云南省临沧地区中学2024-2025学年高二数学暑假作业综合练习卷（二）

别让假期偷走你的努力，那些默默扎根的日子，终将让你在秋天收获满仓 临沧地区中学2026届高二暑假作业——综合练习卷（二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则在的所有子集中，恰有个元素的集合个数为(    ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，为虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 3.一组数据从小到大排列为，，，，，，若该组数据的中位数是这组数据极差的，则实数(    ) A. B. C. D. 4.已知关于的不等式的解集是，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.记的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且，点在其内部，满足，，的面积之比为若，则(    ) A. B. C. D. 6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知，满足，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则(    ) A. 双曲线的离心率为 B. 若到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 若直线与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为 10.记为等比数列的前项和，已知，则(    ) A. B. C. D. 的最小值为 11.已知是定义在上奇函数，且当时，，则(    ) A. B. 当时， C. ，当且仅当 D. 是极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量，，则          ． 13.函数的极值点为，则实数          ． 14.三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数 Ⅰ求函数的最小正周期及单调递增区间 Ⅱ当时，求的最值及取得最值时的值． 16.本小题分 已知，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点． 求点轨迹的方程； 若过点的直线交轨迹于，两点，求面积的最大值． 17.本小题分 在直三棱柱中，点是的中点，是的中点，，，． 证明：平面； 求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知函数，其中． 证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 设，分别为在区间的极值点和零点， (ⅰ)设函数，证明：在区间单调递减；(ⅱ)比较与的大小，并证明你的结论． 19.本小题分 甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第局与软件对决的人选，第局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第局与软件对决的大师是乙的概率是． 求乙每局取胜的概率； 求第次与软件对决的大师是甲的概率； 现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为中充分大时，的极限值． 若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； 若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为，， 故A， 所以在的所有子集中，恰有个元素的集合为： ，共有个． 故选A． 2.【答案】  【解析】解：由题意可知：， 由，可得． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：已知数据从小到大排列为，，，，，，共个数， 极差为， 根据题意，中位数为极差的，即中位数为， 中位数为，解得． 故选：． 4.【答案】  【解答】 解：由题意可得，不等式等价于， 由其解集为， 可得，且，则． 故选D． 5.【答案】  【解析】解：延长交于，由，，的面积之比为， 所以是的中点，． 因为， 所以． 又因为，求得， 所以，则， 所以，解得． 故选B． 6.【答案】  【解析】解：由题：，设， 由抛物线定义知：， 又为的重心，所以， 则， 故选：． 7.【答案】  【解答】 解：，， 数列是公差为，首项为的等差数列． ， 数列的前项和为 ． 令，解得． 时， 时， 则 6 ， 故选C． 8.【答案】  【解答】 解：因  ，则  ，又  ， 则   ，得  ． 因  ，则  ． 又  ，则  ， 结合  ，则  ，得  ， 则  ． 又注意到  ， 则   ． 故选：． 9.【答案】  【解答】 解：由题：双曲线的一条渐近线过点， 所以，所以， 离心率，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 故二者有相同的渐近线，故C正确； 若到的渐近线的距离为，即，， 则双曲线的方程为，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，与直线联立， 解得，则， 又，解得，则焦距为，故D正确． 故选BCD． 10.【答案】  【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，则，解得， 所以，解得， 所以，， 故A错误，BC正确； 对于，， 根据函数单调性可知，在和时，取得最小值，故D正确． 故答案选：． 11.【答案】  【解析】解：选项A定义域为的奇函数在处的值为，因此，正确． 选项B对于，利用奇函数性质，代入的表达式得：，正确． 选项C当时，解不等式，得，当时，， 例如时，，说明存在时的情况，因此“当且仅当错误． 选项D当时，，求导得，令，解得导数在两侧由正变负，故为极大值点，正确． 故选ABD． 12.【答案】  【解析】解：，则． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：由题意得，，得， 此时， 当时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增； 所以在处取得极小值，符合题意． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是． 故答案为：． 15.【答案】解： ， 则， 令， 解得， 所以最小正周期为，单调增区间为 Ⅱ因为，所以， 所以当时，的最大值为， 当时，的最小值为．  16.【答案】解：由已知得圆的圆心坐标为，半径， 又点在的垂直平分线上，所以，又，则， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设点的轨迹的方程为， 则 所以， 所以点的轨迹的方程为； 由已知可得直线斜率不为，则可设的方程为， 设，， 联立，得， 则 所以 ， 令， 即， 当且仅当，即，时取得等号， 即的最大值为． 17.【答案】解：证明：取的中点，连接，， 因为是的中点，三棱柱是直三棱柱， 所以，， 因为，平面，，平面， 所以平面，平面， 因为，且，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面；得证． 依题意，中，，， 则，连接， 易知平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 又，，，是的中点， 得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，，得， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为．  18.【答案】解：由题得，因为，所以， 当时，，在该区间上单调递增， 当时，，在该区间上单调递减， 所以在区间存在唯一的极值点； 因为，， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以， 故存在唯一使得． 由知，， ， 当时，，，则， 所以在区间内单调递减． 由可知在单调递减， 又因为，则 即， 而，所以 由与中分析知，且在区间，单调递减， 于是，即与均在区间，上， 故．  19.【答案】解：设事件“第局与软件对决的大师是乙”， 则，解得； 由题意， 整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以； 由可知，当充分大时，的极限值为，所以甲每局获胜的概率为，则乙每局获胜的概率为， 的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为： 事件“甲赢得比赛”，则， 解得，即甲赢得比赛的概率是． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$