5.2.3 简单复合函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.2 导数的运算 5.2.3简单复合函数的导数 一、知识回顾： 思考 我们已经学习了导数的计算，大家都知道函数y=sin x的导数是y=cos x，那么函数y=sin 2x的导函数是不是y=cos 2x呢？ 答案是否定的，怎样求诸如y=sin 2x的简单复合函数的导数呢？ 让我们进入本节课的学习！ 一、知识回顾： 问题1 一、知识回顾： 问题2 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)， 如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数， 那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 注意点：内、外层函数通常为基本初等函数. 一、知识回顾： 复合函数求导法则 提示：一方面， 二、新知探求： 另一方面，将y=(3x-1)2看成由y=u2及u=3x-1复合而成，并将y关于u的导数记为 即 二、新知探求： 问题4　如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示　y＝2sin xcos x， 由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x； 从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u， 它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x， 它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 二、新知探求： 二、新知探求： 复合函数的求导法则 符号表示 语言叙述 y=f(u)， u=g(x)， y′x=__________ 特别地，y=f(u)，u=ax+b， 则yx′=yu′·ux′=yu′·a y对x的导数等于____________ ________________. u对x的导数的乘积 y′u·u′x y对u的导数与 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 复合函数 中，令 ，则 注意： 对x求导 二、新知探求： 拓展：复合函数导数运算法则证明 设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x), 函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u), 则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′x= f′(u)·u′(x). 二、新知探求： 证明:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu,Δy. 因为u=φ(x)在点x处可导,所以u=φ(x)在点x处连续, 因此当Δx→0时,Δu→0. 二、新知探求： 判断正误： (1)函数y=2x+1是复合函数.( ) (2)函数y=sin(2x+ )是由函数f(u)=sin u和u(x)=2x+ ， 按照y=f(u(x))复合而成的.( ) (3)若y=f(ax+b)，则y′=f′(ax+b).( ) 提示：(1)不是.函数y=2x+1是一次函数,不是复合函数. (2)研究复合函数，首先弄清它是由哪些基本初等函数复合而成的，怎样复合的,所以(2)正确. (3)根据复合函数的构成以及求导法则可知(3)错误. 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、新知探求： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 求复合函数的导数的步骤 求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 三、典型例题： 解： 四、达标检测： A 四、达标检测： B 四、达标检测： 解： 四、达标检测： 解： 四、达标检测： 解： 四、达标检测： 解： 五、课堂小结： 1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化. 已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)． 这三个函数都是复合函数吗？ 提示：函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数， 函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数． 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u， 从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的， 即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数． (2)函数y＝eq \f(1,2x－13)可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－eq \f(6,2x－14). 例1　求下列函数的导数. (1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq \f(1,2x－13)；(3)y＝5log2(3－2x)；(4)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))). (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， 所以y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (4)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))可看作函数y＝sin u和u＝3x－eq \f(π,4)的复合函数， y′x＝y′u·u′x＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))′＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))). 例1　求下列函数的导数. (1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq \f(1,2x－13)；(3)y＝5log2(3－2x)；(4)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))). (3)函数y＝5log2(3－2x)可看作函数y＝5log2u和u＝3－2x的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′(3－2x)′＝eq \f(5,u·ln 2)·(－2)＝eq \f(－10,3－2xln 2). 例2.　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(ln 3x,ex)； (2)y＝xeq \r(1＋x2)； (3)y＝xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))). (1)∵(ln 3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)， ∴y′＝eq \f(（ln 3x）′ex－（ln 3x）（ex）′,（ex）2)＝eq \f(\f(1,x)－ln 3x,ex)＝eq \f(1－xln 3x,xex). 例2.　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(ln 3x,ex)； (2)y＝xeq \r(1＋x2)； (3)y＝xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))). (2)y′＝(xeq \r(1＋x2))′＝x′eq \r(1＋x2)＋x(eq \r(1＋x2))′ ＝eq \r(1＋x2)＋eq \f(x2,\r(1＋x2))＝eq \f(（1＋2x2） \r(1＋x2),1＋x2). 例2.　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(ln 3x,ex)； (2)y＝xeq \r(1＋x2)； (3)y＝xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))). (3)∵y＝xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝x(－sin 2x)cos 2x＝－eq \f(1,2)xsin 4x， ∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xsin 4x))′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(x,2)cos 4x·4＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcos 4x. 例3.　设f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)， 曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0，0)点相切，求a，b的值． 由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a， 则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a， 此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率． 由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0. 1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2 C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.y＝(t－1)n，t＝x2－1 2.函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A.y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B.y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C.y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D.y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 解析　y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x. 3.若f(x)＝sin，则f′＝________. 因为f′(x)＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－3. 4.已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________. ∵f′(x)＝eq \f(1,3x－1)·(3x－1)′＝eq \f(3,3x－1)， ∴f′(1)＝eq \f(3,2). 5.设曲线y＝eax(a是常数)在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝_____. 由题意知，y′＝aeax. 当x＝0时，y′＝a＝2. 6.已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值． ∵f′(x)＝a(x2)′＋2·eq \f(1,2－x)·(2－x)′＝2ax－eq \f(2,2－x)， ∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，即2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝eq \f(1,4)相切，∴圆心(0,0)到直线l的距离为eq \f(1,2)， ∴eq \f(|2－a|,\r(4a－12＋1))＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(11,8). $$