5.1.2 瞬时变化率——导数 学案-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.1.2瞬时变化率---导数 学习目标 1、知道平均变化率与瞬时变化率的关系，正确区分平均变化率与瞬时变化率； 2、理解割线逼近切线思想，逐步形成极限思想； 3、会依据定义求简单函数在某点处切线的斜率。 任务一 问题情境 情境：平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么 问题1 如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 任务二数学探究 探究：已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率。 (1)[1，3]； (2)[1，2]； (3)[1，1.1]； (4)[1，1.001] (5)[1，1+△x] 。 x y 1 3 o 2 1.1 问题2 当△x无限趋近于0时，平均变化率如何变化？ 问题3 结合平均变化率的意义，你能说明瞬时变化率的意义吗？ 问题4 当△x无限趋近于0时，割线斜率如何变化？割线如何变化？ 问题5 结合问题2和4，你有什么发现？ 问题6 能否验证这一常数是切线斜率？ 任务三 数学运用 例1、 已知函数f(x)＝x2＋2 ，求 (1) f(x)在x＝1处的导数f ′(1)； (2) f(x)在x＝2处的导数f ′(2)。 (3) f(x)在x＝a处的导数f ′( a)； (4) f(x)在x＝1处的切线方程； 问题7 由本例，f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，你可以得到什么结论？ 变式：已知函数f(x)＝，求f(x)在x＝2处的切线方程； 例2、　已知y =f(x) 的图像在点M（1， f(1)）处的切线方程是y=3x+1，求f(1) + f '(1) . 问题8 f ′(1) , f (1) 与f ′(x) 的含义有什么不同？ 例3、设函数f(x)可导，则当△x无限趋近于0时， (1)无限趋近于________； (2)无限趋近于________； (3)无限趋近于________。 任务三 知识梳理 1、函数在某一点的导数的定义 设函数y＝f(x)在区间( a，b)上有定义， x0∈( a，b)，若△x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝ x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝ x0处的导数，记作f ′ (x0)或y′| x＝ x0， 若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“△x无限趋近于0时， 无限趋近于常数A”就可以表示为 即 2、导数的几何意义 ①函数y＝f(x)在x＝ x0处的导数f ′(x0) 就是曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0)处切线的斜率，即k＝ 。 ② 函数y＝f(x)在x＝ x0处的导数f ′(x0) 精确的刻画了曲线上某一点处的变化趋势； 3、导数的物理意义 (1)物体运动位移s(t)在t＝ t0时的导数s′(t0) 就是物体在t＝t0时的瞬时速度，即v(t)＝ 。 (2)物体运动位移v(t)在t＝ t0时的导数v′(t0) 就是物体在t＝t0时的瞬时加速度，即a(t)＝ 。 5、导函数(导数)的定义 若函数f(x)在对于区间( a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点处的导数也随 着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导 函数，记作f ′(x)或y′| x＝ x0， 在不引起混淆时，导函数f ′(x)也简称为f (x)的导数。 即 或 6、 f ′(x0)与f ′(x)之间的关系 当x0∈( a，b)时，函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x0处的函数值，即： 活动四：课堂检测 课本第197页练习第1、2、3、4、5、6题。 学科网（北京）股份有限公司 $$