2025年山东省东营市中考数学模拟试卷（A卷）

2025年山东省东营市中考数学模拟试卷（A卷） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。 1．（3分）|﹣2025|的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．4a3﹣3a2＝a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a3•a4＝a12 D．a﹣4÷a﹣6＝a2 3．（3分）如图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）一次函数y＝kx+2（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，当x＝﹣1时y的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 5．（3分）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米． A． B．5tanα+5 C． D． 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 8．（3分）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　） A．0.9cm B．1.3cm C．1.6cm D．2cm 9．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（3分）如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中结论正确的序号是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。 11．（3分）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为　 　 ． 12．（3分）分解因式：2m3﹣12m2+18m＝　 　 ． 13．（3分）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6（亿元），那么这组数据的中位数是　 　 亿元． 14．（3分）若关于x的方程无实根，则k的取值范围是 　 　 ． 15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 　 　 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 16．（4分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为　 　 ． 17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　 ． 18．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2025的值为 　 　 ． 三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a是使不等式1成立的正整数． 20．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图： 请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数； （4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若，BE＝10，求DA的长． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 23．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 24．（10分）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系　 　 ； （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由． 25．（12分）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 2025年山东省东营市中考数学模拟试卷（A卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A D B C A A C 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。 1．（3分）|﹣2025|的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 【解答】解：|﹣2025|＝2025， 2025的相反数是﹣2025． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．4a3﹣3a2＝a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a3•a4＝a12 D．a﹣4÷a﹣6＝a2 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可． 【解答】解：根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式逐项分析判断如下： A．4a3、3a2不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B． （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原计算错误，不符合题意； C．a3•a4＝a7，故原计算错误，不符合题意； D．a﹣4÷a﹣6＝a2，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键． 3．（3分）如图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看时，可得选项C的图形． 故选：C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 4．（3分）一次函数y＝kx+2（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，当x＝﹣1时y的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把x＝﹣1代入函数y＝kx+2（k≠0），从而判断函数值y的取值． 【解答】解：由条件可知：k＜0， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣k+2＞2， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键． 5．（3分）2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．（3分）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米． A． B．5tanα+5 C． D． 【分析】理解题意，得到地毯的长度为AC+BC的长，利用正切定义求得BC＝AC•tanα即可求解． 【解答】解：∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，∠BAC＝α，AC＝5米， ∴BC＝AC•tanα＝5tanα（米）， ∴地毯的长度为BC+AC＝（5tanα+5）米． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【分析】先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCE＝∠A解题即可． 【解答】解：由条件可知，∠BCD+∠A＝180°， 又∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝65°， 故选：C． 【点评】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理．熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　） A．0.9cm B．1.3cm C．1.6cm D．2cm 【分析】过点C作CE⊥OA于点E，由题意可知，OB＝CO，OA＝OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，DF＝1.3m，BD⊥OA，再由勾股定理得OD＝1.2m，则OF＝OD+DF＝2.5m，然后证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.6m，则EF＝OF﹣OE＝0.9m，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 由题意可知，OB＝CO，OA＝OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，DF＝1.3m，BD⊥OA， ∴∠BDO＝90°， ∴OD1.2（m）， ∴OF＝OD+DF＝1.2+1.3＝2.5（m）， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.6m， ∴EF＝OF﹣OE＝2.5﹣1.6＝0.9（m）， 即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（3分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE＝x，CF＝y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】首先推导出△AEB∽△EFC，利用三角形相似求出y关于x的函数关系式y，根据函数关系式进行分析求解． 【解答】解：∵BC＝4，BE＝x， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF＝90°． ∵∠CEF+∠CFE＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC． ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△AEB∽△EFC， ∴， 设AB＝m，则， 整理得y， 由图象可知，点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象为抛物线，且顶点坐标为（2，）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（4，0）， ∴4a0， 解得a， ∴y， ∴m＝5， ∴AB＝5； 解法二：∵BC＝4，BE＝x， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF＝90°． ∵∠CEF+∠CFE＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC． ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△AEB∽△EFC， ∴， 把x＝2，y＝0.8代入得： ， 解得：AB＝5； 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中结论正确的序号是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确； 证明四边形CBFG是矩形，得出，②正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC＝∠ABF，③正确； 证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确． 【解答】解：∵四边形ADEF为正方形， ∴∠ADE＝∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF， ∴∠CAD+∠FAG＝90°， ∵FG⊥CA， ∴∠G＝90°＝∠ACB， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∴∠CAD＝∠AFG， 在△FGA和△ACD中， ， ∴△FGA≌△ACD（AAS）， ∴AC＝FG，故①正确； ∵BC＝AC， ∴FG＝BC， ∵∠ACB＝90°，FG⊥CA， ∴FG∥BC， ∴四边形CBFG是矩形， ∴∠CBF＝90°， ，即S△FAB：S四边形CBFG＝1：2，故②正确； ∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°， ∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确； ∠FQE＝∠DQB＝∠ADC＝90°﹣∠BDQ，∠E＝∠C＝90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：FE＝AD：FQ， ∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。 11．（3分）2024年国家统计局发布的一份报告中宣布，中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网络并且运行的国家，中国高铁里程达到4.6万公里，居世界首位，将4.6万用科学记数法表示为　4.6×104　 ． 【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【解答】解：根据科学记数法的表示方法进行表示如下：4.6万＝4.6×104； 故答案为：4.6×104． 【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（3分）分解因式：2m3﹣12m2+18m＝　2m（m﹣3）2　 ． 【分析】先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【解答】解：原式＝2m（m2﹣6m+9）＝2m（m﹣3）2， 故答案为：2m（m﹣3）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 13．（3分）电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9，4.8，6.2，7.3，8.1，8.4，8.6（亿元），那么这组数据的中位数是　7.3　 亿元． 【分析】将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【解答】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3， ∴中位数为7.3； 故答案为：7.3． 【点评】本题考查中位数，掌握中位数的性质是解题的关键． 14．（3分）若关于x的方程无实根，则k的取值范围是 　k≤﹣1　 ． 【分析】分为k＝±1和k≠±1，分别求出即可； 【解答】解：当k＝1时，方程的解是x，不符合题意； 当k＝﹣1时，方程的无解符合题意； 当k≠±1时，Δ＝（k+1）2﹣4（k2﹣1）0， 所以k＜﹣1， 综上所述，k的取值范围是k≤﹣1． 故答案为：k≤﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用判别式是负数确定k的取值范围是解此题的关键． 15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 　3或　 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【分析】先得到，再分与两种情况讨论即可解答． 【解答】解：当时， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴， 当时， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 综上，AE＝3或， 故答案为：3或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理． 16．（4分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为　　 ． 【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题． 【解答】解：在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C， ∴AB＝8，HC＝2， 设OA＝x，由OC＝x， ∴OH＝x﹣2， ∵OH⊥AB，OC为半径， ∴， 在Rt△OAH中，由勾股定理得：AH2+OH2＝OA2， ∴42+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝5， ∴OA＝5， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，垂径定理，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　3　 ． 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． 由条件可知M′H＝M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， 由条件可知． ∴BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是轴对称—最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 18．（4分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2025的值为 　　 ． 【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2， ∴S1＝DC2＝4， ∵△DEC是等腰直角三角形， ∴2DE2＝DC2＝S1， ∴S2＝ED2， 同理：S3S2， 按照此规律继续下去，则S2025． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律． 三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a是使不等式1成立的正整数． 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算乘方与开方，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ∵a是使不等式成立的正整数， ∴a≤3且a为正整数， ∴a＝1，2，3， 又∵a﹣2≠0，（3+a）（3﹣a）≠0， ∴a≠2，3，﹣3， ∴a＝1， 当a＝1时，原式． 【点评】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 20．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图： 请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数； （4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和D的概率． 【分析】（1）由C劳动小组的人数及其所占百分比可得总人数，再根据四个小组人数之和等于被调查的总人数可求出B小组人数，从而补全图形； （2）用360°乘以样本中B组人数占被调查人数的比例即可； （3）总人数乘以样本中D小组人数所占比例即可； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为45÷25%＝180（人）， 则B劳动小组人数为180﹣（50+45+25）＝60（人）， 补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角为360°120°； （3）3600500（人）， 答：估计该校选择D小组的学生人数约为500人； （4）列表得： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由列表可见，共有12种等可能结果，其中恰好选中项目A和D的结果有2种， 所以恰好选中项目A和D的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，条形统计图，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若，BE＝10，求DA的长． 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠DCO＝90°，则可得出结论； （2）设OA＝OB＝2x，OD＝3x，证明△DCO∽△DEB，由相似三角形的性质得出，求出OC的长，则可求出答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠DCA＝∠ABC， ∴∠DCA＝∠OCB， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠DCA+∠ACO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∴OC⊥DC， ∵OC是半径， ∴DC是⊙O的切线； （2）解：∵，且OB＝OA， 设OA＝OB＝2x，OD＝3x， ∴DB＝OD+OB＝5x， ∴， 又∵OC⊥DC，BE⊥DC， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴， ∵BE＝10， ∴OC＝6， ∴2x＝6， ∴x＝3， ∴AD＝OD﹣OA＝x＝3， 即AD的长为3． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与x轴交于点D，得出D（﹣2，0），设C（t，0），则CD＝|t+2|，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得C的坐标． 【解答】解：（1）一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2， ∴将B（﹣4，﹣3）代入， 则m＝（﹣3）×（﹣4）＝12， ∴反比例函数解析式为：， ∴将xA＝2代入， 则， ∴A（2，6）， 将 A（2，6），B（﹣4，﹣3）代入y1＝kx+b， 则， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）∵xA＝2，xB＝﹣4， ∴观察图象，当y1≤y2时，x的取值范围是x≤﹣4或0＜x≤2； （3）设与x轴交于点D， 当y＝0时，， ∴x＝﹣2， ∴D（﹣2，0）， 设C（t，0）， ∴CD＝|t+2|， ∵△ABC的面积为18， ∴， ∴， ∴CD＝4，即|t+2|＝4， 解得：t＝2或t＝﹣6， ∴点C坐标为 （﹣6，0）或（2，0）． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等，掌握以上性质是解题的关键． 23．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【分析】（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元购进A款哪吒玩偶的数量比用1600元购进B款哪吒玩偶少50个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入2x中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100﹣m）个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【解答】解：（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元， 根据题意得：50， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×8＝16（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100﹣m）个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35，36，37， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24．（10分）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系　MN＝DM+BN　 ； （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证∠EAN＝∠MAN，进而证明△EAN≌△MAN（SAS），推出EN＝MN，可得MN＝DM+BN； （2）在BC上取BE＝MD，连接AE．依次证明△ABE≌△ADM（SAS），△EAN≌△MAN（SAS），可得MN＝BN﹣DM； （3）将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得△EAN≌△NAM（SAS），进而可得MN＝DM+DE＝DM+BN． 【解答】解：（1）MN＝DM+BN．理由如下： 由旋转的性质，可知 AE＝AM，BE＝DM，∠EAM＝90°，∠ABE＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠ABC＝90°+90°＝180°， ∴E，B，C三线共线， ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝45°＝∠MAN， 在△EAN和△MAN中， ， ∴△EAN≌△MAN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵EN＝BE+BN， ∴MN＝DM+BN， 故答案为：MN＝DM+BN； （2）MN＝BN﹣DM．理由如下： 如图，在BC上取BE＝MD，连接AE， ∵AB＝AD，∠B＝∠ADM＝90°， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠DAM+∠DAN＝45°， ∴∠BAE+∠DAN＝45°， ∴∠EAN＝45°＝∠MAN， 在△EAN和△MAN中， ， ∴△EAN≌△MAN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵EN＝BN﹣BE， ∴MN＝BN﹣DM； （3）MN＝DM+BN．理由如下： 如图，将△ABN 绕点A逆时针旋转120°得△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AN＝AE，BN＝DE， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADE+∠ADC＝180°， ∴E，D，C三点共线， 由（1）同理可得△EAN≌△NAM（SAS）， ∴MN＝DM+DE＝DM+BN． 【点评】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（12分）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），把C（0，5）代入解析式，解方程求出a的值即可； （2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作CH垂直抛物线对称轴于H，过N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求出直线BN的解析式为，得到，设P（2，p），求出，BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）， 把C（0，5）代入解析式，得5＝a（0+1）×（0﹣5）， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）， 即y＝﹣x2+4x+5； （2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线图象的对称轴为直线x＝2， 设D（x，﹣x2+4x+5）（2＜x＜5）， ∵DE∥x轴， ∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5）， 过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴， ∴四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG的周长 ＝2DG+2DE ＝2（﹣x2+4x+5）+2[x﹣（4﹣x）] ＝﹣2x2+12x+2 ＝﹣2（x﹣3）2+20， ∵﹣2＜0， ∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，则﹣32+4×3+5＝8， ∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）； （3）过C作CH垂直抛物线对称轴于H，过N作NK⊥y轴于K， ∴∠NKC＝∠MHC＝90°， 由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM， ∵B（5，0），C（0，5）． ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵CH⊥对称轴于H， ∴CH∥x轴， ∴∠BCH＝∠OBC＝45°， ∴∠BCH＝∠OCB＝45°， ∴∠BCN﹣∠OCB＝∠BCM﹣∠BCH，即∠NCK＝∠MCH， ∴△MCH≌△NCK（AAS）， ∴NK＝MH，CK＝CH， ∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为直线x＝3，M（2，9）， ∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2， ∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2， ∴OK＝OC﹣CK＝3， ∴N（﹣4，3）， 设直线BN的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得：， ∴直线BN的解析式为：， 将x＝0代入，则， ∴， 设P（2，p）， ∴，BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，， 分两种情况： ①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2， ∴， 解得：， ∴； ②当∠QBP＝90°时，P'Q2＝BP'2+BQ2， ∴， 解得：p＝﹣9， ∴点P'的坐标为（2，﹣9）； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或（2，﹣9）． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$