定理解现实应用】 6. 最短路线问题→【1.3 勾股定理的应用】【立体图形中的最短路径问题、最短路程问题】 【例1】最值问题（将军饮马问题） 【典例】如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【变式1】如图，在直角三角形中，，，．若是线段上的一个动点，则线段长度的最小值为 ． 【变式2】如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【变式3】如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【例2】正方形网格中求角度 【典例】如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在3×3的网格上标出了和，则 ． 【变式3】已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． (2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 【例3】长方形的折叠问题 【典例】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 【变式1】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 【变式2】如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【变式3】【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，，点在边上，连接，点为的中点，过点作交于点，延长交于点N，点F与点A关于所在直线对称，连接、，求的面积； 【问题解决】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在四边形中，米，米，校学生会计划在边上找一个点E（足够张），在边、上分别取点M、N，使得垂直平分，取点关于的对称点，将区域规划为活动区，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区，为了节省搭建材料，你帮助校学生会计算出安全文化宣传长廊（即周长）的最小值． 【例4】利用勾股定理解决折叠问题 【典例】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【变式1】如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【变式2】如图，在中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 【变式3】如图，在四边形中，，，，．把四边形的两个角向内折叠，使，两点在点处重合，点落在边上的点处，，是折痕．若，则的长度是 ． 【例5】卡车过隧道问题 【典例】一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【变式1】如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 【变式2】某小组利用课余时间进行车过隧道的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答问题解决中的问题． 项目 车能否顺利通过隧道的探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：刘明成员：李丽、胡磊、王青 知识储备 勾股定理、轴对称的性质 问题解决 题干 某隧道的截面是一个半径为的半圆形． 任务 请通过计算说明一辆高，宽的卡车能否通过该隧道？ 【变式3】如图所示，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是． (1)如果设计半圆的直径为单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高，宽．那么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． (2)为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能刚好安全通过，那么此桥洞半圆的直径应设计成多少米？ 【例6】最短路线问题 【典例】“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．    【变式1】葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为 分米． 【变式2】如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$