精品解析：河南省安阳市飞翔学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年河南省安阳市飞翔学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. “认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 3. 是外角的平分线，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 6. 若，且，则代数式的值等于（　　） A. B. C. D. 7. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，那么还应添加一个条件，才能推出．则从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有__________． 12. 如图，在中，，是高，，若，则___________． 13. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，-----照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了____________米． 14. 如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝________cm. 15. 点关于轴的对称点的坐标是______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，，求下列代数式的值． （1） （2） 18. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． （1）直接写出的各顶点坐标： （ ， ），（ ， ），（ ， ）； （2）画出关于轴的对称图形； （3）直接写出关于轴对称的的顶点（ ， ），（ ， ），（其中与对应，与对应，不必画图．） 19. 求作一点P，使点P到两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹） 20. 如图，的和的平分线，相交于点F，． （1）求的度数． （2）求证：． 21. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 22. 如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．求证： （1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 23. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河南省安阳市飞翔学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. “认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，掌握轴对称的定义是关键． 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 3. 是外角的平分线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是正确解答此题的关键． 先根据是的外角的平分线，求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数，再根据平角的性质即可求出的度数． 【详解】解：是外角的平分线，，， ， 是的外角， ， ， ’ 故答案为：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；以及完全平方公式． 5. 如图，平分，点P是射线上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，则的长度不可能是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为5， ∴的长度不可能是4． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 若，且，则代数式的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则和整体的思想是解决本题的关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】原式展开得： 将已知条件 和 代入： 因此，代数式的值为， 故选：C． 7. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：为顶角或为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值． 【详解】解：当为顶角时， ∵等腰中，， ∴底角， ∴特征值； 当为底角时， ∵等腰中，， ∴顶角为：， ∴特征值． ∴它的特征值等于或． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 8. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明得到，再利用三角形的外角性质证得即可求解． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，会利用三角形外角性质证得是解答的关键． 9. 如图，已知，那么还应添加一个条件，才能推出．则从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 可以添加的条件是：，，， 添加条件，不能根据，证明， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质判定定理是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，． ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有__________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据题意及三角形的特征来思考，由三条线段围成的图形叫三角形，三角形有三个角，三条边，三角形具有稳定性. 【详解】解：自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的认识，由三条线段围成的图形叫三角形，三角形有三个角，三条边，三角形具有稳定性. 12. 如图，在中，，是高，，若，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先证明，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，是高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 13. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，-----照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了____________米． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以20米即可． 【详解】解：∵小亮每次都是沿直线前进20米后向左转30度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了（米）． 故答案为：240． 【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键． 14. 如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝________cm. 【答案】4 【解析】 【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm． 【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上， ∴BC=AB=8cm． ∵DB=DC， ∴点D在BC的垂直平分线上， ∴AD垂直平分BC， ∴BE=BC=4cm． 故答案为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键． 15. 点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数即可得到答案．熟记关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于轴对称， 点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用积的乘方和同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式除单项式的法则计算即可． 【小问1详解】 解： =0； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的除法以及多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 已知，，求下列代数式的值． （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，整式的化简求值，（）根据完全平方公式变形求值即可求解；（）先根据完全平方公式变形求得，再根据整体代入进行计算即可求解，掌握整体代入是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ． 18. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． （1）直接写出的各顶点坐标： （ ， ），（ ， ），（ ， ）； （2）画出关于轴的对称图形； （3）直接写出关于轴对称的的顶点（ ， ），（ ， ），（其中与对应，与对应，不必画图．） 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）直接写出各点的坐标即可； （2）找到关于轴对称的对应点，再进行连线即可得到； （3）根据关于轴对称的点的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可知：、、； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据根据关于轴对称的点的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可知：坐标为、坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 19. 求作一点P，使点P到两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹） 【答案】 点P即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线和线段垂直平分线的性质，点P到两边的距离相等，则点P在的角平分线上，点P到点D和点E的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作的角平分线，作线段的垂直平分线，二者交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 20. 如图，的和的平分线，相交于点F，． （1）求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：在上取一点O，使得， 平分， ， 在和， ， ， ， 由（1）知， ，， ， ， ， 平分， ， 在和， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． （2）在上取一点O，使得，易证，即可证明，可得，即可证明，可得，根据即可证明． 【小问1详解】 解：在中， ， ， ，的平分线，相交于点F， ，， ， 在中， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）， 理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．求证： （1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝60°， ∵D为BC的中点， ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， 又∵BE⊥AB， ∴∠ABE＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°， ∴∠CAF＝∠CBE； （2） 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴CA＝CB， 在△CAF和△CBE中， ， ∴△CAF≌△CBE（SAS）， ∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE， ∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠CAB＝∠CBA＝60°，根据已知条件求得∠CAD＝30°，∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，即可得证； （2）根据（1）的结论，证明△CAF≌△CBE，根据全等三角形的性质得出∠ACF＝∠BCE，进而得出∠ECF＝60°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 23. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （3）【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） ，，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $