山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期末学科素养水平检测考试数学试题

数学试题 第　 页（共 ４ 页） 临沂市 ２０２３ 级普通高中学科素养水平检测考试 数　 学 ２０２５．７ 注意事项： １．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 ２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。 写在本试卷上无效。 ３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 １． 若集合 Ａ＝｛ｘ∈Ｚ ｜ ２ｘ－１＞０｝，Ｂ＝｛ｘ ｜ ｘ２－ｘ－６＜０｝，则 Ａ∩Ｂ＝ Ａ． ｛－２，－１，０，１，２，３｝　 　 Ｂ． ｛－１，０，１，２｝　 　 　 Ｃ． ｛０，１，２｝　 　 　 　 Ｄ． ｛１，２｝ ２． 设命题 ｐ：∃ｘ＜０，使得 ｅｘ＋ｘ＞０，则¬ ｐ 为 Ａ． ∃ｘ＜０，使得 ｅｘ＋ｘ≤０ Ｂ． ∃ｘ≥０，使得 ｅｘ＋ｘ＞０ Ｃ． ∀ｘ＜０，都有 ｅｘ＋ｘ≤０ Ｄ． ∀ｘ≥０，都有 ｅｘ＋ｘ＞０ ３． 函数 ｙ＝ ３ｘ 与 ｙ＝ －（ １ ３ ） ｘ 的图象 Ａ． 关于 ｘ 轴对称 Ｂ． 关于 ｙ 轴对称 Ｃ． 关于原点对称 Ｄ． 关于直线 ｙ＝ ｘ 对称 ４． 已知 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 四个同学站成一排，要求 Ａ 和 Ｂ 不相邻，Ｃ 不站两端，则不同排法的种 数是 Ａ． ８ Ｂ． １０ Ｃ． １２ Ｄ． １６ ５． 已知 Ｐ（μ－σ≤Ｘ≤μ＋σ）＝ ０．６８２７，Ｐ（μ－２σ≤Ｘ≤μ＋２σ）＝ ０．９５４５，Ｐ（μ－３σ≤Ｘ≤μ＋３σ）＝ ０．９９７３．某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量 Ｙ（单位：克）服从正态分布 Ｎ（６００，４２）， 从这一批篮球中随机抽检 ３００ 个，则被抽检的篮球的质量不小于 ５９６ 克的个数约为 Ａ． ２８６ Ｂ． ２９３ Ｃ． ２５２ Ｄ． ２４６ １ 数学试题 第　 页（共 ４ 页） ６． （ １ ｘ２ －２）（１＋ｘ） ５ 的展开式中的常数项是 Ａ． １２ Ｂ． ８ Ｃ． －８ Ｄ． －１２ ７． 已知离散型随机变量 Ｘ 的分布列如下，若 Ｅ（１２Ｘ）＝ ７，则 Ｄ（２Ｘ＋３）＝ Ｘ －１ ０ ａ ２ Ｐ １ ６ ｂ １ ４ １ ４ Ａ． １５５ ３６ Ｂ． １５５ ７２ Ｃ． １５５ １４４ Ｄ． ４９ １４４ ８． 已知 ａ＝（ ３ ２ ） ２ ３ ，ｂ＝（ ４ ３ ） ３ ４ ，ｃ＝ ２ ，则 Ａ． ｃ＜ｂ＜ａ Ｂ． ｃ＜ａ＜ｂ Ｃ． ｂ＜ｃ＜ａ Ｄ． ｂ＜ａ＜ｃ 二、选择题：本题共 ３ 小题，每小题 ６ 分，共 １８ 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。 全部选对的得 ６ 分，部分选对的得部分分，有选错的得 ０ 分。 ９． 下列命题中正确的是 Ａ． 若 Ｘ～Ｂ（８， １ ２ ），则 Ｄ（Ｘ）＝ ４ Ｂ． 经验回归方程为 ｙ^＝ ０．３－０．７ｘ 时，变量 ｘ 和 ｙ 负相关 Ｃ． 已知 Ｘ～Ｎ（μ，σ２），若 Ｐ（２＜Ｘ＜６）＝ ０．６，Ｐ（Ｘ≥６）＝ ０．２，则 μ＝ ４ Ｄ． 在相关关系中，若用 ｙ１ ＝ ｂｘ＋ａ 拟合时的决定系数为 Ｒ２１，用 ｙ２ ＝ ｃ１ｅｃ２ｘ拟合时的决定系数 为 Ｒ２２，且 Ｒ２１＜Ｒ２２，则 ｙ１ 的拟合效果好 １０． 若 ａｂ＞０，ａ＋２ｂ＝ ４，则 Ａ． ａｂ≤２ Ｂ． ａ２＋４ｂ２≥８ Ｃ． １ ａ ＋ ２ ｂ 的最小值为 ３ ２ Ｄ． ａ ２ ａ＋１ ＋ ４ｂ ２ ２ｂ＋１ 的最小值为 ８ ３ １１． 反函数是数学中的一个概念，具体来说，如果存在函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ），其定义域为 Ｄ，值域为 Ｃ，那么对于值域 Ｃ 中的任意一个 ｙ 值，在定义域 Ｄ 中都有唯一的一个 ｘ 值与之对应， 使得 ｇ（ｙ）＝ ｘ，这个函数 ｘ＝ｇ（ｙ）就是函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）的反函数，通常表示为 ｆ－１（ｘ） ．已知函 数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（ｘ＋ ｘ２＋１ ），ｈ（ｘ）＝ ａｘ，则 Ａ． ｆ－１（ｘ）＝ １ ２ （ｅｘ－ｅ－ｘ） Ｂ． 若 ｈ（ｘ）≥ｈ－１（ｘ），则 １＜ａ≤ｅ １ ｅ Ｃ． 当 ａ＞１ 时，函数 ｈ－１（ｘ）与 ｈ（ｘ）的图象最多有 ２ 个公共点 Ｄ． 对于∀ｘ１，ｘ２∈Ｒ，若 ｘ１＜ｘ２，则存在唯一的 ｘ０∈（ｘ１，ｘ２），使 ｈ′（ｘ０）＝ ｈ（ｘ２）－ｈ（ｘ１） ｘ２－ｘ１ ２ 数学试题 第　 页（共 ４ 页） 三、填空题：本题共 ３ 小题，每小题 ５ 分，共 １５ 分。 １２． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ（ｘ－ｃ） ２在 ｘ＝ ２ 处有极大值，则 ｃ 的值为　 　 　 　 ． １３． 某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产 ７ｎｍ 规格的芯片，现有 ２０００ 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 １２００ 块，８００ 块，且乙生产该芯片的次品率为 １ ２０ ，现从这 ２０００ 块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为 ０．０８，则甲厂生产该芯片的次品 率为　 　 　 　 ． １４． 设集合 Ａ 中的元素皆为无重复数字的两位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则 集合中元素个数的最大值为　 　 　 　 ． 四、解答题：本题共 ５ 小题，共 ７７ 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 １５．（１３ 分） 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各 １００ 名学生进行安全知识测试，根据 ２００ 名同学的测试成绩得知，该校有 ８５％的同学成绩超过 ９０ 分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过 ９０ 分的人数 得分超过 ９０ 分的人数 男生 １０ λ 女生 ｔ μ 　 　 （１）求 λ，μ，ｔ； （２）根据小概率值 α＝ ０．０１ 的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的 程度与性别有关？ 