1.1 探索勾股定理（课时2） 教学课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

1.1探索勾股定理 （课时2） 第一章 勾股定理北师大版（2024） 1 素养目标 重点 1.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理； 2.运用勾股定理解决一些简单的实际问题，发展学生分析问题、解决实际问题的能力. 重难点 2 知识回顾 A C B a b c 回顾上节课所学的勾股定理的内容 直角三角形两直角边长度的 等于斜边长度的 .如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 . 平方和 平方 a2 + b2 = c2 3 新知导入 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形，能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的? b a c 4 探究新知 为了计算图中大正方形的面积，对其进行适当割补： S正方形ABCD = 4×ab+c2 = c2+2ab b a c A B C D 图中正方形ABCD的面积是多少? 你有哪些表示方式? S正方形ABCD = (a+b)2 方法1 补 5 探究新知 为了计算图中大正方形的面积，对其进行适当割补： S正方形ABCD =4×ab+c2 = c2+2ab c2=a2+b2 b a c A B C D 你能利用该图验证勾股定理吗? S正方形ABCD = (a+b)2 因此，c2+2ab = (a+b)2 = 证明勾股定理 6 探究新知 S正方形ABCD = c2- 4×ab = c2-2ab 图中正方形ABCD的面积是多少? 你有哪些表示方式? S正方形ABCD = (b-a)2 方法2 b a c A B C D A B C D c 割 7 探究新知 S正方形ABCD = c2-4×ab = c2-2ab 你能利用该图验证勾股定理吗? S正方形ABCD = (b-a)2 c2=a2+b2 因此，c2-2ab = (b-a)2 证明勾股定理 b a c A B C D A B C D c = 8 探究新知 勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把图①称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图②）就取材于此图 ① ② 9 探究新知 一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这 10 s 的平均速度吗？ 【思考】你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 10 探究新知 400 m 500 m C B 公路 A 解：根据题意，可以画出右图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题. 11 探究新知 解：由勾股定理，可以得到 AB2 = BC2 + AC2， 也就是 5002 = BC2 + 4002， 所以 BC = 300 m. 蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m， 那么它平均每秒行驶 300÷10 = 30 (m)， 因此，蓝方汽车这 10 s 的平均速度为 30 m/s. 400 m 500 m C B 公路 A 12 探究新知 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？ 以右图为例，说说你的判断和理由. b a c b a c 13 探究新知 ①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长， 则 a2 + b2 < c2； b a c b a c ②在锐角三角形中， 三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长， 则 a2 + b2 > c2. S = 9 S = 25 S = 10 S = 9 S = 10 S = 13 14 D 10 C A 小结 探索勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 谢谢同学们的聆听 练习1 在 中,斜边 ,则 ( ) A. B. C. D. 解析： EMBED Equation.DSMT4 的斜边是 , , ,故选：D. 练习2 有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________m. 解析：如图，设大树高为 ，小树高为 ， 过C点作 于E，则四边形EBDC是长方形，连接AC， 所以 ， ， . 在 中， ，所以 .故答案为10. 练习3 湖的两岸有A,B两棵景观树,数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离,他们在与 垂直的 方向上取点C,测得 米, 米.求两棵景观树之间的距离. 解：∵ 是直角三角形. ∴由勾股定理,得 . 因为 米, , 所以 . 因为 ,所以 米. 即A,B两点间的距离是40米. 练习4 《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.向水深、葭长各几何”.其大意为：有一个水池,其水面是边长为1丈的正方形(即 丈 尺),在水池正中央有一根芦苇 ,它高出水面 的部分为1尺(即 尺). 如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达池边 水面点A处,则芦苇 的长是( ) A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.15尺 解析：设水深为 尺,则芦苇长为 尺, 根据勾股定理得： ,即 , 解得： , 芦苇的长度 (尺), 答：芦苇长13尺.故选：C. 练习5 如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高 .若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙 时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为( ) A. B. C. D. 解析：设梯子的长度为 ，则墙高为 ， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 梯子的长度为 ，故选：A. 练习6 某条路规定小汽车的行驶速度不得超过 .如图,一辆小汽车在这条路的直道上行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处,过了 后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为 .这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换： ) 解：在 中, , , 根据勾股定理可得 , ∴小汽车的速度为 . , ∴这辆小汽车没有超速. $$