精品解析： 河北省保定市唐县2024-2025学年八年级下学期学业质量检测数学试题

2024～2025学年第二学期学业质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的标准答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在ABCD中，，则∠A＝（ ） A. B. C. D. 4. 函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是琳琳在①~④号商店购买同一种商品的费用y（单位：元）与购买的数量x（单位：千克）之间的函数图象．由图象可知，购买商品单价最低的商店是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，的值在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D. 86分 8. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）． A. 聪聪的速度为 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 客人距离厨房门口 D. 从慧慧出发直至送餐结束，共需 9. 若菱形的周长是20，对角线，则菱形的面积是（ ）． A. 20 B. 16 C. 25 D. 24 10. 综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（ ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 12. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每空2分，共12分） 13. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是______． 14. 回顾所学，完成框图． 直角三角形的性质——边边关系——勾股定理—— 符号语言：在中，，______． 15. 小杰同学尝试将直线绕原点旋转，下面是他的探究设计，请按照他的探究操作完成以下填空： ①如图，在直角坐标系中，过点和点画出直线； ②画出点A绕原点逆时针旋转后的对应点（ ）； ③过点O和点画出直线，那么直线即为直线绕原点逆时针旋转后的图形，直线的函数解析式为 ． 16. 把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 下面是小乐同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 计算：． 解：原式…………第1步 …………第2步 …………第3步 …………第4步 任务： （1）第 步开始出错，错误的原因是 ． （2）计算的正确结果是 ． 18. 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．若，当从变为时，千斤顶升高了多少？ 19. 等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是定值吗？如果是，这个定值是多少？ （1）小明借助等腰直角三角尺做了如下实践探究： 设等腰直角三角形的直角边的长为a，他将四个同样大小的等腰直角三角形拼成了一个大的正方形，如图（2）所示． ①每个等腰直角三角形的面积是______．（用含字母a的式子表示） ②大正方形的面积是______，等腰直角三角形的斜边的长是______．（用含母a的式子表示） ③等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是______． （2）根据你所学，用其他方法探究等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是定值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）判断三角形的形状； （2）请仅用无刻度的直尺画出边上的中线，的长______；（保留作图痕迹） （3）在x轴的负半轴上存在一点P，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则P点的坐标为______． 21. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，对角线，相交于点D，点A的坐标为，点C的坐标为． （1）点B，点D的坐标分别为______，______； （2）求平行四边形的周长． （3）若平面内有一点，求经过点P且平分平行四边形的面积的直线解析式． 23. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低100元／个； 素材二：购买2个甲型号书架和3个乙型号书架共需要1300元； 素材三：购买甲型号书架的数量不超过乙型号书架的4倍． 【问题解决】 （1）求出甲、乙两种型号书架的单价； （2）设购买个甲型号书架，购买这30个书架所需总费用为元，求与之间的函数表达式，并求出最小时的购买方案． 24. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，直线与x轴交于点，P是线段上的一个动点（点P与A，B不重合）． （1）求直线所对应的函数解析式； （2）设动点P的横坐标为t，的面积为S． ①求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； ②在线段上是否存在点Q，使得四边形是平行四边形？如果存在，求此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期学业质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的标准答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，求算术平方根，根据二次根式的运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．无法合并，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算正确； D．，原计算错误； 故选：C． 3. 如图，在ABCD中，，则∠A＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角相等，邻角互补是解题的关键． 4. 函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数y＝可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可. 【详解】由题意得，x－5≥0， 解得x≥5． 在数轴上表示如下： 故选B． 【点睛】本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键. 5. 如图，这是琳琳在①~④号商店购买同一种商品的费用y（单位：元）与购买的数量x（单位：千克）之间的函数图象．由图象可知，购买商品单价最低的商店是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题函数图像，灵活运用数形结合的思想是解题的关键，令购买数量相同，即可解答． 【详解】解：如图， 当购买的数量为a时，即时，直线与④的交点最低， 购买商品单价最低的商店是④， 故选：D． 6. 