5.2.3 简单复合函数的导数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

g,可得f()产山0”()=方有解，所以D符合题意放 选BCD. 9.D解析：设切点坐标为(0，n0),易知y=,因此k=1,所以 0 切线方程为y-ln0 （xr0),即y=-1+h,可得-1+a 1,期加名=2可得名，所以古之故线D 10.y=x+1解析：y=e',则y=e,切线斜率为k=e'0,由于切线与直线 y=x+3平行，切线斜率为e0=1,于是得。=0，y%=e'0=1,所以曲 线y=e在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.故答案为 y=x+1, 1.年解折：记)=g()=,则()之8(x=2x,在它 3 们的交点坐标(1,1)处的两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x 1,它们与x轴所围成的三角形的面积是子 12.D解析：对于A"(x)=2x,由x2=2x,解得x=0或x=2,所以八x) 存在“巧值点”： 对于B时)上，知图作函数)与()的图象，由图可知函 数x)与'(x)有交点，则方程八x)='(x)有解，所以(x)存在 “巧值点”： f(x) f(x) 234 对于C:(x)=csx,由sinx=cosx,得anx=1,解得x= 4 kr,kEZ,所以f八x)存在“巧值点”： 对于D（x)=2n2,因为2>0，所以2=2n2无实数解，所以 八x)不存在“巧值点” 故选D, 13.A解析：由定义可得(x)=(nx)'=cosx,2(x)=(cosx)'= -sinxfa(x)=(-sin x)'=-cosfa(x)=(-cosx)'=sin=(x), 因此f(x)1是以4为周期的周期数列，枚f五ms(x)=f(x)=cosx 故选A 5.22函数的和、差、积、商的导数 白题 基础过关 1.B解析：对于A:(2+x)'=2·1n2+1,故A错误： 对于B:(3)=3e',故B正确： 对于c(） =(x2)- 对于D:osx】 cs产(cos)'_osn,放D错误 故选B 2.A解析：因为八x)=x2+e,所以(x)=2x+e2,则了(1)=2+e,所以 一1a2四020液鑫人 Ax 3C舞折：因为中兰气所以f(6)中产=1，即h名 +1.故选C 4.一T解析：因为f(x）=xinx,所以f(x)=inx+x0ox,所以 了（π）=in霄+TcoT=-π.故答案为- 5.D解桥：由y=2n,求导得y=2,则y1=2,因此曲线y= 2山在点(c,2)处的切线方程为y2-名。)，即y-子放选D 2 参考答案 6.B解析：由y'=e'sin+ec0%x,则曲线y=e'sin x在x=0处切线的 斜率k=y1-0=6°si0+e°c0s0=1.故选B. 7.BC解析：y=x3-x求导得y=3x2-1,设切点为(m,m3-m),则斜 率k=3m2-1,切线方程为y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m), 又切线过点M(1,0),所以-(m3-m)=(3m2-1)(1-m),整理得 (m-1)2(2m+1)=0,解得m=1或m2 1 当m=1时，k=2,切线方程为2x-y-2=0. 当m号时k:,初线方程为4女10 故选BC. 8.D解析：因为f(x)=ae,g'(x)=-inx,所以f(0)=a,g'(0)=0, 所以a=0.又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，所以 代0)=b=2,解得，=2所以b+c-a=2+1-0=3.故选D. lg(0)=1+c=2, 9.xy+1=0解析：函数八x)=inx+1的导函数为f(x)=csx,所以 八0)=sin0+1=1f'(0)=cw0=1,所以函数f八x)=inx+1在x=0 处的切线的斜率为1，切点为(0,1)，所以函数八x)=inx+1在x=0 处的切线方程为x-y+1=0.故答案为x-y+1=0. 10.解：(1)当a=1时，(x)=-22,所以了(=1-hx-4红= 2 1-In x-4x (2)因为()=1-h-4a,所以f'(1)=1-4a,由题意知(1- x2 4a)·g=-1,即4a2-a-3=0,所以(4a+3)(a-1)=0,所以a=1 3 或a=一 3 4 11.A解析：由f代x)=2(1)nx+ 可oa放 f'(1)=2f'(1)-1,解得f'(1)=1故选A 12.0解析：因为f八x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f(x)=3x2+2ax+(a 3).因为f'(x)是偶函数，则f(-x)='(x),即3(-x)2+2(-x)+ (a-3)=3x2+2ax+(a-3),即4ax=0,所以a=0,故答案为0. 5.2.3简单复合函数的导数 白题 基陆过关 1.BCD解析：对于A选项，(e)'=e·(3x)'=3e”,A错误： 1 对于B选项，（√+4）' 212B正确 对Fc选项【-(2+g)门=-[-血(2x+若)]x2 2(2a+），c正确 对D港项()广士·()广.22 (2-x)2 2-x (2-可)D正确故选BCD, 2 2B解折：()品则2)严2品2，解得4=子放选 3.e血·eo%x解析：由f(x)=(e血)'=e·(inx)'=em年· cosx,故答案为e血1·cosx 4.0解析：由题设F(x)=3xf(x2-1)-3xf(1-x3),所以F(1)= 3f'(0)-3f(0)=0.故答案为0. 2 5A解析：帐感意，切点为(-1。-1》中2所以切线的斜率为 y1,1=2,所以切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.放选A 6C解析：设切点坐标为(，h(m+a),y=。放斜率本s mta 1→m+a=1,又切点在直线上，ln(m+a)=m+1,所以m=-1,所以 a=2.故选C 黑白题079 7.牙（或45）解析：由题意得f()=(e)=。1,当x=1时，切线 的斜率为1，故切线的倾斜角为牙故答案为：或45 &.解析：由y=加2am可得/=m2ar·2a=2acm2a,所以在点 (0,1)处的切线斜率k=y,-0=2acos0=2a又因为切线与直线2x- 1=0蒲直，即可得2x2=-1,因比a=放答案为-子 9.解：(1)由导数公式得(x)=-3x2+1,由复合函数求导法则得 g'(x)=-2e21: 由”(x)=-3x2+1可得曲线y=八x)在点(1,1)处的切线的斜率k= f(1)=-3+1=-2,从而切线方程为y-1=-2(x-1),即y=-2x+3. (2)由g'(x)=-2e2+1,设A(y0),则y=g(x)在点A(0)处的 切线斜率为g()=-2e01,由题意可得-2e201=-2,从而0= 分此时切点坐标为（合）。 所以商线y产4()在x=号处的切线方程为y一1-2（子），即切 线1'的方程为y=-2x+2 10D解桥：易得g(0)=,由题知ge器g() es2x+2in2xeos_s2x+2sm2子.故g(0)=0,g(0)=1,所以 cos'x 1故选D 8e)1+,故a=0,6= 11.-2解桥：记g(x)=fnx)=2e,则g'(x)=f(hx)·(血x)', 即-2”（山）·，令1得-20(0)×1，解得 f'(0)=-2.故答案为-2. 5.2 阶段综合 黑题 阶段化 1.BD解析：对于A, =()y=1-g2=1京，放A 错误； 对于B,(tnx)'= nx） (sin 'cos s-(cos x)'sin cos'x cos'xtsin1 c082x 子故B正确； 1x2xx-In 2s 对于c[]山2 1-n2x 故C错误； 对于D,[(3x+1)2e4]'=[(3x+1)2]'e+(3x+1)2(e)'=(18x+ 6)e=+(3x+1)2（-3e)=(3-27x2)e,故D正确，故选BD. 2.C解析：由函数f(x)=aa,可得(x)=a(a+b)x-1,因为 -12,房以2解科8数选C (a+b-1=3, 3.A解析：因为八x)为侗函数，所以八x)=f(-x),两边求导，可得 [U八x)]'=[八x)]'f'(x)='(-x)·(-x)'→f(x)=-f(-x). 又)在(1)处的切线方程为一2+1=0，所以/()=子，所 以f(-1)=(0)=2故选A 4.D解析：令x=1,得1)=1+f'(1)f1)+1,解得f(1)=-2,所以 f(x)=e-1-4x+f1), 令x=1,得f'(1)=1-4+f(1)=-2,解得f(1)=1,所以f(x)= e-1-2x2+xt1, 所以f(x)=e1-4x+1,所以f广(2)=e-7,故选D. 5.B解析：由y=(x-1)e,得y=e+(x-1)e=xe,设过点A(a,0)的 直线与曲线y=(x-1)。切于点(0，(0-1)0），则切线斜率= oeo,所以切线方程为y(0-1)e0=x0e(x-). 选择性必修第一册·SJ 因为切线过点A(a,0),所以0-(。-1)c0=oeo(a-),整理得 x号-(a+1)xo+1=0. 因为过点A(a,0)的切线有两条，所以方程x行-(a+1)o+1=0有两 个不等实根，因此4=(a+1)2-4>0,解得a>1或ac-3,即实数a的 取值范固是(-，-3)U(1,+).故选B. 6.D解析：过点P作曲线y=nx-x2的切线，当切线与直线1：x+y-4= 0平行时，点P到直线l:x+y-4=0距离最小 设切点为P(%)(0>0),y=-24,所以切线斜率k=-2. 由题知上-2=-1，解得0=1或0=-2（舍），所以P(1,-,此 时点P到直线4+y4=0距离d=-41=2w2.故选D 7.D解析：由f(x)+对(x)=e,即xf(x）+xf(x)=e,即 [fx)]'=e,所以fx)=e+c,e是常数 当x=1时八1)=e+e=0,所以c=-e 当x=-1时，-1)=e1-e,得-)=。】故选D. e 四重难点拨 利用导数运算构造函数的常见形式： D[efx)]'=e[nf(x)+f(x)]; ②[xfx)]'=x1[n/x）+'(x)] 8.B解析：令g(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)(x-5),则f八x)=(x-2): g(x),两边求导得到f(x)=g(x)+(x-2)g(x),令x=2,得到 f(2)=g(2)=-12故选B. 9.八x)=x(答案不唯一)解析：两条切线互相平行应先满足在切点 处的导数值相等，例如f代x)=x,f(x)=3x2f1)=1f八-1)=-1，此 时(1)=3、(-1)=3，函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2,函 数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2,符合题意故答案为八x)= x(答案不唯一). 10.-2n2解析：y= e -=e1,设直线y=x+b与函数y=c-1的切点为 (k=611, (）,又y=e,所以=e1, y1=1+6 设直线y=x+b与函数y=。-2的切点为(，2)，又y=e,所 (k=e2, 以2=-2， y2=2+6, 由e11=e可得x1-1=2,由1=e11,为2=e中-2可得1为2=2， 又为3=k(-2）,所以k=2 由e2=2,得2=n2,所以6=为-k2=e2-2-k2=2-2-2n2= -2ln2.故答案为-2ln2. 压轴挑战 AC解析：对于A,因为f(x)是奇函数，所以f八x)=f八-x),求导可得 f(x)=∫(-x),即g(x)=g(-x)又因为(x)-g(x)=a,则f(-x)- g(-x)=a,即-x)-g(x)=a,可得八x)+g(x)=-a,放A正确： 对于B,联立方程)解得 t)=-a 2 则() x)+g(x)=-a, 8(z)=a'ta 2 oh-g),可得aa=-1,解得a=e,所以)=之 2 g=。e二因为g1=ce二+1≤2Vc1=0,当且仅 2 2 2 当e=e,即x=0时，等号成立，即g(x)≤-1，故B错误； 对于C,由gx)=。+ 2,得g(x)=- 2八x),故C正确： 对于D,因为2x)=-e》 2=2x把x- 2 2 2 -=-2x)g(x),放 D错误 故选AC 黑白题0805.2.3简单复合函数的导数 白题 基础过关 限时：25min 题组1求简单复合函数的导数 9.已知函数f(x)=-x3+x+1,g(x)=e1.若曲 1,（多选)下列求导运算正确的是 线y=f(x)在点(1,1)处的切线为1. A.(em)'=3e (1)分别求f(x),g(x)的导数，并求切线1的 B.(x+4)'= 方程； 2√x+4 (2)若点A在曲线y=g(x)上，在点A处的切 c.