专项突破06 圆锥曲线中的向量共线问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

(小2)在椭满上，可改-3.解得。=2b=万，所以精司C的方 程为子1 (2)①解：由(1)可得A2(2,0),连接MA2,NA2,OM,ON,如图，因 3 为S-=Sa4h5a,=2,Sa4,0=2,所以Sae,=Saw0e: 则Saw2=S△4，所以ON∥MA:,所以直线ON的方程为 3 y=2 3 -23=1,x=-1, 由 2得 3或=3（含去)，所以N(,子)： 所以IMNI=3. ②证明：设直线MNy=x+m,M(1,为1)，N(,y3),P(,为)， (%）,则Q(-,-为)，如图 (y=kx+m, 联立x2y2 43L 可得(3+42)x2+8mk+4m2-12=0,所以x1+2= 8mk 42+3书3= 4m2-12 6m 4+3方+为=k(+)+2m42+3由4= 64m22+16(m2-3)(4k2+3)>0.得m2-3-4k2<0,所以中点H的坐 标为()所以如云故直线0=名 3 由P,Q,M,N四点共圆，得1HM1·N1=HP·1HQI,由1H1· 11=子MN12=子(1+)[(+)2-4aJ=12(1+)· 3 42+3-m2 y=、 (4+3)7,联立 可得2-16 16k2 2 3所以写43所以 43=1 91 42+3-m2 1HP1.H01=(+16）6-号1=(916)： 42+3)2 所以12(1+2) (42+3)2-(9+16k).4+3-m 42+3-m2 3 (4+3,解得=±公 所以m2<3+42=6,即me-√6,6，放1MN2=48(1+2)· 4+3-m2_42-m≤14，即1MN1≤年. (42+3)2 3 专项突破06圆锥曲线中的向量共线问题 1.解：(1)由已知F,(-3,0),F2(3,0),动点P满足11PF,1-1PF211= 26<F,F21,则动点P满足到两定点的距离之差的绝对值为定值， 满足双曲线定义，即点P的轨迹为以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点，实 轴长为26的双曲线，即C 2y2 63 （a0漫点M.,中点Q(空学，空宁） ,则k= 好片 ,又点M,N在曲线C上，则 63 =1, 两式作差 1X2 1 (631, 可得号黄疗 =0,即(）.)2 6 3 6 3 =0, 则名·与=2.少。1 1+2 22 ②方法一：设直线MNx=g-3,联立6了l·得(-2y2-6g x=y-3, 3=0.4=(-60)2-12(2-2)=242+24>0恒成立，且1*%2-2 参考答案 y1h2-2 又=2F,M丽=(-3-1，)，F=(+3,2),则=-22， 则*ag名2所以n高n岛所以 整理得户：云解得=生号即直线方程为： 7223 号3，即5+15=0该+5=0 方法二：由M=2F衣，MF=(-3-,为)，=(+3，h),得 ~3=2(+3),即年-29，将M,N的坐标代入双画线方程 -y1=2y2, 0y1=-2y2, 号片 631, (-2x-9)24奶 得 。63,① -②×4得36，+81 6 63=1,6=1,② 3,解得，三11，代人②得归=±8山、 号放直线e=号+3)，即红-+15=0度红区y 15=0. 2.解：(1)如图①，由题意可知圆M:(x+1)2+y2=16的圆心为 M(-1,0),半径为4，且IQP1=1QNI,则IOM1+1ON1=1QMI+ IQP1=1PM=4>2=MW,可知点Q的轨透是以M,N为焦点的椭 圆则a=2e=16=V可-店，所以G的方程为片号-1 2 (2)因为点N(1,0)在椭圆内部，可知直线1与椭圆必相交，如图② 方法一：设直线1：x=my+1(m≠0)，D(知1，)，E(,2）,则 x=my+1. 80,)）,联立方程已子1，消去x并整理得(3如24产 43 6m 9 6my-9=0,则%+=3m2+43m2+ 又因为励成=（日）或-，.若励：成则 日即%日可得口解得a=29所以1 的方程为=21，即取54-50 方法二：设D(,为)，E(,%),成=AN应(A≠-1)，则 =A(名-1)，即=-+1将点D,B的坐标分别代入椭 -为1=Ay2 （y1=-Ay2, 黑白题129 43 w. 4 圆方程得 即 ①-②×A2 43 疗1，@ 【43 得2A(1+)3+(1+4)2 4 1-识解得与公放 好=9-3A2+10A-3) 16A2 设B(0,),由励：或得-01：即色场故头3， y1t=-y2, 1+y2=4, 2A 5-3升=1，整理得32-81+3=0，将3+3=8代人后= 2 9〔-32+10A-3》,得疗= 9 16A2 由1=为+h=(1-A)h,得2=9(-A2.3(32+3-6d 8A 解得1号即a受） 8A 4 所以1的方程为y=1,即3xt2y-5=0 13 3.解：1)因为0=2动，面P(2,万)，所以4(1，-号)，代入挺圆 方，得时品10， 02,得产-2=1，故精圆的方限为号宁 (2)设A(,),B(2,2),C(,方).因为O币=2Ad,所以 P(-21,-21) 因为励=mB武，所以(-21-2，-21-1)=m(需-为2)，即 -2=m(》于是{ m=2 m -2别1为=m(为2)， m-2 代人椭圆方程得 3= mm方， 62 1,即÷(+)小 (停)® 因为A8在程质上，所子活1，亭吾1国 a262 因为直线04,0B的斜*之积为-宁，即兰·子=宁，结合②知 =0同， a262 将35代人8，得子a少1，解得m=多 m m 4.(1)解：设直线l1y=k(x-c),若k=5,有5=5(4-℃)→c=3. 「x好 ■1， 设A(1y1),B(2),则 a262 号 两式作差并整理得力 12 (a2621 为少26 ,代人斜率和中点得 65 又c=3,可得a2=4,2=5, 1+1a2 4 威双线r的方程为子子 选择性必修第一册·SJ (2)(i)证明：由题意可得P(Ax1+(n A),Ay+(n-A)2),Q((n-A)1+2: (n-A)为1+A2),由P在双曲线上，则 [x1+(n-A)2]2[Ay1+(-A)2]2 5 享）24aa(华学）1.所学学1 2A(n-A) 将Q代人双画线方程得a-A)+A]2.【(a-A+ 4 5 (n-A)2+A2+2A(n-A)· 1-A2-(n-A)2 =1,所以点Q也在双曲线 2λ(n-A) T上 (i)解：不存在理由如下：设P(),而A(1出1)，B(2)在 4y=(x-3)上，则P(Ax1+(n-A)x2,Ay+(n-A)2)满足为=Ay1+ (n-A)y3=Ak(1-3)+(n-A)k(2-3)=k[Ax1+(n-A)2]-3kn= k(3-3n),所以P在直线y=k(x-3n)上，同理，Q(x4y4)也在直线 y=k(x-3n)上，即直线PQ的方程为y=k(x-3n). （y=(x-3n), 联立x2y2,整理得5x2-4k2(x-3n)2=20,所以(5-42)· 45 -=1, 2+24nk2x-36k2n2-20=0,4=(24nk2)2+4(5-42)(36k2n2+20)= 720-2+00.所以与30则 5-42 圆心横坐标为12a 5-4h2 12k2n 24h2n 由题意1PQ1=2× 5-4报 5-4k2 ,即√1+13-无41= 242n 5-42 ,所以(9n2-20)k4+(45n2+5)2+25=0. 45n2+5 25 当n≥2时，片+号=9n-200,号=gn二200，显然不存在： 所以仅有n=1,则11k4-50k2-25=0.可得2=5（负值舍去），所以圆 12×5 心横坐标为-54，即圆的半径r=4,直钱P四y= ±5(x-3),可得圆心纵坐标为±5. 综上，圆的方程为(x-4)2+(y士√5)2=16，此时直线PQ与直线AB重 合，所以不存在满足要求的圆。 5.解：(1)由已知得1MF1=1MN1,故点M的轨迹C是以F为焦点，I为 准线的抛物线，设抛物线C的方程为户=2，则号=2，故p=4, .抛物线C的方程为y2=8x (2)方法一：由题意得，直线m的斜率存在且不为0.设直线m的方 程为y=(x+2)(k≠0)，与y2=8x联立并消去x整理得2-8y+ 16k=0,由4=64-4×162>0，得-1<k<1,∴斜率k的取值范围为 (-1.0)U(0,1) 设4(），与).则2=2n=16, 17A↓·11B1=(+2)2+7·√(2+2)2+y5= )·√)√)房 √g)房=(+)=16(） ke(-1.0u(0.)京1，故16+是)）>321m 的取值范围为(32，+0)： 黑白题130 方法二：T,A,B三点共线，1TA1·1TB1=1T.T1, 设A(1y),B(2为2)，则T=(1+2,出1)，T市=（与+2,2），T Ti=(x1+2)(2+2)+y1y2=1+2(x1+场)+4+12 若直线m的斜率为0，则直线m与抛物线没有两个交点，故直线m 的斜率不为0.设m=y一2，联立2整理得广-8y+16=0。 y2=8x, 故+2=8n,2=16,+=n(1+n)-4=8n2-4,=8 度=4，放77历+2(+场)+4=4+162-84+16 16n2+16 又4=64n2-64>0,解得n2>1,则T·Ti=16n2+16>32,即17A1· 1TB1的取值范用为(32，+). (第5题) (第6题) 「3.2 a23621, a=3, 6.解：(1)由题意可得 二25解得b=1,故椭圆「的标准方 a3 c=22. c2=a2-b2, 程为号 (2)①1PAI·IPB1=IPC1·IPDL.解析：由题意可知，点P(4,m) 在圆外，因为A,B,C,D四点共圆，所以∠PAC=∠PDB,∠PCA= ∠Pa0,所以△C△Pne,所以e-0故1P41·p81 IPCl·IPDI. ②k1+k2为定值设点A(1y1),B(,2),直线PA的方程为y= (x-4)+m,由题意可知，直线PA,PC均与树圆T相交，联立 =(-4)+m可得[(g-4)+4]2+9[(x-4)+m]2=9,可得 x2+9y2=9, (9k+1)(x-4)2+(18k1m+8)(x-4)+9m2+7=0,所以1,2为方程 (9k+1)(x-4)2+(18k1m+8)(x-4)+9m2+7=0的两根，令1=x-4, 二次方程可化为(9+1)2+(18k1m+8)+9m2+7=0,则名1-4,2-4 为关于：的二次方程(9k号+1)2+(18k1m+8)+9m2+7=0的两根由 达定可得（山0（与）产，因为P,AB三点共线，所 IPA1·PB1=pi.P1=(1-4)(名-4)+[k1(x-4)+m-m][(- 4到+mm]=(1+-40(6-4=1+(9m247 9+1 ，同理可得1PC1· 1Pp1=+5)(9nm2+7) 93+1 因为1PA1·1PBI=IPCI·IPDI,所以 (1+)(9m2+7)(1+号)(9m2+7) 9k好+1 ,即1妮 +9呢“1+9明整理可 得导-号=0，即(k-k)(k+k2)=0,显然1≠k2,故k+k2=0 1.（1)解：由双曲线C:号产=1(a>0)的焦距为25，得a2+1口 （5)',解得4，所以双线C的方程为号子1 (2)证明：依题意，设直线1的方程为x=my+4,M(1,为)， N(23) 参考答案 联立4，消去并整理得(m2-4)P+8my+2=0,由直线1 4=64m2-48(m2-4)>0. 与双曲线的右支交于M,N两点，可得 m2-4≠0， 12 参 hm240. 得-2<m<2,则方1+y2= 8m 12即2myn=-31 m2-41h“m2-4 而4(-2,0)，4(2,0)，所以克2 y(2-2）y(m2+2) “6五%(+2(m+6 2-2 3 13 my12+21 2 (1n)+2212 my:为+6y2 3 3+93为定值 1 （)*6:-21+2 (3)解：由(2)知2=-3k1,直线A,M:y=k1(x+2),直线A,N:y= 3张，(x2),则点G的横坐标6=1，于是5 LIGMIIGNIsin L MGN 2 ICMI cGtn, -=1c4·1c,=3 1 (my1+3)(m2+3)_m2y12+3m(+)+9.4m3 3 3 4-m+3≥3，当且仅 当m=0时取等号，所以之的最小值为3. 8.(1)解：如图①所示，由右焦点为F(4,0)得c=4,因为a1AM1= 1AFI,所以ala-1I=4-a 若a≤1，则a(1-a)=4-a,即a2-2a+4=0,无解； 若a>1,则a(a-)=4a,即a2=4,所以62=12，故c的方程为 4 2 (2)证阴：如图②所示，设B(1,),易知过点B且与C相切的直线斜 率存在且不为±√5 设y=k(x-1)+“,与C联立消去y并整理得(3-2)x2-2必(1-k)x- (-k)2-12=0,由4=42(1-)2-4(3-2)[-(1-)2-12]=0，整理 得3张2+2k-2-12=0. 设两条切线即，0的斜率分别为4，则与齿= ①因为=-6,0=-与，直线8F的方程为y写（-4)，则 售所以0-)+2=2=号=2，散R是P0 的中点 黑白题131 ②由题意M(1.0,F(4,0),s-右，0)r(-右0），所以 SM TM -24 -2 ISFI 由k1+k2= 3 得 3 一，所以 ITFI [*(] k,(t+3k2) k1(t+3k2) 专项突破07 圆锥曲线中的定点、 定值、定直线问题 1.(1)解：由产=-45x,可得P,(-反，0)，c=2又离心率为 2 六a=2,b=2椭圆C的方程为兰， 42=1 （y=红+m, (2)证明：设A(1）,B(22),由{x22 可得(2k2+1)x2+ 42=1 4mkx+2m2-4=0,4=(4mk)2-4(2k2+1)(2m2-4)>0,可得m2<2+ 42,x1+3= 4mk 2m2-4 2水2+11两-22+1 由直线FA与FB关于x轴对称，六4+，®=0，即 x1+w2 y2 =0y1(2+√2)+(+2)=(1+m)(+√2)+(2+ +2 m)(1+2)=0,即2kx+(2k+m)(x1+2）+22m=0,2k× 片兰(an(）小2-0，可得a-2a直线I的 方程为y=(x+22),恒过定点(-2迈，0)， 2(1)解：设抛物线C的方程为户=2(p>0),由题意可得号=1，则 p=2,则抛物线C1的方程为y2=4x,所以其准线方程为x=-1.因为 点P是抛物线C1的准线上任意一点，且纵坐标为1，所以P(-1,1) 过P作抛物线的切线，由题知斜率存在且不为0，设其斜率为k,则切 线方程为y=(+1)+11,联立 2=4x, ✉上1 消去x并整理 1 两根为k1,,所以·=-山 (2)证明：设点A(x1）,B(2）,P(-1,), 下面证明抛物线上点A处的切线方程为yy=2x+2x,联立 3y2=4, (y1y=2x+2x1, 消去x并整理得y2-2y1y+41=0,即y2-2y1y+y=0, 即(y少，)2=0，解得y=,所以抛物线上点A处的切线方程为 1y=2x+2x1,同理可得，抛物线上点B处的切线方程为2y= 2x+2x1 将点P的坐标代入切线PA,PB的方程可得=2-2：即 （y2=2x2-2, (2-2=0所以点A,B的坐标满足方程2-y-2=0,所以直 2x1-1-2=0, 线B的方程为2x-y-2=0.由2-2=0可得=所以直线B y=0, y=0, 过定点(1,0) 30)常：由图套可设双商线方程为号云=1(0>0,6>0)，双角线右 焦点坐标为(c,0),双曲线C过点 5 3,2 】,且焦点到渐近线的距离 选择性必修第一册·SJ 为1，根据题意可知渐近线方程为ay-bx=0,根据右焦点(c,0)到渐 近线的距离4：史6=L又因点，)在双鱼线上， √a+6c 所以代人可得 且9三1，解得心=4，故双曲线的方程为子=1】 。24 (2)证明：设A(x1y),B(2),则E(1,), 将直线1与双曲线的方程联立可得：一消去：并整理得 (x=my+1. 2m (m2-4)+2my-3=0,根据韦达定理可知1+1m二41·h 06-(之品 16m2-48_4√m2-3 4.则2√m24m41=m+1,m+ 1,所以有=m（2)-如，解得12 m2-4 m2-4 =,+1.(m-2,1:2-2nm2-4 m2-4 m2-4 -2m√/m2-3-4 m2-4 直线BE的方程为y+y,= 出（✉-），将已知代人得y 11 2m -m-2√m2-3 m2-4 -2m√m-3-4 m2-4 ,化简可得y= 4m√m2-3 m2-4 m2-4 1 (x-4),所以直线BE过定点，定点为(4,0) 2/m2-3 B (第3题) (第4题) 后竖做号1分即-谢又：损四 4.(1)解：由题意知e=二巨， 41 过点A(2,1)心2水尔1，解得=3，。2=6圆C的方程为 x22 631. (2)①证明：设M(力1)，N(2,2),MA⊥NM,M·=0, .(2-x1)(2-1)+(1-y1)(1-y2)=0 (1)当直线MN斜率不存在时，设1ww:x=t(t≠2)，联立 (x=4, 2 +23=01h=23,1+h=0(-2)24 341=0，解得1=2合去)或=号，此时m=子 2 2 (y=kx+m, (i)当直线MW斜率存在时，设wy=红+m,联立之，之1，得 (22+1)x2+4mx+2m2-6=0,.4=8(6k2-m2+3)>0,1+3= 4km _2m2-6 2462P4（ 又：(1-2)(2-2)+(-1)(y2-1)=0,(x1-2)(2-2)+ (x1+m-1)(k2+m-1)=0,整理得(k2+1)x12+[k(m-1)-2](x1+ 3)+m2-2m+5=0, 将(*)式代人整理得42+8km+3m2-2m-1=0,.(2k+m-1)(2k+ 白题132心专项突破0G 圆锥曲线中的向量共线问题 题组。向量中的共线问题 2.（2025·江苏南通海安高级中学高二期中) 1.(2025·江苏扬州高二期中)在平面直角坐 已知P为圆M:(x+1)2+y2=16上任意一 标系中，已知F,(-3,0),F2(3,0),动点P 点，点N(1,0),线段PN的垂直平分线与 满足IIPF,I-IPF2II=2v6,若点P的轨迹 PM交于点Q,记点Q的轨迹为C 为曲线C (1)求C的方程： (1)求C的方程 (2)过点N作直线I(与x轴不重合)与C (2)过点F,的直线1（斜率存在且不为0） 相交于点D,E,直线l与y轴交于点B. 与曲线C相交于M,N两点 BD=E,求1的方程 ①若MN的中点为Q,设直线MW和 0Q的斜率分别为k,2,求k1·k 的值： ②满足MF=2F,,求直线1的方程。 14黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 3.(2025·天津和平区高二月考)如图，在平4.(2025·重庆南开中学高二期中)已知双曲 角坐标系xOy中，已知椭圆，+ 线工1(a>0,b>0),过右焦点3@ (a>6>0)的离心率为子A为椭圆上异于 0)的直线L,与双曲线T交于A,B两点.当 直线L的斜率为5时，线段AB的中点为 顶点的一点，点P满足OP=2Ad (4,5). (1)若点P的坐标为(2,2)，求椭圆的 (1)求双曲线T的方程. 方程： (2)直线42上有两点P,Q满足：0P=入Oi+ (2)设过点P的一条直线交椭圆于B,C两 (n-A)0B,00=(n-A)0A+入0B,其中 点，且BP=mBC,直线OA,OB的斜率 A,n∈R已知，点P在双曲线T上 之积为)，求实数m的值 (1)证明：点Q也在双曲线厂上 (i)若neN°，是否存在以PQ为直径 的圆，与y轴相切？若存在，求出圆的 方程：若不存在，说明理由. 进阶突破·专项练1⑤ 题组三将几何关系中的线段长度乘积转化为6.(2025·江苏苏州高三月考)已知椭圆厂： 向量数量积问题 5.(2025·安徽铜陵高二月考)已知定点 手花-1(a>60过点(3，.且商心 F(2,0),动点N在直线1：x=-2上，过点N 作I的垂线与NF的中垂线交于点M,记点 常为22 M的轨迹为C. (1)求椭圆「的标准方程 (1)求曲线C的轨迹方程： (2)已知动圆M与椭圆T相交于A,B,C, (2)过点T(-2,0)作直线m与曲线C相交 D四个不同的点，直线AB,CD相交于 于A,B两点，求ITAI·ITBI的取值 点P(4,m),记直线AB,CD的斜率分 范围。 别为k1,k2 ①比较IPAI·IPBI与IPCI·IPDI的 大小（不要求写出证明） ②k,+k2是否为定值？如果为定值，求 出定值：如果不为定值，请说明理由。 16黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 题组目将几何关系中的线段、面积比例关系转8.(2025·山西晋城高二期中)已知双曲线 化为向量共线问题 7.(2025·江西上饶高二月考)已知双曲线 C:1(a>0,b>0)的右焦点为F(4 0),右顶点为A,直线1：x=1与x轴交于点 C,y2=1(0>0)的焦距为25且左、右顶 M,且alAMI=IAFI. 点分别为A,42,过点T(4,0)的直线1与 (1)求C的方程. 双曲线C的右支交于M,N两点， (2)点B为I上不同于点M的动点，直线 (1)求双曲线的方程： BF交y轴于点R,过点B作C的两条 (2)记直线AM,A,N的斜率分别为k,k2, 切线，分别交y轴于P,Q两点，交x轴 证明之是定位， 于S,T两点 ①证明：R是PQ的中点： (3)设G为直线A,M和A,N的交点，记 ISMI ISFI △GMN,△GA,A2的面积分别为S,S2, ②证明：1TM1TF西 本爱甜级小临 进阶突破·专项练7