精品解析：广东省深圳市深圳高级中学（集团）2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

广东省深圳市深圳高级中学（集团）2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，直线经过点．当时，的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在正六边形中，分别是边的中点，连接，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式x3﹣xy2的结果是___． 10. 定义一种新运算：，若，则______． 11. 如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是_____． 12. 如图，在四边形中对角线，E、F分别是的中点．若，，则________． 13. 如图，在中，将绕边的中点逆时针旋转得到，顶点落在边，边交边于点，连接，则的面积为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分） 14. 解不等式组，把它的解集表示在数轴上． 15. 下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 （1）小华的化简过程从第______步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 16. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）平移，点的对应点的坐标为，作出平移后对应的； （2）将绕点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）若上述通过旋转可得到，则旋转中心的坐标为______． 17. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 18. 下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设．．．．．．，等量关系：甲图书数量＝乙图书数量 解法二 设．．．．．．，等量关系：甲图书单价图书单价 （1）解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． （3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元？ 19. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为． （1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________； （2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式； （3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”． ①若为整数，求点的坐标； ②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 20. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市深圳高级中学（集团）2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握点在平移过程中的规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，是解题的关键． 先由平移后的坐标为得到平移的过程为：向右平移了2个单位长度，向上平移了3个单位长度，从而即可得到的坐标． 【详解】解：∵平移后的坐标为， ∴线段的平移过程为：向右平移了2个单位长度，向上平移了3个单位长度， ∴点的坐标为，即， 故选：D． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据题意得到，推出，进而得到，再结合，求出即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，直线经过点．当时，的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，利用图象法进行求解，判断即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴直线经过点， ∵直线经过点， ∴点为直线和直线的交点， 由图象可知：当时，的取值范围为； 故选C． 6. 如图，在正六边形中，分别是边的中点，连接，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点B作，设正六边形的边长为a，求出，由等腰三角形的性质得到，由分别是边的中点得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点B作，设正六边形的边长为a， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴，, 在正六边形中，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵分别是边的中点， ∴ ∴ 故选：A 【点睛】此题考查了正多边形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，求出的长度是关键． 7. 已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程的知识，首先解分式方程，得到，根据解为非负数以及，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 移项，得 ， 两边同时乘以，得 ， 解得 ， 根据题意，为非负数，即，解得 ， 又因为，即， 将其代入，得，解得， 所以，需同时满足且． 故选：D． 8. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即之间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度随的长度的变化规律如图2所示，则图2中从点到点，千斤顶下降的高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键．连接交于点O，由图象可知，当时，，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当时的长，即可得出a的值． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，，， 由图象可知，当时，， 此时，， ， 当时，， ， ， ． 则 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式x3﹣xy2的结果是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 解：． 故答案为：x(x+y)(x-y) 10. 定义一种新运算：，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 11. 如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，根据题意可得，，由菱形的性质可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点D在y轴的正半轴上， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中对角线，E、F分别是的中点．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：取的中点，连接、，如图所示： 、分别是、的中点， ，，，， ∵， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，将绕边的中点逆时针旋转得到，顶点落在边，边交边于点，连接，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，旋转的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，根据旋转的性质，矩形的判定得到平行四边形是矩形，根据，，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵点是中点， ∴ ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴点是中点， ∴， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分） 14. 解不等式组，把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解答即可． 本题考查了不等式组解集的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 15. 下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 （1）小华的化简过程从第______步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）二 （2），7 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，即可得出结果； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， 当时，原式． 16. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）平移，点的对应点的坐标为，作出平移后对应的； （2）将绕点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）若上述通过旋转可得到，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 如下图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查画平移图形，画旋转后图形，确定旋转中心位置等． （1）根据题意先将三点坐标列出，再根据的坐标为，利用平移性质得出坐标，并在图中找出点坐标连接继而得到图形； （2）先将逆时针旋转后线段画出，再将逆时针旋转后线段画出，连接即可； （3）依次连接和中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：由图可知，， ∵点的坐标为， ， 将依次连接 【小问2详解】 解：先将逆时针旋转后线段画出，再将逆时针旋转后线段画出，连接即可 【小问3详解】 解：依次连接和中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点即为旋转中心，如下图所示： ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 17. 老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 【答案】（1） 解：小亮的作法正确，理由如下： 连接， 由题意可得：， ∴四边形是菱形， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据作图可证明四边形是菱形，则； （2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P到直线的距离为， 则， ∴， ∴点P到直线的距离为． 18. 下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设．．．．．．，等量关系：甲图书数量＝乙图书数量 解法二 设．．．．．．，等量关系：甲图书单价图书单价 （1）解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． （3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元？ 【答案】（1）①；③ （2） 解法一：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； 解法二：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； （3）购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出不等式和函数解析式是解题关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别选择两个方程求解即可得到答案； （3）设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本，根据题意列出不等式确定，再由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：解法一所列方程中的表示甲种图书的单价，解法二所列方程中的表示甲种图书购买的数量． 故答案为：①；③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本， 根据题意得， 解得 设总获利为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最大为775元， 此时， 答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元． 19. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为． （1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________； （2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式； （3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”． ①若为整数，求点的坐标； ②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）①点的坐标为；点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义可得点的“友谊直线”的解析式为，再根据A、B坐标可得直线的解析式为，则直线的“友谊点”的坐标为． （2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可； （3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为． ②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的“友谊点”的坐标为． 【小问2详解】 解：将代入，得，解得， ∴直线解析式为， 根据定义，的“友谊点”的坐标为， ∵两点关于轴对称， ∴点的坐标为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：①∵直线不经过第二象限， ∴， 解得， 又∵为整数， ∴的值为2， 根据题意，直线的“友谊点”的坐标为， ∴点的坐标为． ②当时，， ∴点的坐标为， 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∵直线不经过第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 20. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①2；② 【解析】 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，易证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可； ②构造平行四边形，可得，易证，可得，过K作于点K，且，证，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】（1）如图， 由题可知垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）； 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴，，， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接，． ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点D， ∴D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴根据勾股定理，， 在中，， ∴根据勾股定理，， 又∵， ∴， 解得， 答：的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， 由（2）中方法可证， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $