专项突破01 直线中的对称和定点问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

又)在R上单调递减，所以))，k) <0,故 2 -1<k<0. (3)函数h(x)=e+a2-ex2-(a-1)x,h'(x)=e'+3ax2-2ex-a+1, 若h(x)为区间[0,1]上的“一阶有界函数”，则1h'(x)1≤1，-1 h(x)≤1对xe[0,1]恒成立，则1h'(0)1≤1,12-a1,1≤a 3:w0)1≤1,2ae1≤1，会2≤a≤则1≤a≤受 令T(x)=h'(x)=e2+3x2-2ex-a+1,T(x)=e'+6x-2e,其中1≤ 因为y=c',y=6ax在区间[0,1]上单调递增，所以T(x)=e+ 6ar-2e在区间[0,1]上单调递增 因为r(号）-+2a-2a<0,r()=6M-e>0,所以存在6e (行1）r()=0,即e+6a-2=0,当0r时，r(e到 0,T(x)单调递减；当o<x<1时，T(x)>0,7(x)单调递增 所以'(x)在区间(0，o)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，所 进阶突破·专 专项突破01直线中的对称和定点问题 4-3 1.A解析：因为w=1之了，所以=3，又A,B的中点(2 子)在直线1上，所以直线1的方程为子=3(-）即3 7 y+2=0.故选A. 2.A解析：由于直线x+2y-3=0与直线a+4y+b=0关于点A(1.0)对 称，所以两直线平行，故2a=4,则a=2,由于点(3,0)在直线x+2y 3=0上，(3,0)关于点A(1,0)的对称点为(-1,0)，故(-1,0)在ax+ 4y+b=0上，代人可得-a+b=0,故b=a=2.故选A 四方法总结 若直线1,2关于点A对称，则直线11,2平行，且1上任意一点关 于点A的对称点都在直线与上， 3.A解析：因为直线1：x+by+c=0与直线关于直线x+y=0对称，所 以在方程ax+by+e=0中，用-x代y,以-y代x,得-y-bx+c=0,化简】 得bx+ay-c=0.故选A 4.D解析：设所求曲线上任意一点A(x,y),关于直线1：x-y-3=0的 (x+xyy-3=0 22 对称点为B(x,y).因为 所以3因为 y-y y=x-3. -1, -x B(x',y)在已知曲线fx,y)=0上，即x',y)=0,所以有y+3,x 3)=0.故选D. 62 解析：如图所示，点0(0,0)关于1：x+y-1=1 x+y-1=0, 0的对称点为A(1,1),由 解得 y= 1 1 k 所以P'1 1k】 y=1+k' 因为点4，P,M三点共线，则1=（-)， 令y=0,得x=1-,所以M(1-k,0),点P关于x轴的对称点为 r() 因为点P,M,N三点共线，则rwy=衣(x-+k), 选择性必修第一册·SJ 以'()-='()=内+3a号-2。-a+1=e(1-7 设ue-e(）a(5a购ew ).13e.1-3-3 6x2 +e 3x2 =6[o(-1)+2e],图为了<x<1,所以 c(-1)+2c>0,所以当e(行号）时pe>0e)单调遥增。 当e(停1)时p(<0,(国单周递减，所以(o>p(行）， p(xo)>p(1), 又3o()广，所以（）-+1-1p=子+ 1>-1,所以'()=p()=2e-a+1>-1,所以a<2e+2, 棕上ae,宁] 项练参考答案 令x=0,得y= 生所以N(o,生)所以wN 6.解：如图，作点B关于，的对称点B”,过 点A作直线1⊥1，并在！上取一点A'使 得AM'=PQ,连接AB与2的交点为Q, 过Q作QP⊥L于点P可得图中的点P, Q就是所求作的点， P+PQ+QB=A'Q+PQ+OB≥PQ+A'B,又因为PQ为定值，所以A', Q,B'三点共线时，折线段APQB的长度最短， 由题意可知，直线1y+8=（(x+3),即4红-3-2=0，不妨设4'(3m, 4m-4),又因为P0=10--15-5,所以3m+344m+4. /32+42 5,解得m=0或m=-2(舍)，即A'(0,-4): 64 148 3· 2+4. 2l5=0, 设点B(a,b),则 解得a=10,即 16=4, 3 4 4-1, a2 B(10,4), 所以kA容= -(-4)4 10-0 =子，放直线4B:+4=子(：-0).即4 5y-20=0, 则仁红，G0解得0Q(5,0).故折钱度8的长度批短时，直 线PQ的一般式方程为4x-3y-20=0. 7.D解析：由2a+5=1,得b=1-2a,代人直线方程ar+3y+6=0中，符 +3y+1-2a=0,即ax-2)+3+1=0.令20，解得 13y+1=0, x=2, 所以该直线必过定点2，弓)放选D y=3 &c解折直线名的方程可化为(-2小+1y=0,由行8 {=2所以直线1过定点4(2,1)，点4(2,1)关于点(1,0)的对称 (y=1 黑白题120 点为(0，-1)，因此，直线2恒过的定点为(0，-1)故选C 9.A解析：由于x+my-m=0经过的定点为(0， 1),所以A(0,1),直线-y-m+3=0变形 为m(x-1)-y+3=0,所以经过定点(1,3)，故 B(1,3).因为1·m+m·(-1)=0,所以两直线 垂直，如图，因此△ABP为直角三角形，所以 1P0=h1=0-o4(3-可 1 2 故选A 10.30°≤a<135°解析：直线l:x+my+√3=0过定点A(-√3,0)，射线 x+y-1=0(x≤0)端点为B(0,1),倾斜角为135°，当直线1与射线 3 交点为点B时，此时直线1斜率为kw=了，倾斜角为30，当直线1 与射线平行时，直线1倾斜角为135°，此时没有交点，可知当30°≤ a<135时，直线与时线相交故答案为30°≤a<135 专项突破02与圆有关的综合问题 1.A解析：由题意，两圆半径相等，所以√5-=2，解得a=1.故选A 2.C解析：由题意可得，圆C1:(x-4)2+(y4)2=25的圆心为(4,4)， 半径为5.因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+√5y+1=0对 称，又C:2+y-4*m网+3=0的圆心为(2，-空)所以2+万× （受1=0，解得m=25,所以圈G:(-2)2+(5)2=4,图 心为(2，-5)，半径为2，则两圆圆心距1CC21= √(4-2)2+(4+3)，因为5-2<1C1C21<√4+36<7=2+5，所以圆 C1与圆C,的位置关系是相交故选C. 3.D解析：圆C:(x+2)2+(y-3)2■1的圆心为(-2,3)，半径为r=1. 因为直线1，b2关于直线y=2x-1对称，L1,2也关于直线CP对称， 则直线CP与直线y=2x-1垂直，所以直线CP的方程为y-3= 6 (x+2),即x+2y-4=0,由24=0，解得 y=2x-1, 了所以点P y25' 的坐标为(？，子）故选D, 4.D 解析：点A(,1),B(,2)的“对称距离” √（名y)+(x+)了，相当于点B关于直线1：y=-x的对称点B (-2,-2)与点A的距离，所以当点A,B在圆C上时，点B在圆C 关于1的对称圆c上，又圆心C到直线1的距离d=440=22,所 以圆C与1相离，从而贸C与圆C外离，所以A,B的“对称距离”的 最小值，即为两圆上的点A,B的距离的最小值，也即点A到I的距 离的最小值的两倍，其中点A到1的距离最小值为圆心C到直线1 的距离诚去半径，即22-2，所以所求最小值为2×(2√2-2)=4W2 4.故选D. 5.3x+y-3=0解析：若A,B关于直线x+y-3=0对称，则直线经过 圆心C(0,1),将坐标代入可得a=3. 若圆上存在A,B两点关于点P(1,2)对称，则CP⊥AB,且P为AB的 中点， 心k如-。-1，放=-1，六直线AB的方程为y-2=-(x-),即 x+y-3=0.故答案为3，x+y-3=0. 6.BCD解析：由圆0：x2+y2=4,则园心0(0,0)，半径r=2,由于 1OM1=√1+2=√3<2，所以点M在圆0内部.当OM⊥AB时， 1AB1m=2√P-OMT2=2V4-3=2,故A错误；此时圆0上的点到 直线AB的距离最小为O,圆O上的点到直线AB的距离最大为 IOMI+r=2+√3，故CD正确：当直线AB的斜率不存在时，直线AB 的方程为x=1此时A(1,3),B(1,-√3)，则1AB1=23. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-√2=k(x一1)， 参考答案 即红y6+2=0,则圆心0(0,0)到直线B的距离为4=1-+2 +1 所以1AB1=2√P-d=24 -+21 32+2W2k+2 k2+1 当1AB1=3时，即2 3k2+22k+2 =3,整理得32+82k-1=0,由于 k2+1 4=(82)2-4×3×(-1)=140>0,则方程3+82k-1=0有两个不 相等的实数根， 则满足IAB1=3的弦有且只有2条，故B正确， 故选BCD. 7.D解析：*2+y2-2x-4y=0可化为(x-1)2+(y2)2=5,故圆N的园 心为(1,2)，半径为5， 由题意可知，AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所 以1AB1≤2且1ABI≤2W5,故1AB1≤2， 当M的坐标为(1,0)时，IAB1=2,在△NMB中，C0s LANB= ao.0号 2INAI·INBI 又∠ANBe[0,r],y=cosx在xe[0,r]上单调递减，放LANB为锐 角，且当om∠ANB=号时，LANB最大. 又y=m在e(（受，号）上单调递增，所以当∠B最大时。 m∠AB取得最大值，且最大值为子故选D, 8.D解析：由题意，1PN1-PMI的值最大时，1PWI最大，IPMI最小. 设调E:4(1)2=,可得圆心B(0,),半径= 设调F(-2)P=子，可得圆心2,0)，半径子 则PN的最大值为IPI+子，1PW1的最小值为IPE-子，所以 1 (IPNI-IPM)-IPF1+2-IPEI-2)=IPFI-IPEI+1. 因为P(:,)在直线y=x上，E(0,1)关于y=x的对称点为E(1,0) 直线EF与y=x交点为O(0,0),所以IPF1-IPEI=1PF1-IPE'I≤ IEF=1,P,E,F共线时等号成立，所以IPVI-IPMI的最大值为1+ 1■2故选D. 9.49解析：由x2+y2-6x-8y+21=0,得(x-3)2+(y-4)2=4,则方程 x2+y2-6x-8y+21=0表示以C(3,4)为圆心，以r=2为半径的圆， x2+y2表示圆上的点(x,y)与原点0之间距离的平方， 设点(x,y)与原点0之间距离为d,则dm=10C1+r=√3+4+2= 7,所以￥2+y2的最大值为49.故答案为49. 10.V2石解析：由题意，设21PA1=1PE1,P(x,y),E(m,n),所以 4w101=m+0,则24,8号 m2+n2-4 3 8+2m=0, 由于P(,y）是C:x2+y2=4上的点，所以2n=0, 解得 m2+n2-4=12, m4即E(-4,0),所以21PA1+PB1=PE1+1PB1≥BE1= ln=0. 黑白题121心专项突破01 直线中的对称和定 题组点与直线的对称问题 1.(2025·江苏宿迁高二期中)已知点A(2, 3)与点B(-1,4)关于直线1对称，则直线1 的方程为 () A.3x-y+2=0 B.x+3y+2=0 C.x+3y-2=0 D.3x-y-2=0 2.(2025·河北邢台高二月考)已知直线x+ 2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1, 0)对称，则实数b的值为 A.2 B.6 C.-2 D.-6 3.(2025·江苏南通启东中学高二月考)已知 直线l:ax+by+c=0与直线'关于直线x+ y=0对称，则'的方程为 A.bx+ay-c=0 B.bx-ay+c=0 C.bx+ay+c=0 D.bx-ay-c=0 4.曲线C:f(x,y)=0关于直线l:x-y-3=0的 对称曲线C'的方程是 A.fx-3,y)=0 B.f(y+3,x)=0 C.f(y-3,x+3)=0 D.fy+3,x-3)=0 5.设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点0出 发沿射线y=x(x≥0)向直线l射出，经l 反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射 后与y轴交于点N若MN= 2,则k的 6 值为 6已知两定点4(-3，-8)，B( )及两 平行直线L1:3x+4y+10=0,l2:3x+4y-15= 0,试在直线1,2上分别求出点P,Q,使得 点问题 PQ⊥L1,且折线段APQB的长度最短，并写 出此时直线PQ的一般式方程 题组三直线中的定点问题 7.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0 必过定点 () A(号2) B.（ c.(zc) n.2,) 8.(2025·山东泰安高二期中)已知直线(1： y=x-2k+1与直线2关于点(1,0)对称， 则2恒过的定点为 () A.(2,1) B.(2,-1) C.(0,-1) D.(-1,-1) 9.(2025·江苏徐州高二月考)设m∈R,若过 定点A的动直线x+my-m=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y), AB中点为Q,则IPQ1的值为 () A. 5 B.5 2 C. 5 D.与m的取值有关 10.(2025·辽宁沈阳高二月考)已知直线1： x+my+√3=0与射线x+y-1=0(x≤0)相 交，则1的倾斜角的取值范 围是 进阶突破·专项练01 ©专项突破02 与圆有关的综合问 题组。圆的对称问题 1.(2025·陕西安康高二期中)若存在点P, 使得圆C,:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+ 2y+a=0关于点P对称，则a=（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2025·河南南阳高二月考)已知圆C,的 标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2: x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+W3y+1=0对 称，则圆C,与圆C,的位置关系为() A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 3.(2025·浙江温州高二期中)过直线y=2x- 1上的点P作圆C:(x+2)2+(y-3)2=1的 两条切线11，l2,当直线L1,l,关于直线y= 2x-1对称时，则点P的坐标为( A.(1,1) () B. c ( n.(g) 4.(2025·山西晋城高二期中)已知点A(x1, y1),B(x2,y2),定义√（x1+y2)2+(x2+y1) 为A,B的“对称距离”.若点A,B在圆C: (x-4)2+y2=4上，则A,B的“对称距离”的 最小值为 () A.2 B.2√2 C.√2+1 D.42-4 5.(2025·江苏无锡高二月考)已知A,B两点 是圆C:x2+(y-1)2=4上的两点，若A,B关 于直线x+ay-3=0对称，则实数 a= :若点A,B关于点(1,2)对称， 则直线AB的方程为 02黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 题 题组已圆的最值问题 6.(多选)(2025·辽宁省实验中学高二期 中)已知点M(1,√2)，过点M的直线交圆 0:x2+y2=4于A,B两点，则下列说法正确 的是 () A.IAB1的最小值为1 B.满足IAB引=3的弦有且只有2条 C.当1AB1最小时，圆0O上的点到直线AB 的距离最小值为0 D.当IABI最小时，圆O上的点到直线AB 的距离最大值为2+√3 7.(2025·江苏扬州中学高二月考)若圆M: (x-cos0)2+(y-sin0)2=1(0≤0<2π)与圆 N:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点，则 tan∠AWNB的最大值为 () 3 A. B. 5 4 5 4 c. 4 D. 8.(2025·江苏徐州高二月考)已知点P(t, t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=子上的动 点，点N是圆(-2)2+=上的动点，则 IPNI-IPMI的最大值是 () A.√2-1 B.√3-1 C.1 D.2 9.(2025·浙江宁波高二期中)已知实数x,y 满足x2+y2-6x-8y+21=0,则x2+y2的最大 值为 10.(2025·广东汕头高二月考)现已知定点 A(-1,0),B(1,1),点P是圆C:x2+y2=4 上的动点，则2IPAI+IPBI的最小 值为