如图，的值在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的乘法，无理数的估算，利用二次根式的乘法法则计算可得，估算出得到，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值在数轴上对应的点可能是点， 故选：B． 7. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D. 86分 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（分） 故选D 【点睛】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键． 8. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）． A. 聪聪的速度为 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 客人距离厨房门口 D. 从慧慧出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的分析． 根据图象结合速度、路程、时间之间的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A正确，不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B正确，不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C错误，不符合题意， D、从慧慧出发直至送餐结束，共需，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9. 若菱形的周长是20，对角线，则菱形的面积是（ ）． A. 20 B. 16 C. 25 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积． 由菱形的性质可求得和，用勾股定理可得，代入面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，，，， ∵菱形的周长是，， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 10. 综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（ ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，尺规作图—作垂线、作线段，由作图可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形为平行四边形，即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴可直接判定四边形是平行四边形的条件是对角线互相平分， 故选：A． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 12. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，即，故②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故③正确； ④因为，所以，故④不正确． 综上，①②③正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每空2分，共12分） 13. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查求方差和平均数，根据方差的计算公式，得到这组数据为，根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，平均数为：； 故答案为：8． 14. 回顾所学，完成框图． 直角三角形的性质——边边关系——勾股定理—— 符号语言：在中，，______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理，结合图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 小杰同学尝试将直线绕原点旋转，下面是他的探究设计，请按照他的探究操作完成以下填空： ①如图，在直角坐标系中，过点和点画出直线； ②画出点A绕原点逆时针旋转后的对应点（ ）； ③过点O和点画出直线，那么直线即为直线绕原点逆时针旋转后的图形，直线的函数解析式为 ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求旋转后对应点的坐标，正确求出旋转后对应点的坐标是解题的关键． （1）根据旋转作图即可求解； （2）由待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，由旋转后可得， 设直线， 代入， 则， 解得：， ∴， 故答案为：，． 16. 把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 【答案】 ①. ##度 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 下面是小乐同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 计算：． 解：原式…………第1步 …………第2步 …………第3步 …………第4步 任务： （1）第 步开始出错，错误的原因是 ． （2）计算的正确结果是 ． 【答案】（1）3，运用平方差公式时，计算错误； （2）1 【解析】 【分析】（1）逐步分析，根据二次根式的运算法则进行计算，注意运用完全平方公式、平方差公式是否出错； （2）根据二次根式的运算法则进行计算． 【小问1详解】 第3步出错，第3步正确为：，即运用运用平方差公式时，计算错误． 故答案为：3，运用平方差公式时，计算错误． 【小问2详解】 原式 故答案为：1 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 18. 图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．若，当从变为时，千斤顶升高了多少？ 【答案】千斤顶升高了 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，菱形的性质．连接，交于点，根据菱形的性质可得，平分，，，然后分别求出当时，当时，的长度，即可解答． 【详解】解：解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 平分，，， 当， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当， ∵平分， ∴，． 在中，，， ∴， ∴千斤顶升高的高度， ∴千斤顶升高了． 19. 等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是定值吗？如果是，这个定值是多少？ （1）小明借助等腰直角三角尺做了如下实践探究： 设等腰直角三角形的直角边的长为a，他将四个同样大小的等腰直角三角形拼成了一个大的正方形，如图（2）所示． ①每个等腰直角三角形的面积是______．（用含字母a的式子表示） ②大正方形的面积是______，等腰直角三角形的斜边的长是______．（用含母a的式子表示） ③等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是______． （2）根据你所学，用其他方法探究等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是定值． 【答案】（1） ① ②， ③ （2） 证明：设等腰直角三角形的直角边为， 根据勾股定理可得， 斜边， ∴等腰直角三角形的斜边与直角边的比值为，是定值． 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，正方形的面积，勾股定理，解题的关键是求出等腰直角三角形的面积． （1）等腰直角三角形的直角边的长代入面积公式即可；用等腰直角三角形的面积乘，即可得大正方形的面积，大正方形的面积求算术平方根，可得大正方形的边长，即为等腰直角三角形的斜边的长；将等腰直角三角形的斜边与直角边的长代入计算即可； （2）由勾股定理可得等腰直角三角形的斜边，求比值即可． 【小问1详解】 解：∵等腰直角三角形的直角边的长为a， ∴每个等腰直角三角形的面积是， 故答案为：． ∵大正方形是由四个同样大小的等腰直角三角形拼成的，每个等腰直角三角形的面积是， ∴大正方形的面积是， ∴大正方形的边长是， ∴等腰直角三角形的斜边的长是， 故答案为：，． ∵， ∴等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是， 故答案为：． 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）判断三角形的形状； （2）请仅用无刻度的直尺画出边上的中线，的长______；（保留作图痕迹） （3）在x轴的负半轴上存在一点P，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则P点的坐标为______． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，矩形的性质以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别求出的长，由勾股定理逆定理进行判断即可； （2）取矩形，连接对角线交于点D，连接即可； （3）画出图形即可判断． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∴为等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：如图所示，取矩形，连接对角线交于点D，连接， ∵矩形的对角线相互平分，即点D是中点，连接， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 可知则P点的坐标为． 故答案为：． 21. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】（1）98，93，10 （2）450人 （3）男生更喜欢《哪吒2》， 理由：根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值； （2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【小问1详解】 解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则， 根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； 【小问3详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，对角线，相交于点D，点A的坐标为，点C的坐标为． （1）点B，点D的坐标分别为______，______； （2）求平行四边形的周长． （3）若平面内有一点，求经过点P且平分平行四边形的面积的直线解析式． 【答案】（1）点B，点D的坐标分别为； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式，进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，再根据周长公式进行计算即可； （3）根据平分平行四边形的面积的直线必过平行四边形的中心，即点，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点D，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴为的中点，轴， ∴， 即：；； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，． 在中，，． ∴的周长． 【小问3详解】 由题意，平分平行四边形的面积的直线必过平行四边形的中心，即点， 设直线解析式为． 将点，代入得， 解得， ∴函数解析式为． 23. 【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低100元／个； 素材二：购买2个甲型号书架和3个乙型号书架共需要1300元； 素材三：购买甲型号书架的数量不超过乙型号书架的4倍． 【问题解决】 （1）求出甲、乙两种型号书架的单价； （2）设购买个甲型号书架，购买这30个书架所需总费用为元，求与之间的函数表达式，并求出最小时的购买方案． 【答案】（1）甲型号书架的单价是元／个，乙型号书架的单价是元／个 （2）；甲型号书架个，乙型号书架个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设甲型号书架的单价是元／个，则乙型号书架的单价是元／个，根据题意得， 求出，则，即可得到答案； （2）由题意可得与之间的函数表达式为，得到，求出，得到随的增大而减小，推出当时，取得最小值，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲型号书架的单价是元／个，则乙型号书架的单价是元／个， 根据题意得，， 解得：， （元）， 答：甲型号书架的单价是元／个，乙型号书架的单价是元／个． 【小问2详解】 解：由题意可得与之间的函数表达式为， 由题意可得， 解得：． ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 此时（个）， 最小时的购买方案为：甲型号书架个，乙型号书架个． 24. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，直线与x轴交于点，P是线段上的一个动点（点P与A，B不重合）． （1）求直线所对应的函数解析式； （2）设动点P的横坐标为t，的面积为S． ①求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； ②在线段上是否存在点Q，使得四边形是平行四边形？如果存在，求此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①②存在，点Q的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①直接利用面积公式求出函数解析式即可；②过点P作轴，交于点Q，得到点Q的坐标为，根据平行四边形的对边平行且相等，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴、． 设直线所对应的函数关系式为． ∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线所对应的函数关系式为． 【小问2详解】 ①由题意，设点P的坐标为， ∴， 即． ②过点P作轴，交于点Q． ∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为． ∵四边形是平行四边形， ∴，即，解得， ∴点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $