福建省泉州第五中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

第1页 (共 4 页) 泉州五中 2024-2025 学年第二学期期末考试卷 高二数学 2025.7 满分 150 分，时间 120 分钟. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知正项等比数列 na 的前n项和为 nS ，若 3 2 12 6S S S= − + ， 1 1a = ，则𝑎4 = ( ) A．16 B．32 C．27 D．81 2．已知函数 ( ) ( )2f x x x bx c= + + 的图象如图所示，则 1 2x x = ( ). A．0 B．1 C．2 D． 2 3 3．已知由样本数据 ( ix， )( 1iy i = ，2，3，，10) 组成的一个样本，得到回归直线方程为 ˆ 2 0.4y x= − ，且 2x = ，去除两个样本点 ( 2,1)− 和 (2, 1)− 后，得到新的回归直线的斜率为 3.则在新 的经验回归方程下，样本 (4,8.9)的残差为( ) A．−0.2 B．−0.1 C．0.1 D．0.2 4．若随机变量 X ~ 4 , 9 N        ，随机变量Y ~𝐵(3, 𝑝)，且𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 2 ， ( ) ( )E X E Y= ，则 𝑃(𝑌 ≤ 1) = ( ) A． 7 27 B． 8 27 C． 12 27 D． 20 27 5．为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排 , , ,A B C D 4 名学生 去甲､乙､丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有 1 名学生，其中学生A 不能去甲社区，则不同安排方式的总数是( ) A．20 B．24 C．32 D．36 6．某仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器，第一、二车间生产电器的产品比 例为 2:3，已知第一车间的电器次品率为 3%，第二车间的电器次品率为 8%.今有一客户从电器仓 库中随机提一台产品，设此产品是次品的概率为 1p ；若此产品是次品，则此次品来自第一车间的 概率为 2p ，那么( ) A． 1 2 11 3 100 11 p p= =， B． 1 2 3 3 50 11 p p= =， C． 1 2 11 1 100 5 p p= =， D． 1 2 3 1 50 5 p p= =， 第2页 (共 4 页) 7．已知 9 2 9 0 1 2 9(1 2 )x a a x a x a x+ = + + + + ，则下列选项中错误的是( ) A． 2 144a = B． ( 0,1,2, ,8,9)ia i = 的最大值为 6a C． 8 1 3 7 9 0 2 4 6 8 2a a a a a a a a a+ + + = + + + + = D． 6 82 4 2 4 6 82 2 2 2 a aa a + + + =255 8．若不等式 2 2 x x e t x x t e +  + 对任意  )1,x  + 恒成立，则正实数 t的最大值是( ) A． e 2 B． e C． 2e 2 D． 2e 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知空间四点 ( 1,1,0), (2,2,1), (1,1,1), (0,2,3)A B C D− ，则下列四个结论中正确的是( ) A． AB CD⊥ B．向量BC共线的单位向量为(− √2 2 , − √2 2 , 0) C．向量 AC在向量BD上的投影向量为 1 1 ( ,0, ) 2 2 − D．点A 到直线BC的距离为 7 10．已知函数 ( ) 3 3f x x x= − ，则( ) A． ( ) ( ) ( )3 1 2 2f f f−  B．曲线 ( )y f x= 在点(1,−2)处的切线方程为𝑦 = 2 C．若方程 ( ) 0f x m+ = 有两个相异实根 1 2,x x ，且 1 2 0x x+  ，则实数m的值等于 2− D．已知函数 ( ) ( ) 2 , , x x a g x f x x a −  =   无最小值，则a的取值范围是 (1, )+ 11．甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是( ) A．“甲乙两人各掷一次，所掷点数的差不超过3 ”的概率为 5 6 B．“在甲掷出6 点后，乙下一次掷骰子掷出6 点”的概率为 1 6 C．“首次连续2次出现6 点时需掷骰子的次数”的期望为36 D．“甲先掷出6 点”的概率为 6 11 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．在 52( ) 2 x x − 的展开式中 1 x 的系数等于___________. 13．两个不同小球随机投入 , ,A B C三个不同空箱中，则 A箱的小球数的方差 ( )D  = . 14．已知椭圆和双曲线有相同的焦点 1F 、 2F ，它们的离心率分别为 1e 、 2e ，点 P为它们的一个 交点，且 1 2 2π 3 FPF = ，则 2 2 1 2e e+ 的范围是_______________. 第3页 (共 4 页) 四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16,17 题 15 分，第 18,19 题 17 分，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．2025 年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截 至 3 月 20 日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威电影机构调查，得到其前 5 周的票房数据如 下表： 周次 第 1 周 第 2 周 第 3 周 第 4 周 第 5 周 周次代码 X 1 2 3 4 5 票房总额Y /亿元 40 35 25 37 7 (1)求Y关于 X 的线性回归方程 ˆ ˆY bX a= + ； (2) 该电影机构为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了 90 名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合 计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 依据小概率值 0.1 = 的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 附：① 5 1 368i i i x y = = ， 5 2 1 55i i x = = ，在利用最小二乘法求得的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a= + 中， 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = −   ， ˆâ y bx= − ；② ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bc a b c d a c b d  − = + + + + ，其中n a b c d= + + + .  0.1 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 16．如图，在四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D− 中， 1DD ⊥平面 ABCD．底面 ABCD为菱形， 1 12AB AB= ， 点 E为 BC 的中点． 60BAD = ，连接 AC、BD，设交点为O，连接 1BO． (1)求证： 1 / /D E 平面 ABB1A1; (2)若 4AB = ，且二面角 1B AB C− − 大小为 60°，求三棱锥 1B ABO− 外接球的表面积． E 第4页 (共 4 页) 17．已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在 x轴上，离心率 3 2 e = ，以椭圆E的长轴和短轴为对 角线的四边形的周长为4 5 . F为E的右焦点， P为E上一点，PF x⊥ 轴， F的半径为PF． (1)求椭圆E和 F的方程； (2)若直线 : ( 3)( 0)l y k x k= −  与 F交于 A，B两点，与E交于C，D两点，其中 A，C在第一 象限，是否存在 k使 | | | |AC BD= ？若存在，求 l的方程：若不存在，说明理由． 18．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称 AI）已然成为科 技变革的核心驱动力.有媒体称 DeepSeek开启了我国 AI新纪元.我校团委拟与某网络平台合作组织 学生参加与 AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题 得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知甲同学报名参加比赛，每道题回答 是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为 p， ①设 2 3 p = ，记甲同学答完前三道题得分为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为 1 81 ，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小 值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为 1 3 ，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分， 称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为 nP ， （i）求证： 1n nP P+ − 是等比数列；（ⅱ）求 nP 的最大值. 19．已知函数 ( ) sinf x x= . (1)求函数 ( ) ( ) 1 1 2 g x f x x= − + 的单调区间； (2)求证：对任意实数 1 2,x x ， ( ) ( )2 1 2 1f x f x x x−  − ； (3)是否存在实数m ， 使得 ( ) 2 3 2 2 3 2 xxf x mx x e  + + − + ，恒成立？若存在，求m ，的取值合合， 若不存在，说明理由.