专项突破13 利用导数运算法则巧构函数解题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

(2e.+1) be= 2 6,度等比数列候1-4，脚[是6m+3)] 9、3(2+1) 2 2,六cn=6m2+6n+1, 2 cn6n2+6m+16n2+6n “411 11 +…+ Cy c2 专项突破13利用导数运算法则巧构函数解题 1A解折：因为0c宁号可化为)-受子<0，令e) )÷子则g时国2 1 因为∫广()<行，所以g()<0,所以g)在R上单调递减 因为1=1所以=)-子0，所以g国g,所以 D1,即不等式宁的解集为1，+).放选人 2.B解析：设g(x)=八x)-e+2,则g(x)=∫(x)- 因为f"(x)<e,所以f(x)-e<0,即g'(x)<0,所以g(x)在R上单 调递减. 不等式f(nx)>x+2等价于不等式fnx)-x+2>4,即g(lnx)>4. 因为f(2)=e2+2,所以g(2)=f(2)-e2+2=4,所以g(1nx)>g(2). 因为g(x)在R上单调递减，所以lnx<2,解得0<x<e2,故选B. 3.B解折：令8()=)22，当xe(0,+)时g(e)f()-< 0,即g(x)在(0，+x)上单调递诚 又g(x)+g(-x)=f八x)-x)-x2=0g(x)是奇函数，从而g(x)在 R上单调递减， 4-m)m)=g(4-m)+号(4-m)2-g(m)-子m2g(4-m） g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),.4-m≤m,解得m≥2.故 选B. 4.(1,+x)解析：令函数g(x)=八x)-nx(x>0),则g(x)=f'(x) 上寸()-<0，因此函数g)在(0，+)上单调递减， g(e)=f八e)-lne=1,因此e)<x+1f(e)-x<1g(e)<g(e), 即e>e,解得x>1,所以不等式f(e)<x+1的解巢为(1，+).故答 案为(1，+x): 5.A解析：令g(x)=x),因为f八x)+'(x)<0,所以g'(x)=f八)+ 对'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减. 又f八2)=-4，所以g(2)=-8,因此不等式(x2-x+2)f八x2-x+2)>-8 可化为g(x2-x+2)>g(2),所以x2-x+2<2,解得0<x<1,即不等式 (x2-x+2)f八x2-x+2)>-8的解集为(0,1).牧选A. 6.B解析：令g(x)=f(x)e,xeR,:3(x)+f'(x)<0,∴g'(x)= f'(x)e+3x)3=e(3)+f(x)<0,g(x)=fx)e在R上 单调递诚. 又fln2)=1,g(1n2)=n2)em2=8,.不等式x)e>8可化 为g(x)>g(血2)，∴.x<血2放选B. AB解折：冷F)-得则F:包，由题查知 (x+1)2 (x+1)f'(xx),所以F(x)<0,即F(x)在(0，+∞)上单调递减， 所2023)，2024)2024)2025) 2024202520252026,放A正确，c错误 又x=2是fx)的唯一零点，所以F(2)=0.又F(x)在(0，+m)上单 调莲减所以F-g0,R3)-九g0即03)c0,款 选择性必修第一册·SJ B正确，D错误故选AB &A解折：由了()n+)<0,得h<0,令g) 尺x)hx,x(0,+),则g'(x)=f'(x)nx+fx)<0,所以g(x)< 0在(0，+)上恒成立，所以g(x)在(0，+∞)上为减函数 因为宁>，且了=心在R上单调逼湖，所以。>>。，所 以g()g)g(e)所以r(e）hi()hei< f()）h,所以宁c文，即6a<40<k故选A 9.(-0,-2)U(1,+)解析：依题意，不等式ex2+x)>e22f2) r,2 e2, 令函数g()=国(x>0),求导得g()=八，由< e e f户(x),得g(x)>0,函数g(x)在(0，+)上单调递增， 原不等式为g(x2+x)>g(2),因此x2+>2,解得x<-2或x>1,所以原 不等式的解集为(-。，-2)U(1,+∞).故答案为(-，-2)U (1,+0). 10. 解桥：)-)0且xe(受受）得到 是奇函数 令ge)-当0≤<号时.ga-f儿因到<0， 则)在0，受)上单调递减。 显然函数-园是奇函数则：()在（三，可上单调遥减 cos x 从面c)在（号 上单调递减， 不等式)<f( 0sx化为) () ,即g(x)< c4 (）解得号a<受所以不等式k(于)小m的解 集为（任受）故答案为（任）】 专项突破14利用导数证明不等式 1.(1)解：依题意知函数的定义域为x1x>01,()=2x-2- 2(+1)(x-D,由f()>0,得1，由f()<0,得0<1，）的 单调递增区间为(1，+。)，单调递减区间为(0,1)· (2)证明：设g(x)-)-3x+4=2-2m-3x+4,g(x)=2-2-3= 2公2-3x-2.(2x+1)(-2》当x>2时，g(x)>0g(x)在 (2,+∞)上单调递增g(x)>g(2)=4-22-6+4>0,当>2时， x2-2n>3x-4,即当x>2时fx)>3x-4 2.(1)解：函数八x)=ae2-x+6求导得f(x)=ae2-1,则∫(0)=a-1, 而f八0)=a+b,因此曲线f八x)在x=0处的切线方程为y一a-b= (a-1)x,即y=(a-1)x+a+6,依题意，a2+2a-1=a-1+a+b,所以6 a2=0. (2)解：由(1)知函数f代x)=ae-x+a2的定义域为R,求导得f(x)= ae*-1, 当a≤0时f'(x)<0(x)在R上单调递诚： 当a>0时，f(x)=ae-1=0,得x=-lha,当x<-lha时f'(x)<0, fx)在(-，-na)上单嗣递减，当x>-lna时f(x)>0,f八x)在 (-lna,+∞)上单调递增， 黑白题142心专项突破13 利用导数运算法贝 题组一利用函数和差求导法则构造函数 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)= 1,且f(x)的导函数F(x)在R上恒有 了()<，则不等式)<+的解集为 A.（1,+) B.(-∞，1) C.(-1,1) D.(-0,1)U(1,+) 2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 (x),若f(x)<e,且f(2)=e2+2,则不等 式f(lnx)>x+2的解集是 A.(0,2) B.(0,e2) C.(e2,+o) D.(2,+) 3.(2025·江苏苏州高三模拟)设函数f代x)在 R上存在导数f(x),Hx∈R,有f(-x)+ f(x)=x2,在(0，+o)上(x)<x,若f(4- m)-f(m)≥8-4m,则实数m的取值范围为 A.[-2,2] B.[2,t∞) C.[0,+o) D.(-o,-2]U[2,+0） 4.(2025·广东广州高三月考)已知函数f(x) 的定义域为(0，+∞)，其导函数为f(x),若 f(x)-1<0,f(e)=2,则关于x的不等式 f(e*)<x+1的解集为 题组日利用函数积商求导法则构造函数 5.(2025·陕西榆林高二期末)已知函数f(x) 及其导函数(x)的定义域均为R,若 f(2)=-4,且f(x)+f(x)<0,则不等式 (x2-x+2)f(x2-x+2)>-8的解集为（) 巧构函数解题 A.(0,1) B.(-∞，0)U(1,+∞) C.(-1,2) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 6.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 (x),且3fx)+f(x)<0,fn2)=1,则不 等式f(x)e“>8的解集为 () A.(-0,2) B.(-o,ln2) C.(ln2,+o) D.(2,+∞) 7.(多选)(2025·湖南长沙高二期末)已知 函数f(x)及其导函数∫(x)的定义域均是 (0,+0),x=2是f(x)的唯一零点，且(x+ 1)f(x)<fx),则 () A.2025f(2023)>2024f(2024) B.f(1)>0 C.2026f(2024)<2025f(2025) D.f3)>0 8.(2025·陕西榆林高三月考)已知函数f(x) 满足f(x)l血x+f(x)<0(其中f(x)是 fx)的导数)，若a=时(e),b=f(e）,c= f(e),则下列选项中正确的是 ()） A.6a<4b<3c B.6a<3c<4b C.4b<6a<3c D.4b<3c<6a 9.(2025·浙江丽水高二期末)已知f(x)的定 义域是(0，+∞)，且f(x)<f(x),则不等式 ef(x2+x)>e-f(2)的解是 10.定义域为(2，受)的函数f()满足 f(x)+f(-x)=0,其导函数为f(x),当0≤ x时，有f()csx4)smx<0成立. 则关于x的不等式x)<2f(好)esx的 解集为 进阶突破，专项练31 ©专项突破14 利用导数证明不等式 题组口构造函数利用单调性和最值证明不3.(2025·山东济宁高三月考)已知函数 等式 f(x)=2sin x-sin 2x. 1.(2025·山东临沂高三月考)已知函数 (1)当0≤x≤π时，求f(x)的最大值； f(x)=x2-2In x. (1)求函数f(x)的单调区间 (2)当写≤≤时，求证)>h(x+1) (2)求证：当x>2时，f(x)>3x-4. (记h2T=0739） 2.(2025·浙江杭州高三模拟)已知曲线 题组已指对分离构造凹凸函数证明不等式 f(x)=ae*-x+b在x=0处的切线过点(1， 4.(2025·湖南岳阳高三月考)(1)证明：当 a2+2a-1). (1)试求b-a2的值： x≥0时，e≥2+1； (2)讨论f(x)的单调性； (2)已知函数f(x)=ex2-xlnx.求证：当x>0 (3)证明：当a>0时x)>2na+3 时x)<e+ 32黑白题数学|选择性必修第一册·SJ