附：χ２ ＝ ｎ（ａｄ －ｂｃ） ２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） ， Ｐ（χ２≥ｋ） ０．０５０ ０．０１０ ０．００５ ｋ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９ １６．（１５ 分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ２（４ｘ＋１）＋（ｋ－２）ｘ 是偶函数． （１）求 ｋ； （２）设 ｇ（ｘ）＝ ｌｏｇ２（ａ·２ｘ －１＋ ２ ３ ａ）（ａ∈Ｒ），若函数 ｙ＝ ｆ（ｘ） －ｇ（ｘ）有且只有一个零点，求 ａ 的取值范围． ３ 数学试题 第　 页（共 ４ 页） １７．（１５ 分） 我国新能源汽车迅速崛起，正以颠覆性技术重塑传统交通的格局，成为推动绿色革命 的核心引擎．某品牌新能源汽车统计了 ２０２５ 年前 ５ 个月的月销量 ｙ（单位：万辆）与月份 ｔ 之间的关系，得到如下数据： 月份 ｔ １ ２ ３ ４ ５ 月销量 ｙ（单位：万辆） ２．８９ ３．２２ ３．８２ ４．３４ ５．４１ 　 　 （１）根据上述数据可知 ｙ 与 ｔ 线性相关，试求出 ｙ 关于 ｔ 的经验回归方程，并预测该品 牌新能源汽车 ２０２５ 年 ６ 月份的销量； （２）为刺激消费，Ａ 省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源车，发放 ８０００ 元补贴． 若 Ａ 省甲、乙两人近期购买该新能源汽车的概率分别为 ｐ２，２ｐ－１，其中 １ ２ ＜ｐ＜１，求该省对 甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围． 参考公式：经验回归方程为 ｙ^＝ ｂ^ｔ＋ａ^， 其中 ｂ^＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ ｔｉ－ｔ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ ｔｉ－ｔ） ２ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｔｉｙｉ－ｎ ｔ — ｙ — ∑ ｎ ｉ＝１ ｔ２ｉ －ｎ ｔ２ ，ａ^＝ ｙ－ｂ^ ｔ． 参考数据：∑ ５ ｉ＝１ ｔ２ｉ ＝ ５５，∑ ５ ｉ＝１ ｔｉｙｉ ＝ ６５．２． １８．（１７ 分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ＋ａｘ２＋ｘ，ａ∈Ｒ． （１）当 ａ＝ －１ 时，求 ｆ（ｘ）在（１， ｆ（１））处的切线方程； （２）当 ｆ（ｘ）的最大值为 ０ 时，求 ａ； （３）当 ａ＝ １ 时，正实数 ｘ１，ｘ２ 满足 ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋ｘ１ｘ２ ＝ ０，证明：ｘ１＋ｘ２≥ ５－１ ２ ． １９．（１７ 分） 某选手参加一项人工智能机器人 ＰＫ 比赛，规则如下：该选手的初始分为 ２０ 分，每局比 赛，该选手胜加 １０ 分；平局不得分；负减 １０ 分．当选手总分为 ０ 分时，挑战失败，比赛终止； 当选手总分为 ３０ 分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的 概率分别为 １ ２ 、 １ ４ 、 １ ４ ，且各局比赛相互独立． （１）求两局后比赛终止的概率； （２）在 ３ 局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （３）在挑战过程中，选手每胜 １ 局，获奖 ５ 千元．记 ｎ（ｎ≥１０）局后比赛终止且选手获奖 １ 万元的概率为 Ｐ（ｎ），求 Ｐ（ｎ）的最大值． ４ 数学试题答案 第　 页（共 ５ 页） 临沂市 ２０２３ 级普通高中学科素养水平检测考试 数学试题参考答案及评分标准 ２０２５．７ 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分． 二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 １． Ｄ　 ２． Ｃ　 ３． Ｃ　 ４． Ａ　 ５． Ｃ　 ６． Ｂ　 ７． Ａ　 ８． Ｄ 二、选择题：本题共 ３ 小题，每小题 ６ 分，共 １８ 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。 全部选对的得 ６ 分，部分选对的得部分分，有选错的得 ０ 分。 ９． ＢＣ　 １０． ＡＢＤ　 １１． ＡＣＤ 三、填空题：本题共 ３ 小题，每小题 ５ 分，共 １５ 分。 １２． ６　 １３． １ １０ 　 １４． ４２ 四、解答题：本题共 ５ 小题，共 ７７ 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 １５．（１３ 分） 解：（１）由已知得，该校有 ８５％的同学成绩超过 ９０ 分， ∴ λ＋μ＝ ２００×８５％ ＝ １７０， １ 分……………………………………………………………… 又∵ 男女生各 １００ 人， ∴ λ＝ １００－１０＝ ９０，μ＝ １７０－９０＝ ８０，ｔ＝ １００－８０＝ ２０， ５ 分………………………………… （２）零假设为 Ｈ０：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关． ８ 分…………… 根据列联表可得：χ２ ＝ ２００ ×（１０×８０－２０×９０） ２ １００×１００×３０×１７０ ＝ ２００ ５１ ≈３．９２＜６．６３５， １１ 分……………… 根据小概率值 α＝ ０．０１ 的独立性检验，没有充分证据推断 Ｈ０ 不成立， １２ 分………… 因此可以认为 Ｈ０ 成立，即认为该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关． １３ 分 … ………………………………………………………………………………………… １ 数学试题答案 第　 页（共 ５ 页） 　 １６．（１５ 分） 解：（１）∵ ｆ（ｘ）是偶函数，∴ ｆ（－ｘ）＝ ｆ（ｘ）， １ 分…………………………………………… ∴ ｌｏｇ２（４ －ｘ＋１）－（ｋ－２）ｘ＝ ｌｏｇ２（４ｘ＋１）＋（ｋ－２）ｘ， ３ 分…………………………………… ∴ ２ｘ＋（２ｋ－４）ｘ＝ ０． ５ 分…………………………………………………………………… ∵ 此式对于一切 ｘ∈Ｒ 恒成立，∴ ｋ＝ １． ６ 分……………………………………………… （２）函数 ｙ＝ ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）有唯一的零点，等价于方程 ｆ（ｘ）＝ ｇ（ｘ）有唯一的实数解，等价 于方程 ４ｘ＋１＝（ａ·２ｘ－１＋ ２ ３ ａ）·２ｘ 有唯一实数解，且 ａ＞０， ７ 分……………………………… 令 ｔ＝ ２ｘ，则此问题等价于方程（ ａ ２ －１）·ｔ２＋ ２ ３ ａｔ－１＝ ０ 只有一个正实根，且 ａ＞０． ８ 分 …… ………………………………………………………………………………………… 当 ａ－２＝ ０，即 ａ＝ ２ 时，则 ｔ＝ ３ ４ 成立； ９ 分……………………………………………… 当 ａ－２≠０，即 ａ≠２ 时，①若 Δ＝ ４ ９ ａ２＋４（ ａ ２ －１）＝ ０，即 ａ＝ ３ ２ 或 ａ＝ －６， １０ 分………… 当 ａ＝ ３ ２ 时，代入方程得 ｔ＝ ２ 成立；当 ａ＝ －６ 时，得 ｔ＝ － １ ２ ，不符合题意； １２ 分……… ②若方程有一个正根和一个负根，即 －１ ａ ２ －１ ＜０，即 ａ＞２，符合题意． １４ 分……………… 综上所述，实数 ａ 的取值范围是 ３ ２{ }∪［２，＋¥） ． １５ 分………………………………… １７．（１５ 分） 解：（１）由题意得 ｙ＝ ∑ ５ ｉ＝１ ｙｉ ５ ＝ １９．６８ ５ ＝ ３．９３６，ｔ＝ １ ＋２＋３＋４＋５ ５ ＝ ３， ２ 分……………………… ∑ ５ ｉ＝１ ｔ２ｉ ＝ ５５，所以 ｂ^＝ ∑ ５ ｉ＝１ （ ｔｉ－ｔ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ５ ｉ＝１ （ ｔｉ－ｔ） ２ ＝ ∑ ５ ｉ＝１ ｔｉｙｉ－５ ｔ — ｙ — ∑ ５ ｉ＝１ ｔ２ｉ －５ｔ２ ＝ ６５．２－５９．０４ ５５－４５ ＝ ０．６１６， ４ 分…………… 则 ａ^＝ ｙ－ｂ^ ｔ＝ ３．９３６－０．６１６×３＝ ２．０８８， ５ 分………………………………………………… 所以 ｙ 关于 ｔ 的经验回归方程为 ｙ ＾ ＝ ０．６１６ｔ＋２．０８８． ６ 分………………………………… 故可预测该品牌汽车 ２０２５ 年 ６ 月份的销量为 ｙ^＝ ０．６１６×６＋２．０８８＝ ５．７８４（万辆） ． ７ 分 …… ………………………………………………………………………………………… （２）设甲、乙两人中选择购买该品牌新能源汽车的人数为 Ｘ， 则 Ｘ 的所有可能取值为 ０，１，２， ８ 分……………………………………………………… ２ 数学试题答案 第　 页（共 ５ 页） Ｐ（Ｘ＝ ０）＝ （１－ｐ２）（２－２ｐ）＝ ２ｐ３－２ｐ２－２ｐ＋２， ９ 分………………………………………… Ｐ（Ｘ＝ １）＝ ｐ２（２－２ｐ）＋（１－ｐ２）（２ｐ－１）＝ －４ｐ３＋３ｐ２＋２ｐ－１， １０ 分………………………… Ｐ（Ｘ＝ ２）＝ ｐ２（２ｐ－１）＝ ２ｐ３－ｐ２， １１ 分……………………………………………………… 所以 Ｅ（Ｘ）＝ ０＋１×（－４ｐ３＋３ｐ２＋２ｐ－１）＋２×（２ｐ３－ｐ２）＝ ｐ２＋２ｐ－１， １３ 分………………… 所以 Ｅ（８０００Ｘ）＝ ８０００（ｐ２＋２ｐ－１），又 １ ２ ＜ｐ＜１， １４ 分…………………………………… 所以 ２０００＜Ｅ（８０００Ｘ）＜１６０００， 故 Ａ 省对甲、乙两人购买该新能源汽车的补贴总金额期望值的取值范围为（２０００， １６０００） ． １５ 分…………………………………………………………………………………… １８．