福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

2024—2025学年度第二学期福九联盟期末联考学校： 高一年 班 号 姓名： 准考证号： 高中一年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满 分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合，，则（  ）。 A． B． C． D． 2、下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（  ）。 A． B． C．y= D． 3、复数满足，则的虚部为（  ）。 A． B． C． D． 4、用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷 调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的 概率为，则（  ）。 A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 5、下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（  ）。 A．B．C．D． 6、要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（  ）。 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 7、 已知定义在上的奇函数周期为3，当时，，则的值为（ 　）。 A．-4 B．2 C．-2 D．4 8、如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面ABC上的动点P，观测点O到墙 面的距离OA=12m，墙角处点B到点A的距离BA=16m，墙面上 ，当动点P 沿射线BC在墙面上移动时，仰角θ(直线OP与水平面所成的角)正切值的最大值为（ ）。 A.  ​ B. C. D. ​​ ​​ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9、下列命题正确的是（ ）。 A. 如果直线和平面满足，，那么 B. 已知平面和直线，若，，，,则 C. 已知平面和直线，若 ，， ,则 D. 已知平面和直线，若，， ，则 10、甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题， 若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮中甲答对的概率 为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响， 则以下说法正确的是（ ）。 A．每轮活动中，甲获胜的概率为 B．每轮活动中，平局的概率为 C．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D．甲至少获胜两轮的概率为 11、如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是 ， ， 的中点， Q是正方形 内的动点，则（ ）。 A．平面 截正方体所得截面面积为 B．经过A， ,P，N四点的球的体积为 C．若PQ垂直于AM,则Q的轨迹长度为 D．三棱锥 的体积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知一组数据7，7，8，9，10，11，13，16，则这组数据的80%分位数是 . 13、在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，点M满足，则 . 14、设是一个随机试验中的两个事件，且，，则 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（13分）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”， (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件，； (2)计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 16、（15分）在中，内角所对的边分别为， (1)求角C； (2)若，求b． 17、（15分）2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛。志愿服务是赛事成功举办的重要保障。在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：[40,50)、[50,60)、…、[90,100]，并根据数据绘制了频率分布直方图（如图所示）。 (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)已知落在[50,60)区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在[60,70)区间的面试成绩平均数为67，方差为20，试估算在区间[50,70)内所有面试成绩的平均数和方差。 18、（17分）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若PA=AB=BC=2,E为PB的中点，M,N分别为AE，AC的中点， （1） 证明：MN//平面PBC； （2） 求MC与AP所成的角的正切值； （3） 若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由。 19、（17分）如图，在三棱台中，平面平面，，， 且。 (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切 值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由。 高一年级（数学）评分细则 1、 单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B B D C B A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 C D ABD ABD 3、 填空题（每小题5分，共15分） 12. 13 13.- 14. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15题 解：（1）设2个红球分别标为，2个黄球分别标为,则从中不放回地依次随机摸出2个球，用表示可能的结果，x是第一次摸到的球的标号，y是第二次摸到的球的标号，..............................................................................................................................................1 则试验的样本空间 ，..........3 事件“第一次摸到红球”，即 或2，于是. ；......................................................................4 事件 “第二次摸到黄球”，即 或4，于是 ..........................................................................6 （2） 事件和事件不独立，理由如下： 由（1）得=12，=6，=6 ..................................................................................8 又因为=，所以=4................................................. .9 所以，，................................................................10 所以，.............................................................................................11 因为，.................................................................................12 所以事件和事件不独立．..............................................................................................13 16题【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为， 所以,（2分）， 化简得（3分）， 所以由正弦定理得：（4分）， 所以由余弦定理可得（5分）， 所以， 因为，所以（7分）． （2）由，，又，解得（9分）， 因为，所以（11分）， 所以 , 在中，由正弦定理得， 所以． 17【详解】【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得 解得， 由 得样本成绩的平均数为74 （2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 所以落在[50,70)所有候选者的面试成绩的平均数 方差 . 估计落在[50,70)所有候选者的面试成绩的方差为 18题 (用空间向量完成答案对统一扣2分） 【详解】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 .………………2分 又平面平面，……………………4分 所以 平面.………………5分 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面.…………………………2分 同理可证 平面， 因为，平面， 所以平面 平面.…………………………4分 又平面，所以 平面.……………………5分 (2)因为底面，所以PAAB 过M点作MHAB，交AB于H点，则MH//PA，所以MC和AP所成的角是∠HMC，…7分 在∆PAB中，PA=AB，E为PB中点，M为AE中点，所以MH==…………………8分 连接HC，在Rt∆HBC中，HB=，BC=2，所以HC==…………………9分 所以tan∠HMC=…………………………………………10分 （3）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面.………………………………13分 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面.…………………………16分 因为平面，所以平面平面.……………………………………17分 19（17分）（1）5分 （2） 5 分 （3） 7 分(用空间向量完成答案对统一扣3分） （1）证明：在三棱台中，，， 在等腰梯形中， ，则1分 由余弦定理得， 2分 则， 3分 即， 而平面平面，平面平面 4分 平面，则平面， 又平面，所以. 5分 （2） 解：过，垂足为， 因为，又，，平面， 所以平面， 6分 平面，则  ， 7分 又，平面，则平面， 8分 则为与平面所成的角， 则， （或者:则，则，） 9分 又，所以与平面所成的角为. 10分 （3） 解：三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面，平面，则平面平面， 11分 取中点，，则，且 而平面平面，平面，则平面， 过作交于，则平面， 12分 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影，  又，平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 13分 若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即tan ， 设，则 因为，， 即，解得 ， 15分 ，， 16分 所以 ，， 所以线段上存在满足题意的点. 17分 高一数学试卷 -1-（共4页） 高一数学试卷 -2-（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$