第1章 问题解决策略：反思 课时同步训练 2025～2026学年 北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 ☆问题解决策略：反思 【课时概述】 1. 数学思想方法反思 （1） 数形结合思想 勾股定理的本质是几何图形（直角三角形）与代数关系（）的结合。解题时需将抽象代数式转化为直观几何图形（如网格作图、构造直角三角形）。例：求立体图形表面最短路径时，需展开为平面图形，构造直角三角形利用勾股定理计算（如圆柱侧面蚂蚁爬行问题） （2） 方程思想 当问题涉及未知边长时，通过设未知数建立方程求解。常见于折叠问题（如矩形折叠后求线段长）、动态几何问题（如动点导致边长变化） （3） 分类讨论思想 当题目未明确直角边或斜边时，需分情况讨论：已知两边求第三边时，需判断第三边是直角边还是斜边；涉及等腰三角形的高时，分锐角/钝角三角形两种情况 （4） 模型化归思想 将复杂问题转化为基本勾股模型：“梯子滑动”模型（梯子靠墙下滑求底端移动距离）；“芦苇出水”模型（水池中央芦苇拉向岸边求高度） 2. 解题过程常见误区反思 误区类型 典型案例 纠正策略 直角识别错误 误将非直角三角形的边代入 确认直角位置或使用逆定理验证 忽视分类讨论 已知等腰三角形边长未分底边/腰两种情况 审题时标注“可能情况” 几何变换漏解 立体图形展开路径未考虑不同展开方式 画出所有可能的展开图 计算错误 开方时忽略负数解（边长取正值） 检查结果是否符合实际意义 3. 解题策略优化建议 （1） 强化模型识别能力：总结常见勾股定理应用场景： 折叠问题（全等转化线段）；最短路径问题（化曲为直）；网格作图问题（构造整数边三角形） （2） 善用辅助线构造 无直角时，通过作高构造直角三角形（如求等腰三角形底边高）；不规则图形分割为多个直角三角形（如“赵爽弦图”中的面积关系） （3） 验证解的合理性 检查边长是否满足三角形三边关系（任意两边和＞第三边）；代入原图验证几何条件（如折叠后点重合位置） 4. 学习过程自我反思框架 在完成习题后，可通过以下问题深化理解： （1） 题目是否用到勾股定理？是否有其他解法？（如面积法、相似三角形） （2） 解题中是否考虑了所有可能情况？（分类完整性） （3） 几何图形如何辅助代数计算？（数形结合有效性） （4） 能否将本题方法迁移到同类问题？（模型化归能力） 【例1】数形结合思想 【典例】如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】/13厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 【变式1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ． （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 【变式2】如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可求解． 【详解】解：∵中，， 故； ∵是等腰直角三角形，是斜边， ∴， 则， ∴， 故， 同理，， ∵， 则， 即， 故选：A． 【变式3】如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用． 根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、， ∴在中，， ∴， 即， ， 故选：B． 【例2】方程思想 【典例】有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得：， ∴． 如图，当时，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为3或6． 故答案为：3或6． 【变式2】如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由，得出为直角三角形，且，设，由折叠的性质，可得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 【变式3】在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：，， 设，则， 由折叠知， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 【例3】分类讨论思想 【典例】如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)边的长为 (2)或 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）分两种情况讨论：①当为直角，②当为直角，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中， ∴边的长为． （2）解：由题意知， ①当为直角时，如图1， 点P与点C重合，， 即； ②当为直角时，如图2，，，． 在中，， 在中，， 即，解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． 【变式1】如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 【答案】或4 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 【变式2】如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)，； (2)t为秒时，四边形的面积为； (3)t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【分析】（1）由题意得：，，再根据，即可列式； （2）证明四边形是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，得到，，分两种情况求解：当点在点上方时；当点在点下方时，利用勾股定理分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 四边形是矩形，， ， ，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，， ，，， 四边形是直角梯形， 四边形的面积， 四边形的面积为， ， 解得：， 答：t为秒时，四边形的面积为； （3）解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 点P和点Q的距离为， ， 当点在点上方时，， 由勾股定理得：， ， ； 当点在点下方时，， 由勾股定理得：， ， ， 综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式3】设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 【例4】模型化归思想 【典例】“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 【变式1】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键． 设门的高为尺，则宽为尺，对角线长为尺，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 【变式2】我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）．问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈．求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，列一元一次方程． 设户广为尺，则户高为尺，对角线长为尺，由勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：设户广为尺，则户高为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 【变式3】阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索的长为x尺，则的长为尺，根据勾股定理得，据此列出方程即可； （3）设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 ☆问题解决策略：反思 【课时概述】 1. 数学思想方法反思 （1） 数形结合思想 勾股定理的本质是几何图形（直角三角形）与代数关系（）的结合。解题时需将抽象代数式转化为直观几何图形（如网格作图、构造直角三角形）。例：求立体图形表面最短路径时，需展开为平面图形，构造直角三角形利用勾股定理计算（如圆柱侧面蚂蚁爬行问题） （2） 方程思想 当问题涉及未知边长时，通过设未知数建立方程求解。常见于折叠问题（如矩形折叠后求线段长）、动态几何问题（如动点导致边长变化） （3） 分类讨论思想 当题目未明确直角边或斜边时，需分情况讨论：已知两边求第三边时，需判断第三边是直角边还是斜边；涉及等腰三角形的高时，分锐角/钝角三角形两种情况 （4） 模型化归思想 将复杂问题转化为基本勾股模型：“梯子滑动”模型（梯子靠墙下滑求底端移动距离）；“芦苇出水”模型（水池中央芦苇拉向岸边求高度） 2. 解题过程常见误区反思 误区类型 典型案例 纠正策略 直角识别错误 误将非直角三角形的边代入 确认直角位置或使用逆定理验证 忽视分类讨论 已知等腰三角形边长未分底边/腰两种情况 审题时标注“可能情况” 几何变换漏解 立体图形展开路径未考虑不同展开方式 画出所有可能的展开图 计算错误 开方时忽略负数解（边长取正值） 检查结果是否符合实际意义 3. 解题策略优化建议 （1） 强化模型识别能力：总结常见勾股定理应用场景： 折叠问题（全等转化线段）；最短路径问题（化曲为直）；网格作图问题（构造整数边三角形） （2） 善用辅助线构造 无直角时，通过作高构造直角三角形（如求等腰三角形底边高）；不规则图形分割为多个直角三角形（如“赵爽弦图”中的面积关系） （3） 验证解的合理性 检查边长是否满足三角形三边关系（任意两边和＞第三边）；代入原图验证几何条件（如折叠后点重合位置） 4. 学习过程自我反思框架 在完成习题后，可通过以下问题深化理解： （1） 题目是否用到勾股定理？是否有其他解法？（如面积法、相似三角形） （2） 解题中是否考虑了所有可能情况？（分类完整性） （3） 几何图形如何辅助代数计算？（数形结合有效性） （4） 能否将本题方法迁移到同类问题？（模型化归能力） 【例1】数形结合思想 【典例】如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【变式1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【变式2】如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（   ） A． B． C． D． 【例2】方程思想 【典例】有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【变式2】如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【变式3】在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 【例3】分类讨论思想 【典例】如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【变式1】如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 【变式2】如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【变式3】设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【例4】模型化归思想 【典例】“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）．问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈．求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式3】阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$