（１７ 分） 解：（１）当 ａ＝ －１ 时， ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ－ｘ２＋ｘ，则 ｆ（１）＝ ０，∴ 切点为（１，０）， １ 分……………… 又 ｆ ′（ｘ）＝ １ ｘ －２ｘ＋１，则切线斜率 ｋ＝ ｆ ′（１）＝ ０， ２ 分…………………………………… 故切线方程为 ｙ＝ ０． ４ 分…………………………………………………………………… （２） ｆ ′（ｘ）＝ １ ｘ ＋２ａｘ＋１＝ ２ａｘ ２＋ｘ＋１ ｘ ，ｘ＞０， ５ 分…………………………………………… 当 ａ≥０ 时， ｆ ′（ｘ）＞０ 恒成立， ｆ（ｘ）在（０，＋¥）上无最大值， ６ 分……………………… 当 ａ＜０ 时，方程 ２ａｘ２＋ｘ＋１＝ ０ 的判别式 Δ＝ １－８ａ＞０，方程有异号的两实根， 又 ｘ＞０，设 ２ａｘ２＋ｘ＋１＝ ０ 在（０，＋¥）上的实根为 ｘ０， 此时，当 ｘ∈（０，ｘ０）时， ｆ ′（ｘ）＞０，当 ｘ∈（ｘ０，＋¥）时， ｆ ′（ｘ）＜０， ７ 分…………………… 故 ｆ（ｘ）在（０，ｘ０）上单调递增，在（ｘ０，＋¥）上单调递减， ∴ ｆ（ｘ）在 ｘ＝ ｘ０ 处取得极大值，也是最大值， ８ 分……………………………………… 又 ｆ ′（ｘ０）＝ ２ａｘ０ ２＋ｘ０＋１ ｘ０ ＝ ０，得 ２ａｘ０ ２＋ｘ０＋１＝ ０， 即 ａｘ０ ２ ＝ － ｘ０＋１ ２ ， ∴ 最大值 ｆ（ｘ０）＝ ｌｎｘ０＋ａｘ２０＋ｘ０ ＝ ｌｎｘ０＋ ｘ０ ２ － １ ２ ， ９ 分……………………………………… 而函数 ｇ（ｘ）＝ ｌｎｘ＋ ｘ ２ － １ ２ 在（０，＋¥）上单调递增，且 ｇ（１）＝ ０， １０ 分…………………… ∴ 当且仅当 ｘ０ ＝ １ 时， ｆ（ｘ）的最大值 ｆ（ｘ０）＝ ｌｎｘ０＋ ｘ０ ２ － １ ２ ＝ ０， 将 ｘ０ ＝ １ 代入 ａｘ０ ２ ＝ － ｘ０＋１ ２ ，可得 ａ＝ －１． １１ 分…………………………………………… （３）当 ａ＝ １ 时， ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ＋ｘ２＋ｘ， １２ 分…………………………………………………… ３ 数学试题答案 第　 页（共 ５ 页） 　 由 ｘ１＞０，ｘ２＞０ 即 ｘ１＋ｘ２＞０，令 ｔ＝ ｘ１ｘ２， 则由 ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋ｘ１ｘ２ ＝ ０ 可得， ｌｎｘ１ｘ２＋ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２ ＝ ０， 即（ｘ１＋ｘ２） ２＋（ｘ１＋ｘ２）＝ ｘ１ｘ２－ｌｎｘ１ｘ２， １３ 分………………………………………………… 设 φ（ ｔ）＝ ｔ－ｌｎｔ，ｔ＞０，φ′（ ｔ）＝ １－ １ ｔ ＝ ｔ－１ ｔ １４ 分…………………………………………… 可知 φ（ ｔ）在区间（０，１）上单调递减，在区间（１，＋¥）上单调递增， １５ 分……………… ∴ φ（ ｔ）≥φ（１）＝ １， １６ 分………………………………………………………………… ∴ （ｘ１＋ｘ２） ２＋（ｘ１＋ｘ２）≥１， 解得 ｘ１＋ｘ２≥ ５－１ ２ 或 ｘ１＋ｘ２≤ － ５ －１ ２ 又∵ ｘ１＞０，ｘ２＞０， 因此 ｘ１＋ｘ２≥ ５－１ ２ 成立． １７ 分…………………………………………………………… １９．（１７ 分） 解：（１）设“第 ｉ 局比赛选手胜”为事件 Ａｉ，“第 ｉ 局比赛选手平”为事件 Ｂ ｉ，“第 ｉ 局比赛 选手负”为事件 Ｃ ｉ（ ｉ∈Ｎ∗）， 设“两局后比赛终止”为事件 Ｍ， １ 分…………………………………………………… ∵ 比赛 ２ 局选手可能得 ０ 分或 ３０ 分比赛终止． ２ 分…………………………………… （ｉ）当选手得分为 ０ 分，则 ２ 局均负，即 Ｃ１Ｃ２； （ｉｉ）当选手得分为 ３０ 分，则 ２ 局先平后胜，即 Ｂ１Ａ２ ． ３ 分……………………………… ∵ Ｃ１Ｃ２ 与 Ｂ１Ａ２ 互斥， ∴ Ｐ（Ｍ）＝ Ｐ（Ｃ１Ｃ２＋Ｂ１Ａ２）＝ Ｐ（Ｃ１Ｃ２）＋Ｐ（Ｂ１Ａ２） ＝ Ｐ（Ｃ１）Ｐ（Ｃ２）＋Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ２）＝ （ １ ４ ） ２＋（ １ ４ × １ ２ ）＝ ３ １６ ． ５ 分…………………… ∴ 两局后比赛终止的概率为 ３ １６ ． （２）设“３ 局后比赛终止”为事件 Ｄ，“３ 局后选手挑战成功”为事件 Ｅ． ∵ Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（Ｂ１Ｂ２Ａ３＋Ｂ１Ｃ２Ｃ３＋Ｃ１Ａ２Ａ３＋Ｃ１Ｂ２Ｃ３） ＝ （ １ ４ ） ２× １ ２ ＋（ １ ４ ） ３＋ １ ４ ×（ １ ２ ） ２＋（ １ ４ ） ３ ＝ １ ８ ， ６ 分……………………………… Ｐ（Ｅ）＝ Ｐ（Ｂ１Ｂ２Ａ３＋Ｃ１Ａ２Ａ３）＝ （ １ ４ ） ２× １ ２ ＋ １ ４ ×（ １ ２ ） ２ ＝ ３ ３２ ． ８ 分…………………………… ∴ 在 ３ 局后比赛终止的条件下，选手挑战成功的概率为 ４ 数学试题答案 第　 页（共 ５ 页） Ｐ（Ｅ ｜Ｄ）＝ Ｐ（ＤＥ） Ｐ（Ｄ） ＝ Ｐ（Ｅ） Ｐ（Ｄ） ＝ ３ ３２ １ ８ ＝ ３ ４ ． ∴ 在 ３ 局后比赛终止的条件下，选手挑战成功的概率为 ３ ４ ． １０ 分……………………… （３）∵ ｎ 局获奖励 １ 万元，说明选手共胜 ２ 局． （ｉ）当选手第 ｎ 局以 ０ 分比赛终止，说明前 ｎ－１ 局中有 ３ 负 ２ 胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有 Ｃ５ｎ－１种， １１ 分………………………… （ｉｉ）当选手第 ｎ 局以 ３０ 分比赛终止，说明前 ｎ－１ 局中有 １ 负 １ 胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有 Ｃ２ｎ－１种， １２ 分……………………………… 则“ｎ（ｎ≥１０）局后比赛终止且选手获得 １ 万元奖励”的概率 Ｐ（ｎ）＝ Ｃ５ｎ－１（ １ ２ ） ２（ １ ４ ） ｎ－２＋Ｃ２ｎ－１（ １ ２ ） ２（ １ ４ ） ｎ－２ ＝ Ｃ２ｎ－１＋Ｃ５ｎ－１ ２２ｎ－２ ，（ｎ≥１０） ． １４ 分……………… ∴ Ｐ（ｎ ＋１） Ｐ（ｎ） ＝ Ｃ２ｎ＋Ｃ５ｎ ４Ｃ２ｎ－１＋４Ｃ５ｎ－１ ． Ｃ２ｎ＋Ｃ５ｎ－４Ｃ２ｎ－１－４Ｃ５ｎ－１ ＝（Ｃ２ｎ－４Ｃ２ｎ－１）＋（Ｃ５ｎ－４Ｃ５ｎ－１） ＝ （ｎ－１）（８－３ｎ） ２ ＋（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）（ｎ－４）（２０－３ｎ） １２０ ∵ ｎ≥１０， ∴ Ｃ２ｎ＋Ｃ５ｎ－４Ｃ２ｎ－１－４Ｃ５ｎ－１＜０， ∴ Ｐ（ｎ ＋１） Ｐ（ｎ） ＜１， １６ 分……………………………………………………………………… ∴ Ｐ（ｎ）单调递减， ∴ 当 ｎ＝ １０ 时，Ｐ（ｎ）取最大值为 Ｐ（１０）＝ ８１ ２１７ ． １７ 分…………………………………… ５