[-cos2x+g)r=2sim(2x+石)） 线'与直线1平行，求切线1'的方程. D. 2 2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x), 且f'(2)=2,则实数a的值为 ( C. D.1 3.已知f代x)=ens,则f'(x)= 4.已知fx)在R上可导，F(x)=fx3-1)+1- 题组3简单复合函数的导数的应用 x3),则F'(1)= 10.(2025·黑龙江大庆高二期末)泰勒定理是 题组2利用简单复合函数的导数求解切线 微分学的重要定理，是英国著名数学家布鲁 问题 克·泰勒于1712年在一封信中首次提出， 曲线y本2在点(-1，-1)处的切线方程是 5. 其核心思想是用函数在某个点的导数值作 为系数构建一个多项式来近似表达函数，设 ( 函数f(x)的导函数为f'(x),∫'(x)的导函数 11 A.y=2x+1 B.y= 2*2 为f”(x),则函数f(x)可用泰勒定理近似表 13 达为fx)=f0)+'(0)x"(0)x,若函数 C.y=-2x-3 D.y=22 2 6.(2025·江苏盐城高二期末)已知直线y=x+1 gx)=可用泰粉定理近似表达为 cOS x 与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为( g(x)=1+ax+bx2,则 () A.-1 B.0 C.2 D.1 14.a=1,b22 B.a=1,6= 2 7.(2025·河南周口高二期末)曲线f(x)=e 在x=1处的切线的倾斜角为 ca=0,b=号 na=0,6:7 8.设曲线y=sin2ax在点(0,1)处的切线与直 11. 已知函数y=f(x),其中f(nx)=2e, 线2x-y+1=0垂直，则a= 则f'(0)= 选择性必修第一册：SJ黑白题110 5.2阶段综合 黑题 阶段强化 限时：35min 1.(多选)(2025·浙江杭州高二期末)下列函数6.若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P 的求导运算正确的是 ( 到直线1：x+y-4=0距离的最小值为（) A(=1 2 .2 B.2 B.(tan x)'=- C.2 D.22 s2x 7.(2025·山西运城高二期末)当x≠0时，设函 c241h2 数f(x)存在导数f'(x),且满足f(x)+ f'(x)=e,若f1)=0,则f(-1)=() D.[(3x+1)2e3a]'=(3-27x2)e3 1 2.已知函数f(x)=ax的导函数为f'(x)= A. --e e 12x3,则 ( C.0 A.b(a+b)=12 D.e-1 B.a(a+b)=36 8.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x C.a=3,b=1 4)(x-5),求f(2)= D.a=1,b=3 A.0 B.-12 3.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1， C.-120 D.120 f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的 9.已知曲线y=f八x)存在两条互相平行的切线， 导函数为f(x),则f'(-1)= 请写出一个满足条件的函数： 10.(2025·江苏淮安高二月考)直线y=kx+b与 A司 函数y=。和y=c-2的图象都相切，则 C.-2 D.2 4.已知函数f(x)=e-+f'(1)x2+f(1)x+1,则 b= f(2)= ( 压轴挑战 A.e+2 B.e-3 (多选)(2025·江苏盐城高二期末)已知函数 C.e-5 D.e-7 f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记 5.(2025·湖南长沙高二期末)已知过点A(a, g(x)=f'(x).若f(x)是奇函数，且f(x)- 0)可以作曲线y=(x-1)e的两条切线，则实 g(x)=a(a>0且a≠1)，则 数a的取值范围是 A.f(x)+g(x)=-a* A.(1,+0) B.g(x)>-1 B.(-∞，-3)U(1,+0) C.g'(x)=f(x) C.(-o,-e)U(2,+∞) D.f(2x)=2f(x)g(x) D.（-∞，-2)U(2,+0) 进阶突破拔高练P13 第5章黑白题111