第02讲 一定是直角三角形吗（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材北师大版

第02讲 一定是直角三角形吗（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 一定是直角三角形吗 在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。反过来，如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗? 【知识点1 勾股数】 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 【知识点2 勾股定理逆定理】 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 【题型1 勾股数问题】 【例1】据史书记载，中国的周朝时期，数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．这一定理最早被记载在如图所示的《周髀算经》中．我们把可以构成一个直角三角形三边的正整数称为勾股数，下列所给的几组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．7，24，25 D．，， 【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【变式1-2】下列各组数中为勾股数的是（    ） A．7，12，13 B． C．，， D．8，15，17 【变式1-3】杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【题型2 给出三边判断是否为直角三角形】 【例2】下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，1， B．，， C．6，12，13 D．，， 【变式2-1】下列是小明测量了4个直角三角形边长后的记录值，你认为正确无误的一组数据是（    ） A．5，3，6 B．8，8，10 C．5，11，12 D．20，15，25 【变式2-2】五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列四组数：；；；．能作为直角三角形三条边长度的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 给出三边关系判断是否为直角三角形】 【例3】已知，，是的三边长，且满足，． （1）试求，，的值； （2）判断的形状． 【变式3-1】在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【变式3-2】若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 【变式3-3】在中，，，，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 【题型4 在网格中判断直角三角形】 【例4】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【变式4-1】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【变式4-3】如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 【变式5-1】一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【变式5-3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 模块三 课后作业 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．9，40，41 2．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（   ） A．6，8，10 B．7，10，17 C．6，9，15 D．5，12，15 3．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 4．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出____个直角三角形． 5．判断以下面两组数为边长的三角形是不是直角三角形． （1），，． （2），，．（） 6．如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． （1）求四边形的面积； （2）求证：． 7．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 8．如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知． （1）试说明：为直角三角形； （2）求的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一定是直角三角形吗（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 一定是直角三角形吗 在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。反过来，如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗? 【知识点1 勾股数】 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 【知识点2 勾股定理逆定理】 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 【题型1 勾股数问题】 【例1】据史书记载，中国的周朝时期，数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．这一定理最早被记载在如图所示的《周髀算经》中．我们把可以构成一个直角三角形三边的正整数称为勾股数，下列所给的几组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．7，24，25 D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A、，均不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、 ，均不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，是勾股数，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 故选：B． 【变式1-2】下列各组数中为勾股数的是（    ） A．7，12，13 B． C．，， D．8，15，17 【答案】D 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、，，不是勾股数； B、，，但不满足三个数都是整数，不是勾股数； C、，，，都是小数，不是整数，不是勾股数； D、，且，是勾股数； 故选：D． 【变式1-3】杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】12， 35， 37 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满足勾股定理. 【详解】解：观察已知勾股数： 第①组：3，4，5 第②组：6，8，10 第③组：8，15，17 第④组：10，24，26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加，因此第⑤组第一个数为 ， 对从第②组开始的勾股数，设第一个数为，可得第二个数为，第三个数为，验证规律： 当，对应第②组，， ， ，符合， 当，对应第③组，， ， ，符合， 当，对应第④组，，， ，符合， 因此第⑤组对应，计算得： ， ， ， 验证：，满足勾股数定义． 故答案为：12， 35， 37． 【题型2 给出三边判断是否为直角三角形】 【例2】下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，1， B．，， C．6，12，13 D．，， 【答案】A 【分析】若三角形中，两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.、， ， ∴，1，能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、， ∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、， ∴6，12，13不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、，，， ， ∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】下列是小明测量了4个直角三角形边长后的记录值，你认为正确无误的一组数据是（    ） A．5，3，6 B．8，8，10 C．5，11，12 D．20，15，25 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断每组数据中较小两边的平方和是否等于最长边的平方，满足条件的即为正确的直角三角形边长数据． 【详解】解：对于选项A：最长边为6， ∵，，， ∴不能构成直角三角形，A错误； 对于选项B：最长边为10， ∵ ，， ， ∴不能构成直角三角形，B错误； 对于选项C：最长边为12， ∵，，， ∴不能构成直角三角形，C错误； 对于选项D：最长边为25， ∵，， ∴，能构成直角三角形，D正确． 故选：D． 【变式2-2】五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； B、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； C、，，故包含两个直角三角形，故符合题意； D、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】下列四组数：；；；．能作为直角三角形三条边长度的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，通过验证每组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，判断能否构成直角三角形，统计符合条件的组数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，第一组数能作为直角三角形三边长 ∵，， ∴第二组数不能作为直角三角形三边长 ∵，， ∴第三组数不能作为直角三角形三边长 ∵， ∴，第四组数能作为直角三角形三边长 综上，符合条件的有2组， 故选：B． 【题型3 给出三边关系判断是否为直角三角形】 【例3】已知，，是的三边长，且满足，． （1）试求，，的值； （2）判断的形状． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，进而求解； （2）根据勾股定理的逆定理进行解题即可． 【详解】（1）解：设，则，，， 由，得： ， 解得：， ∴，，； （2）解：∵，即， ∴是直角三角形． 【变式3-1】在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 故答案为：． 【变式3-2】若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 【答案】84 【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为和， ∴的面积． 故答案为：84． 【变式3-3】在中，，，，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】设比例参数表示出三边长，结合已知等式求出参数，再用勾股定理逆定理判断三角形形状，最后计算面积即可． 【详解】解：设，则， ， ， 解得， ， 在中，，则是直角三角形，直角边， ． 【题型4 在网格中判断直角三角形】 【例4】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【变式4-1】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 【变式4-3】如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】 【例5】如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 【分析】在直角中，利用勾股定理计算出，再根据可判定，因此． 【详解】证明：在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴ ∴是以为斜边的直角三角形，， ∴， ∴． 【变式5-1】一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 故选：D． 【变式5-2】如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 【变式5-3】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 故选：B． 模块三 课后作业 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．9，40，41 【答案】D 【分析】勾股数的定义为：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，称为勾股数. 根据定义逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数均为小数，因此不是勾股数； 对其余选项从小到大排序后验证： B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，故选项C的三个数不是勾股数； D、，且三个数均为正整数，故选项D的三个数是勾股数． 故选：D． 2．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（   ） A．6，8，10 B．7，10，17 C．6，9，15 D．5，12，15 【答案】A 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：A选项，，，，能构成直角三角形，符合题意； B选项，，不能构成三角形，不符合题意； C选项，，不能构成三角形，不符合题意； D选项，，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 3．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 故选：D． 4．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出____个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合． 【详解】解：，，，， ，，，， ，， ∴能构成三角形的组合为，，， ，，，， ， ∵，， ，， ，， ，， ∴能构成直角三角形的组合为，， ∴一共能拼出2个直角三角形， 故答案为：2． 5．判断以下面两组数为边长的三角形是不是直角三角形． （1），，． （2），，．（） 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可． （2）根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可． 【详解】（1）解：由于，因此， ∵， ∴， 故最长边为：．最长边的平方为， ， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴最长边，最长边的平方为： ， ∴， ∴是直角三角形． 6．如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． （1）求四边形的面积； （2）求证：． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 7．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 8．如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知． （1）试说明：为直角三角形； （2）求的值． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解： ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $