专题 1.1 探索勾股定理（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 1.1 探索勾股定理 目录 一知识梳理 1 （一）勾股定理 1 （二）勾股定理的证明 2 （三）勾股定理的应用 3 二 知识体系思维导图 3 三 题型分类精析 3 【题型 1】用勾股定理解三角形 3 【题型 2】以直角三角形三边为边长的图形面积计算 6 【题型 3】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8 【题型 4】勾股定理的证明方法 11 【题型 5】利用勾股定理证明线段平方关系 14 【题型 6】以弦图为背景的计算题 17 【题型 7】用勾股定理构造图形解决问题 21 【题型 8】求旗杆高度（勾股定理的应用） 23 【题型 9】求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 25 【题型 10】求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 27 四同步练习 29 【基础巩固（12题）】 29 【能力提升（12题）】 37 【中考真题（7题）】 48 一.知识梳理 （一）勾股定理 1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 数学语言：如图1，在，，则有或 图1 2. 勾股定理的意义： （1）揭示数量关系：勾股定理清晰地揭示了直角三角形三边之间特定的数量关系 ，将直角三角形的 “形”（直角三角形的形状特征）与三边的 “数”（边长的数值关系）紧密结合，体现了数形结合思想。 （2）方程思想运用：在实际解题中，当设定一条直角边长为未知数后，依据题目给定的已知线段长度，能够建立方程求解。 （二）勾股定理的证明 证法（1）：我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图2，在中，，若，请你利用这个图形说明． 证法1：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴， 即． 【点拨】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系． 证法2：如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到 ，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 证明：根据题意可知， ， 由题意得：， ， 整理得：． （三）勾股定理的应用 （1） 结合或构造直角三角形进行求值证明； （2） 建立模型解决实际问题. 2． 知识体系思维导图 三．题型分类精析 1.勾股定理的基础计算与图形面积问题 【题型 1】：用勾股定理解三角形 【例题1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由于点，，得，而，，可根据“”证明，得，，推导出，再证明，则； （2）由，，，勾股定理求得，，则，由勾股定理得，即可求解． 解：（1）证明：于点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2） 解：，，， DE=8，， ， ， ， 解得： 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【答案】的长为3.75尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长度为x尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设的长为尺，在中，尺，， 由勾股定理得，， 即， 解得． 答：的长为3.75尺． 【变式2】（23-24八年级上·广东河源·期中）在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 【题型 2】：以直角三角形三边为边长的图形面积计算 【例题2】（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：25 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方； 连接，构造直角三角形，利用勾股定理即可进行解答． 解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，，再根据，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 解：如图： 根据勾股定理的几何意义可得： ，， ∴， 即正方形E的面积是， 故选：B． 【题型 3】：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例题3】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． （1）求证：. （2）若，，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 解：（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【变式1】（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 2.勾股定理的证明与线段关系推理 【题型 4】：勾股定理的证明方法 【例题4】（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【答案】见分析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．利用两种不同的方法表示出四边形的面积，化简整理即可得到勾股定理表达式． 解：证明：如图，连接，由题意，得，， ， ， 化简得． 【变式1】（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 解：证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 【题型 5】：利用勾股定理证明线段平方关系 【例题5】（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； （2）根据图③证明你猜想的结论是正确的． （3）若， 则的面积是 ． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 解：（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得, ∴AD=12 ∴． 故答案为：24． 【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 解：∵，即， ∴． 故选B． 【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点． （1）试判断与的大小关系，并说明理由； （2）试说明三者之间的关系． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 解：（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 【题型 6】：以弦图为背景的计算题 【例题6】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为． （1）请你用这个图形验证一下勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式在几何图形的应用，熟练对完全平方公式变形是解题的关键． （1）根据“4个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积”列式，整理即可； （2）求出和的值，根据完全平方公式即可求得的值，即可解题． 解：（1）解：∵小正方形的边长为，大正方形边长为c， ∴大正方形的面积， ∴； （2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A．28 B．25 C．30 D．24 【答案】A 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，然后，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 解：如图所示，设，交于点M ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b，根据正方形面积计算公式可得，则可得到，，进而得到，再根据正方形面积计算公式求解即可． 解：设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b， ∵图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型 7】：用勾股定理构造图形解决问题 【例题7】（24-25七年级上·山东烟台·期中）某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 【答案】5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 解：过点C作，垂足为点E， 则， 由题意得：米，米，米 则， 在中，由勾股定理得： ,即， 解得米． 答：该生头顶C到门铃A的距离为5米． 【变式1】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺， 根据勾股定理可得：． 故答案为：． 2.勾股定理的实际应用场景 【题型 8】：求旗杆高度（勾股定理的应用） 【例题8】（24-25八年级下·福建厦门·期中）八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米． 在中， 根据勾股定理得． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 【变式1】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处（打结处忽略不计）．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 【变式2】（2025·安徽淮南·二模）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m． 【答案】3.25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两个直角边分别为a、b，斜边为c，那么，本题设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：由题意可知，，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 故答案为：3.25． 【题型 9】：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【例题9】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 【变式1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 解：如图， 根据题意得：， AC=13 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 【变式2】如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 【题型 10】：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【例题10】（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 【变式1】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：C ． 变式2（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据题意设，则，利用勾股定理列式计算即可得到本题答案． 解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处， ∴， ∵旗杆原长， ∴， ∴设，则， ∴，解得：， ∴旗杆在离底部的位置断裂， 故答案为：． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求解即可． 解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 设斜边长为．根据勾股定理： ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（    ） A．8 B．14 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得：，解得即可． 解：根据勾股定理得：， ∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6， ∴， ∴正方形D的面积是20． 故选：C 3．（24-25八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积为：， 故选B． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解． 解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 解：设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 7．（20-21八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【答案】36 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 解：在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 8．（19-20八年级上·江苏南京·期中）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为 m． 【答案】10 【分析】设绳子的长度为xm，则AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，再利用勾股定理得到即，解方程即可． 解：设绳子的长度为xm，则AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m， 在Rt△ABC中， ∴， 解得， 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够根据题意构造直角三角形进行求解． 9．（24-25八年级下·北京东城·期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出的长，再在中，利用勾股定理建立方程即可得． 解：由题意得：尺，尺，， 在中，由勾股定理得：，即， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故答案为：3． 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． （1）求证：，． （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】（1）详见分析；（2），详见分析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 解：（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”大意：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩（1亩240平方步）．请帮他算一算，该田有（  ） A．1.5亩 B．2亩 C．2.5亩 D．3亩 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设长方形田的宽为步，对角线为步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并转换为亩数即可. 解：设宽为步，则对角线为步， 由勾股定理，得：； 解得： ∴面积为平方步，亩； 故选：B. 2．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图是一个由4张直角三角形纸片和1张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间无缝隙且不重叠，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出，，之间的关系，属于中考常考题型． 设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，求出用、表示，得出，，之间的关系，由此即可解决问题． 解：设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为， 则， ， ， 平行四边形面积． 故选：B． 3．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 4．（24-25八年级下·广西河池·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答． 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为12米， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 7．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称和垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 在上取一点，使得，由，推出，推出，推出当，且、、共线时，的值最小，利用面积法求出即可． 解：在上取一点，使得， ， ， ， ， ∴当，且、、共线时，的值最小， ∵平分， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（20-21八年级下·天津·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 【答案】9π． 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题． 解：∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×， ∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3， ∵S3＝9π， ∴S1+S2＝9π， 故答案为：9π． 【点拨】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 10．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，点在射线上，且，则 ． 【答案】90 【分析】设，则，根据题意可得，求得，根据勾股定理计算即可； 解：∵， 设，则， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案是90． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 三、解答题 11．（2017·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，可得，根据求出，于是得到结论； （2）连接，设，则，，根据勾股定理得出，列出方程即可得到结论． 解：（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 12．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． （1）若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； （2）若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【答案】（1）不是；（2）5或13 【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键． （1）结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得出答案； （2）点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是； （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13． 【中考真题（7题）】 1．（2021·山东滨州·中考真题）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．2.4 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长． 解：作CD⊥AB于点D，如右图所示， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∵， ∴， 解得CD=2.4， 故选：D． 【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 2．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， OD=1.2m ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴ 故答案为：． 5．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长． 解：， ， 点D为的中点， ， 又， ， ， 中，，， BC=3， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键． 6．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，AC=10， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.1 探索勾股定理 目录 一知识梳理 1 （一）勾股定理 1 （二）勾股定理的证明 2 （三）勾股定理的应用 3 二知识体系思维导图 3 三题型分类精析 3 题型 1用勾股定理解三角形 3 题型 2以直角三角形三边为边长的图形面积计算 4 题型 3利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5 题型 4勾股定理的证明方法 6 题型 5利用勾股定理证明线段平方关系 7 题型 6以弦图为背景的计算题 8 题型 7用勾股定理构造图形解决问题 9 题型 8求旗杆高度（勾股定理的应用） 10 题型 9求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 11 题型 10求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 12 四同步练习 13 【基础巩固（12题）】 13 【能力提升（12题）】 16 【中考真题（7题）】 20 一.知识梳理 （一）勾股定理 1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 数学语言：如图1，在，，则有或 图1 2. 勾股定理的意义： （1）揭示数量关系：勾股定理清晰地揭示了直角三角形三边之间特定的数量关系 ，将直角三角形的 “形”（直角三角形的形状特征）与三边的 “数”（边长的数值关系）紧密结合，体现了数形结合思想。 （2）方程思想运用：在实际解题中，当设定一条直角边长为未知数后，依据题目给定的已知线段长度，能够建立方程求解。 （二）勾股定理的证明 证法（1）：我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图2，在中，，若，请你利用这个图形说明． 证法1：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴， 即． 【点拨】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系． 证法2：如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 证明：根据题意可知， ， 由题意得：， ， 整理得：． （三）勾股定理的应用 （1） 结合或构造直角三角形进行求值证明； （2） 建立模型解决实际问题. 2． 知识体系思维导图 三．题型分类精析 1.勾股定理的基础计算与图形面积问题 【题型 1】：用勾股定理解三角形 【例题1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【变式2】（23-24八年级上·广东河源·期中）在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【题型 2】：以直角三角形三边为边长的图形面积计算 【例题2】（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 【题型 3】：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例题3】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． （1）求证：. （2）若，，，直接写出线段的长． 【变式1】（21-22八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 2.勾股定理的证明与线段关系推理 【题型 4】：勾股定理的证明方法 【例题4】（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【变式1】（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【题型 5】：利用勾股定理证明线段平方关系 【例题5】（24-25八年级上·江苏常州·期中）在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； （2）根据图③证明你猜想的结论是正确的． （3）若， 则的面积是 ． 【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点． （1）试判断与的大小关系，并说明理由； （2）试说明三者之间的关系． 【题型 6】：以弦图为背景的计算题 【例题6】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为． （1）请你用这个图形验证一下勾股定理； （2）如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A．28 B．25 C．30 D．24 【变式2】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为 ． 【题型 7】：用勾股定理构造图形解决问题 【例题7】（24-25七年级上·山东烟台·期中）某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 【变式1】（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿不知其长短．横放，竿比门宽出4尺，竖放，竿比门长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线的长各是多少？设竿长为x尺，依据题意可列方程 ． 2.勾股定理的实际应用场景 【题型 8】：求旗杆高度（勾股定理的应用） 【例题8】（24-25八年级下·福建厦门·期中）八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【变式1】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处（打结处忽略不计）．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【变式2】（2025·安徽淮南·二模）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m． 【题型 9】：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【例题9】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【变式1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【题型 10】：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【例题10】（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【变式1】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 变式2（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．以上都不对 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（    ） A．8 B．14 C．20 D．25 3．（24-25八年级下·湖北·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15．5 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 二、填空题 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为 ． 7．（20-21八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 8．（19-20八年级上·江苏南京·期中）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为 m． 9．（24-25八年级下·北京东城·期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 12．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． （1）求证：，． （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”大意：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩（1亩240平方步）．请帮他算一算，该田有（  ） A．1.5亩 B．2亩 C．2.5亩 D．3亩 2．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图是一个由4张直角三角形纸片和1张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间无缝隙且不重叠，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西河池·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 二、填空题 6．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 7．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 8．（20-21八年级下·天津·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 10．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，点在射线上，且，则 ． 三、解答题 11．（2017·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 12．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． （1）若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； （2）若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【中考真题（7题）】 1．（2021·山东滨州·中考真题）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．2.4 2．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 5．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．    6．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 7．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$