专题 1.2 一定是直角三角形吗（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 1.2 一定是直角三角形吗 目录 一知识梳理 1 （一）勾股定理的逆定理 1 （二） 勾股数 2 （三） 勾股数:勾股定理的逆定理的应用 2 二知识体系思维导图 2 三题型分类精析 3 题型 1：利用勾股定理逆定理判定三角形的形状 3 题型 2：利用勾股定理逆定理解决网格上的问题 3 题型 3：勾股数 4 题型 4：用勾股定理解逆定理求解 4 题型 5：用勾股定理解逆定理证明 5 题型 6：用勾股定理解逆定理解决实际问题 6 题型 7：勾股定理解逆定理拓展延伸问题 7 四同步练习 8 【基础巩固（12题）】 8 【能力提升（12题）】 11 【中考真题（12题）】 14 一.知识梳理 （一）勾股定理的逆定理 1.定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 数学语言：如图1，在，如果，则有 图1 2. 勾股定理逆定理与勾股定理的关系：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者互为逆定理。 （2） 勾股数 1. 定义：满足的三个正整数、、，称为勾股数； 2. 常见勾股数：如3、4、5；5、12、13；7、24、25等； 3. 规律：当正整数时，、、是勾股数；若、、是勾股数，那么、、（为正整数）也是勾股数. （3） 勾股数:勾股定理的逆定理的应用 1.判断三角形形状：已知三角形的三边长度，根据勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形。 2.解决实际问题： （1）航海问题：根据两地的距离和方位角，构建三角形模型，利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而求解相关距离、角度等问题。 （2）测量问题：在无法直接测量的情况下，通过测量相关线段的长度，构建三角形，利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，从而间接得出所需测量的量。 3.网格中的应用：在正方形网格中，根据网格的坐标计算线段长度，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。 二．知识体系思维导图 三．题型分类精析 【题型 1】利用勾股定理逆定理判定三角形的形状 【例题1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 【变式1】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）中，，，，则边上的中线长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【题型 2】利用勾股定理逆定理解决网格上的问题 【例题2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【变式1】1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【题型 3】勾股数 【例题3】（24-25八年级下·四川南充·期中）勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． （2）任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 变式3（广西百色市2024--2025学年上学期八年级数学期末试卷）已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【题型 4】用勾股定理解逆定理求解 【例题4】（23-24八年级下·广东）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． （1）求证：； （2）求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（   ） A．15 B．24 C．30 D．不能确定 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【题型 5】：用勾股定理解逆定理证明 【例题5】（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【变式1】（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【题型 6】：用勾股定理解逆定理解决实际问题 【例题6】（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管；； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【变式1】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【变式2】（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为 千米． 【题型 7】：勾股定理解逆定理拓展延伸问题 【例题7】（20-21八年级上·江苏无锡·期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【变式1】（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为： ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知a、b、c分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（    ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，是超市的儿童玩具购物车侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 5．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是 ． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 9．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 10．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， （1）求证：是直角三角形； （2）当运动了3秒时，求的面积． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为． （1）判断的形状？并说明理由； （2）求的长． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，，分别是，，的对边，下列条件能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 二、填空题 6．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    8．（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为 千米． 9．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有： ． ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④． 10．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 三、解答题 11．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【中考真题（12题）】 1．（2019·湖南益阳·中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 4．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.2 一定是直角三角形吗 目录 一知识梳理 1 （一）勾股定理的逆定理 1 （二） 勾股数 2 （三） 勾股数:勾股定理的逆定理的应用 2 二知识体系思维导图 2 三题型分类精析 3 题型 1：利用勾股定理逆定理判定三角形的形状 3 题型 2：利用勾股定理逆定理解决网格上的问题 4 题型 3：勾股数 6 题型 4：用勾股定理解逆定理求解 9 题型 5：用勾股定理解逆定理证明 12 题型 6：用勾股定理解逆定理解决实际问题 14 题型 7：勾股定理解逆定理拓展延伸问题 17 四同步练习 21 【基础巩固（12题）】 21 【能力提升（12题）】 29 【中考真题（12题）】 43 一.知识梳理 （一）勾股定理的逆定理 1.定理：如果一个三角形一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是一个直角三角形. 数学语言：如图1，在，如果，则有 图1 2. 勾股定理逆定理与勾股定理的关系：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者互为逆定理。 （2） 勾股数 1. 定义：满足的三个正整数、、，称为勾股数； 2. 常见勾股数：如3、4、5；5、12、13；7、24、25等； 3. 规律：当正整数时，、、是勾股数；若、、是勾股数，那么、、（为正整数）也是勾股数. （3） 勾股数:勾股定理的逆定理的应用 1.判断三角形形状：已知三角形的三边长度，根据勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形。 2.解决实际问题： （1）航海问题：根据两地的距离和方位角，构建三角形模型，利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而求解相关距离、角度等问题。 （2）测量问题：在无法直接测量的情况下，通过测量相关线段的长度，构建三角形，利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，从而间接得出所需测量的量。 3.网格中的应用：在正方形网格中，根据网格的坐标计算线段长度，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。 二．知识体系思维导图 三．题型分类精析 【题型 1】利用勾股定理逆定理判定三角形的形状 【例题1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 解：证明：， ， ，， ，，，， ， 是直角三角形，且为直角， ． 【变式1】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）中，，，，则边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理的运用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，根据勾股定理逆定理判定直角三角形，再根据直线三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 解：中，，，， ∵，， ∴是直角三角形，， ∴边上的中线长为， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【题型 2】利用勾股定理逆定理解决网格上的问题 【例题2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 【变式2】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 【题型 3】勾股数 【例题3】（24-25八年级下·四川南充·期中）勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数． 解：①，，， ②，，， ③，，， …… 第⑤组勾股数：，，， 故答案为：，，． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． （2）任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】（1）①6；②12；③17；（2）见分析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 解：（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 变式3（广西百色市2024--2025学年上学期八年级数学期末试卷）已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在角即可求解． 解：A． 由，结合内角和得， 代入得，解得， 为直角三角形，故此选项不符合题意． B． 设， 则， 解得， 故，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意． C． 展开得，即， 由勾股定理的逆定理知，为直角三角形，故此选项不符合题意． D． ∵， ∴， 由勾股定理的逆定理知， ∴故为直角三角形故此选项不符合题意． 故选：B． 【题型 4】用勾股定理解逆定理求解 【例题4】（23-24八年级下·广东）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 解：（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式1】（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（   ） A．15 B．24 C．30 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，得为直角三角形，故可求出面积． 解：∵，， ∴， 即是直角三角形， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【题型 5】用勾股定理解逆定理证明 【例题5】（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 【变式1】（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 解：证明：在中， ∴， ∴， 在中，，， ， 为直角三角形，， ． 【题型 6】用勾股定理解逆定理解决实际问题 【例题6】（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管；； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】（1）见分析；（2）选择八（1）班的方案，理由见分析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用； （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）先利用等积法求出的长，再分别计算与，然后进行比较大小即得结论． 解：（1）证明：由题意可得：， ∴， ∴， 即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵， ∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 【变式1】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是，甲客轮到达点A．乙客轮用到达B点，若A、B两点的直线距离为，甲客轮沿北偏西的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　） A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，平角以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提． 根据方向角的定义画出相应的图形，根据勾股定理的逆定理可以得到是直角三角形，再利用平角的定义即可求出的方向角即可． 解：如图， 由题意得，， ， ， ， ， 即的方向为南偏西， 同理可得，的方向也可为北偏东， 故选：A． 【变式2】（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为 千米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 解：在中，因为，， 所以， 所以是直角三角形且 ． 设千米，则千米． 在中，由已知得，，， 由勾股定理得， 所以， 解得， 故答案为． 【题型 7】勾股定理解逆定理拓展延伸问题 【例题7】（20-21八年级上·江苏无锡·期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）证明见分析；（2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 解：证明：（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【变式1】（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，点D，点E，点F分别是的三边上的动点，若，，，则的最小值y与x的关系式为： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形．根据点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式，可得点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．作于点M，比较、、后，最短，它的长度即为的最小值．根据面积的不同表示方法可得的长，即可求得的最小值y与x的关系式． 解：∵，，， ∴． ∴． ∵点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式， ∴点D、E、F有两点重合在的某个顶点处． ①点D、F在点A处， ∵点A到的最小距离为， ∴点E在点B处． ∴． ②点D、E在点B处，作于点M． ∵点B到的最小距离为， ∴点F在点M处． ∴． ③点E、F在点C处， ∵点C到的最小距离为， ∴点D在点B处． ∴． ∵． ∴的最小值为． ∵． ∴． ∴的最小值y与x的关系式为：． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当时，线段最短，勾股定理逆定理求出是直角三角形，等积法求出的长即可． 解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知a、b、c分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定方法．根据角度关系及勾股定理逆定理分别判断即可． 解：A：设三个角分别为、、，由内角和得，解得，对应角度为、、，无直角，故不能判别为直角三角形； B：由得，符合勾股定理逆定理，说明为直角，可判别为直角三角形； C：由得．结合内角和，代入得，可判别为直角三角形； D：设三边为、、，，符合勾股定理逆定理，可判别为直角三角形； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（    ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 解：∵小淇同学握住第7个结， ∴小惠和小淇之间有6个单位长度， ∵6，8，10是一组勾股数，且， ∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形， 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，是超市的儿童玩具购物车侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，点到直线的距离，根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，设点C到的距离是，根据三角形的面积公式计算即可． 解： 在中，， ∴为直角三角形，边所对的角是直角； 设点C到的距离是， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：D． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 5．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 解：∵，，， ，， ∴， 是边上的中线， ， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 【答案】南偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 9．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数． 解：是的外角， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， （1）求证：是直角三角形； （2）当运动了3秒时，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，判定是直角三角形是关键； （1）由，设，由勾股定理的逆定理即可证明． （2）由（1）的结论及周长条件可求得x的值，从而求得的长；由条件求得，利用三角形面积求解即可． 解：（1）证明：， 设． ． ． 是直角三角形； （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为． （1）判断的形状？并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）是直角三角形，见分析；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可求解； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 解：（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·北京·期中）在中，，，分别是，，的对边，下列条件能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项分析即可得解，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理是解此题的关键． 解：A、设三边为、、，满足，符合勾股定理，是直角三角形，故符合题意； B、设三边为、、，但，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，更非直角三角形，故不符合题意； C、设角分别为、、，则，解得，最大角为，非直角，故不成立，故不符合题意； D、设角分别为、、，则，解得，最大角为，非直角，故不成立，故不符合题意； 故选：A． 2．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键． 将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得． 解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： ，，， ∴ ∴ ∵平移至处，． ∴ ∴ ∴ 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 解：，，，，， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 4．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的逆定理．首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可以判断，、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 解：如下图所示，连接 、、， 又 ， 是直角三角形， 又点是的中点， ， 、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 故选：D ． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 8．（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）如图，笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米，则原路线的长为 千米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 解：在中，因为，， 所以， 所以是直角三角形且 ． 设千米，则千米． 在中，由已知得，，， 由勾股定理得， 所以， 解得， 故答案为． 9．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有： ． ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查三角形全等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，根据是等边三角形，得出，根据，得出，，求出，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得，判断②；根据是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；由，，，可得，即可判断④． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故①正确； ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴，所以④错误． 故答案为：①②③． 10．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 三、解答题 11．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积． 解：（1）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【答案】【初步探索】，；【拓展延伸】见分析；【知识应用】或． 【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可证； 【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立； 【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可． 解：【初步探索】解：如下图所示，延长交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【拓展延伸】解：中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，交于点 ， 由【初步探索】可知， ，， 在中， ， ， ， ； 【知识应用】解:如下图所示，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在内，点在外时，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ， 又， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点拨】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【中考真题（12题）】 1．（2019·湖南益阳·中考真题）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 解：如图所示， AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故选B． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行． 【答案】北偏东50°（或东偏北40°） 【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里， ∴， ∴∠APB=90°， ∴， ∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行； 故答案为北偏东50°（或东偏北40°）． 【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 4．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$