云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末检测数学试卷

丽江市第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳 素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8小题，共计40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 6．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．若命题“，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞) B．[0，+∞) C．(，1) D．(，0] 二、多选题（本大题共3小题，共计18分） 9．若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（      ） A． B． C． D．， 10．设函数，下列命题中正确的有（    ） A．时，是奇函数 B．时，方程只有一个实根 C．的图象关于对称 D．方程至多有两个实根 11．设函数，则（   ） A．的图象有对称轴 B．是周期函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 三、填空题（本大题共3小题，共计15分） 12．已知，且，则 . 13．函数的图象与函数的图象交点个数为 . 14．定义：为实数中较小的数.已知，其中均为正实数，则的最大值是 . 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15．已知一次函数过定点. (1)若，求不等式解集. (2)已知不等式的解集是，求的最小值. 16．已知函数的部分图象如图. （1）求函数的解析式，并写出它的对称中心； （2）求函数的最小值，并求取最小值时的集合； （3）若函数的图象向右平移个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值. 17．已知函数（），若的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，且. ①求实数a的取值范围； ②求，求实数a的取值范围. 18．设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． (1)分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”； ①； ②； (2)若是函数的“T区间”，求m的取值范围； (3)已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对，，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”． 19．已知函数，.若对于给定的非零常数m，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为. (1)已知是上的周期为的“2级类周期函数”，且当时，，求若对任意，都有，求实数t的取值范围； (2)是否存在非零实数k，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数k和的值，若不存在，说明理由. 参考答案 1．【答案】C 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选. 2．【答案】A 【详解】对A，令，则定义域为，且，所以为奇函数，因为和都是增函数，所以为增函数，故A正确； 对B，在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误； 对C，在定义域内单调递减，故C错误； 对D，不是奇函数，故D错误. 故选A. 3．【答案】A 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为, 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选A. 4．【答案】B 【详解】由题意，集合， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以，即中元素的个数为2个. 故选B. 5．【答案】A 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选A. 6．【答案】A 【详解】若方程， 则，即或， 当时，， 则的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以， 解得， 即的取值范围是， 故选A. 7．【答案】A 【详解】由非零实数满足，通过分类讨论，求得，再结合函数的单调性，不等式的性质等，即可求解. 【详解】由题意，非零实数满足， 当时，由，可得，即； 当时，由，可得； 当时，由，可得，可得， 综上可得， 由幂函数在上为单调递增函数，可得，所以A是正确的； 由，正负不能确定，所以B不正确； 由，正负不能确定，所以C不正确； 由，正负不能确定，所以D不正确. 故选A. 8．【答案】A 【详解】命题“，使得成立”为假命题, 则它的否定命题: “，”为真命题 所以 解得，所以实数a的取值范围是 故选A. 9．【答案】AC 【详解】对于选项A：小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 因为，故A正确； 对于选项B：因为当时，，故B错误； 对于选项C：小于或等于的正整数中与互质的正整数为 ，，，，，，，，，，，，，，，， 共有个，所以，故C正确； 对于选项D：当时，因为，故D不正确； 故选AC 10．【答案】ABC 【详解】对于A，，，定义域为， 所以， 则是奇函数，故A正确； 对于B，，令可得， 则方程只有一个实根，故B正确； 对于C，设函数上的任意一点关于点对称的点， 则．代入可得， 所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，当，，的根有，，， 此时方程有三个实根，故D错误. 故选ABC. 11．【答案】ABD 【详解】∵， ∴是偶函数，关于轴对称，故A正确； ∵， ∴是函数的一个周期，故B正确； ，∵，， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； ， ∴的图象关于点中心对称. 故选ABD. 12．【答案】 【详解】由已知得， 则，所以. 13．【答案】3 【详解】函数定义域为，最小正周期为，，当时，， 函数在定义域上是增函数，当时，，当时，， 因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图： 观察图象知，函数与函数的图象交点个数为3. 【关键点拨】本题需要将函数的图象与函数的图象绘制出来，结合图象进行解答. 14．【答案】/ 【详解】均为正实数，， 当，即时，，即， ， 当时，； 综上所述，的最大值为. 15．【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）依题设，因为过定点，所以，即，又，即，所以， 故不等式即，可得，即，将其转化为不等式组得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）由（1）知，又不等式的解集是，所以的解集是， 即方程有两根为，由韦达定理，，且， 则且，故，由， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 16．【答案】（1），对称中心 （2）， （3） 【详解】（1）由图象知. 所以，所以. 又由图象知， 所以，， 则，所以. 又，所以， 由得，所以. 所以， 令 所以它的对称中心为. （2）由知， 此时，即. 所以取最小值时的集合为. （3）向右平移个单位长度得到为偶函数， 即函数图象关于轴对称，即为， 所以，所以. 由于，所以当时，. 所以的最小值为. 【方法总结】（1）求三角函数周期的方法：①定义法，即利用周期函数的定义求解；②公式法，对形如的函数，；②观察法，即通过观察函数图像求其周期. （2）求函数的单调区间、最值、对称中心、对称轴等问题时，可以把看成一个整体，借助的性质解决. （3）平移问题遵循“左加右减,只针对而言”的原则. 17．【答案】(1)； (2)①；②. 【详解】（1）由的最小正周期为，，得，解得， 所以函数的解析式为； （2）①由（1）知， 由，得， 令，函数在上单调递增，从0增大到1， 在上单调递减，从1减小到，则，， 由函数在上有三个零点，得在有三个不等的实根， 则关于t的方程可能在上有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在上， 当一个实根在，另一个实根在上时，即解得； 当一个根为0时，即，则，方程为，，不合题意； 当一个根是，即，解得，方程为，，不合题意； 当一个根是1，另一个实根在，由，得， 方程为，解得或，不合题意； 所以a的取值范围是； ②设为方程的两个不相等的实数根，不妨令，， 由①知，，，即， ，，即， 由，得，则， 而，，则， 因此，即， 由，解得， 则，整理得，而， 则，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是． 18．【答案】(1)为的一个“T区间”，不是的一个“T区间”； (2)； (3)证明过程见解析. 【详解】（1）对于①：时，，满足性质1， 故为的一个“T区间”； 对于②：由对勾函数性质得在上单调递增， 且时，，当时，，故的值域为， 由于与的交集为，不满足性质1，也不满足性质2， 故不是的一个“T区间”； （2）若，在上单调递增， 又，故， 由题意得，即，解得或， 与取交集，得到， 若，在上单调递减，在上单调递增， 故，其中， 若，即，与取交集得， 此时，故，满足要求， 若，即或，与取交集得， 此时，故， 由于，，显然不能满足性质1和性质2，所以不合要求，舍去， 综上，； （3）证明：对于任意的区间，，记， 由题意，，故在上单调递减，故， 因为，所以，， 即的长度大于的长度，不满足性质1， 因此，如果为的“T区间”，需满足性质2，即， 即只需存在使得，或存在使得， 因为显然不恒成立，所以存在常数，使得， 若，取，区间，满足性质2， 若，取，区间满足性质2， 综上，一定存在“T区间”， 记，则的图象在R上连续不断，下证有零点， 因为在R上为减函数，所以在R上为减函数，记， 若，则为的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点， 因为的所有“T区间”都满足性质2，故， 故使得不属于的所有“T区间”． 19．【答案】(1) (2)答案见详解； 【详解】（1）由题意可知，对恒成立， 可知在每个周期内的最大值随着的变大而变大， 当时，， 则时，，，最大值为， 则时，，，最大值为， 令，，解得或， 结合图象可知，对任意，都有时，实数t的取值范围为. （2）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，则对恒成立， 即对恒成立， 因，，则， 当时，，得，，， 当时，，得，， 综上， ，，，或，，. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$