精品解析：河南省平顶山市2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

河南省普通高中2024-2025学年（下） 高一年级期末考试 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义可求. 【详解】 故选：C. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数模长公式直接计算即可. 【详解】由题. 故选：D 3. 如图，用斜二测画法作出四边形 的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形 的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直观图的定义和性质得到四边形 为边长为2的正方形即可求解. 【详解】由题可得轴且，轴且， 所以四边形 为边长为2的正方形， 所以四边形 的面积为. 故选：C 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解. 【详解】 . 故选：A 5. 现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】我们需要先求出从这6名男志愿者中随机抽取的2人的所有情况数，再求出抽取的2名志愿者中有一男一女的情况数，利用古典概型公式即可求出. 【详解】4名男志愿者用表示，2名女志愿者用表示， 从这6名志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：共15种情况， 其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：共有8个基本事件， 抽取的2名志愿者中有一男一女的概率. 故选：. 6. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式结合“1”的妙用，即可得到答案. 【详解】因为是正实数，则， 当且仅当即，时取得等号． 故选：A． 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由是偶函数，结合得到的周期为 ，再由时，，即可得解. 【详解】∵是定义在上的偶函数，所以. 又∵，∴， ∴，∴的周期为 . ∵当时， ∴. 故选：B. 8. 为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为 ，，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，先由三角函数得到，，，在和中，分别使用余弦定理，结合得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，设， 则在中，，故， 同理可得，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由于，故， 即， 即， 解得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（ ） A. A与B可能为互斥事件 B. 若，则A与B相互独立 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐一分析即可判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以A与B不可能为互斥事件，故A错误； 对于B，因为， 所以若，则A与B相互独立，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则与B相互独立， 所以 ，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数（，）的部分图象如图，且点，在的图象上，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】直接代入两点得到，即可判断AB；再代入计算即可判断C；再利用整体法即可判断D. 【详解】由图可知， ，解得，， 因为，所以，A正确，B错误； 由上可知，，则， 所以直线是图象的一条对称轴，C正确； 因为，所以，所以， 则在上的值域为，D错误． 故选：AC． 11. 如图，已知梯形ABCD是圆台的轴截面，，，P，Q分别是弧AB和母线BC的中点，.则下列结论正确的有（ ） A. 圆台的体积为 B. 异面直线DP与BC所成角的正弦值为 C. D. 平面DPQ与平面ABP所成二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求得圆台的高，根据圆台的体积公式计算即可判断； 对于B，由题意可证，则异面直线 和所成的角为与 所成角，通过计算可求，，进而求得即可判断； 对于C，连接点并延长，与圆交于另一点 ，连接 ， ，由，可得或其补角即是异面直线和 所成的角．在中，利用余弦定理求的值即可判断； 对于D，延长交 的延长线于点F，连接，过 、 分别作、，垂足分别为、 ，连接.通过计算证得，结合 是 的中点，得.从而得到即为平面DPQ与平面ABP所成二面角的平面角，再计算的值即可判断. 【详解】对于A，因为P是弧 的中点，所以是等腰直角三角形，所以, .作圆台的轴截面如图所示，作得到四边形为矩形. 所以，圆台的高， 因为上底面圆的面积为，下底面圆的面积为， 则圆台的体积为，故A正确； 对于B，取 中点 ，连接 ， ， 由为弧 中点可得， 过点 作，连接， 则，且，且， 则四边形为平行四边形， 所以，则异面直线 和所成的角为与 所成角，即为， 又，， 所以， 在中，，,， 则，则，故B正确； 对于C，连接点并延长，与圆交于另一点 ，连接 ， ， 由，可得或其补角即是异面直线和 所成的角． 又由， 有，，故C不正确； 对于D，延长交 的延长线于点F，连接与圆台的底面圆周的交点为 ，过 、 分别作、，垂足分别为、 ，连接， 由选项A，B知，， 因为 是 的中点，则，， ， 所以 . 由， 是 的中点，得. 所以即为平面DPQ与平面ABP所成二面角的平面角..故D正确 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量线性运算求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】∵，，∴. 由得， ∴，解得. 故答案为： . 13. 已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为函数在上单调递减， ∵，解得 ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 14. 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，将代入题设总体方差公式求出即可得解. 【详解】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号； 所以， 所以当，时中位数可以达最大， 故答案为：3 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数z的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位. （1）求复数z； （2）若是方程（a，）的根，求a，b的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意求出复数为即可求复数z； （2）由方程的两复数根结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题可得，所以； 【小问2详解】 由（1）可得是方程（a，）的根， 则是方程的另一复数根， 所以，即. 16. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了200名学生的测试成绩（单位：分），这200名学生的成绩分布在区间内，并分成6组：第1组为，频数10；第2组为，频数20；第3组为，频数30；第4组为，频数50；第6组为，频数30，绘制成如图所示的部分频率分布直方图. （1）请将频率分布直方图补充完整； （2）估计这200名学生成绩的70%分位数. 【答案】（1）频率分布直方图见解析； （2）85 【解析】 【分析】（1）求出第五组的频率和即可作图得解； （2）先求出这200名学生成绩的70%分位数所在区间范围，再列出方程即可求解. 【小问1详解】 由题可得第五组为，频数为， 所以第五组的频率为，， 所以频率分布直方图如图所示： 【小问2详解】 设这200名学生成绩的70%分位数为 ， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这200名学生成绩的70%分位数落在第5组内， 所以，所以这200名学生成绩的70%分位数为85. 17. 已知函数. （1）比较，的大小关系； （2）证明：函数的图象关于直线 对称； （3）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或. 【解析】 【分析】（1）直接计算，即可得解； （2）计算即可得证； （3）令，由题得在上有解，进而将问题转化成求解即可. 【小问1详解】 由题可得. 【小问2详解】 证明：因为， ， 所以， 所以函数的图象关于直线 对称； 【小问3详解】 因为方程有解， 令，则在上有解， 因为，所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时， 所以或. 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求C； （2）已知CD为的平分线，且CD交AB于点D. （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）若点E满足，求的值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）先将题设转化得到，再结合余弦定理即可求解； （2）（ⅰ）先在中由正弦定理得到，再结合和差角公式以及半角公式计算转化得到即可求解；（ⅱ）先由角平分线定理依次求出和即可由计算求解. 【小问1详解】 因为，所以即， 所以由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）在中，由正弦定理得， 即， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以； （ⅱ）因为，所以，因为 为的平分线， 所以，则， 又， ， 所以 ， 所以，， 所以. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求证平面和平面即可得证平面平面； （2）（ⅰ）求证 外接圆圆心即为球心即可得证； （ⅱ）依次在、和求得、和，设 到平面的距离为，进而依次求得和，接着利用求出，再由即可求解. 【小问1详解】 因为M，N，E分别为BC，AC，PC的中点， 所以，因为在平面外，平面， 所以平面，平面，又，所以平面平面； 【小问2详解】 （ⅰ）证明：取 中点，连接，因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设 外接圆圆心为 ，半径为，则， 所以，所以， 所以Q点即为球心O，所以A，B，C，O四点共面； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 在中，， 在中， 在中，，故， 设 到平面的距离为，则， 又， 所以， 设直线与平面所成的角为，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省普通高中2024-2025学年（下） 高一年级期末考试 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 3. 如图，用斜二测画法作出四边形 的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形 的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 8. 为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为 ，，（），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（ ） A. A与B可能为互斥事件 B. 若，则A与B相互独立 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 10. 已知函数（，）的部分图象如图，且点，在的图象上，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 在上的值域为 11. 如图，已知梯形ABCD是圆台的轴截面，，，P，Q分别是弧AB和母线BC的中点，.则下列结论正确的有（ ） A. 圆台的体积为 B. 异面直线DP与BC所成角的正弦值为 C. D. 平面DPQ与平面ABP所成二面角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数__________. 13. 已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为__________. 14. 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数z的共轭复数为，在复平面内对应的点为，为虚数单位. （1）求复数z； （2）若是方程（a，）的根，求a，b的值. 16. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了200名学生的测试成绩（单位：分），这200名学生的成绩分布在区间内，并分成6组：第1组为，频数10；第2组为，频数20；第3组为，频数30；第4组为，频数50；第6组为，频数30，绘制成如图所示的部分频率分布直方图. （1）请将频率分布直方图补充完整； （2）估计这200名学生成绩的70%分位数. 17. 已知函数. （1）比较，的大小关系； （2）证明：函数的图象关于直线 对称； （3）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围. 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求C； （2）已知CD为的平分线，且CD交AB于点D. （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）若点E满足，求的值. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $