3.3.1 抛物线的标准方程-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 白题 基础过关 限时：25min 题组1抛物线定义的理解 7.(多选)过点(0,1)且与抛物线y2=x有且仅 1.(2025·陕西渭南高二期中)过点A(3,0)且 有一个公共点的直线是 () 与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A.x=0 B.y=0 C.x=1D.y=1 A.圆 B.椭圆C.直线 D.抛物线 8.直线y=x+2和抛物线y=x2的交点 2.(2025·山东东营高二月考)已知F为抛物线 是 C:y2=8x的焦点，点M在C上，且IMF1=6, 9. 已知直线l:y=x+b与抛物线C:y2=4x. 则点M到y轴的距离为 ( (1)若直线1与抛物线C相切，求实数b A.6 B.5 C.4 D.42 的值； 3.(2025·重庆南开中学高二期中)已知 (2)若直线1与抛物线C相交于A,B两点， P(1,m)为抛物线y2=8x上一点，F为抛物线 且IAB1=8,求直线1的方程 的焦点，则IPF1= ( A.1 B.2 C.3 D.4 题组2抛物线标准方程的求解及应用 4.(2025·江苏淮安高二期中)过点(1，-2)且 焦点在y轴上的抛物线方程为 ) A=4或2=之 B.y2=4 C=4或：之D.=之 重难聚焦 5.(2025·安徽滁州高二期中)在平面直角坐标 系xOy中，动点P(x,y)到直线x=-1的距离 题组4利用抛物线定义求最值 比它到定点(3,0)的距离小2，则点P的轨迹 10.(2025·河北保定高二月考)已知 方程为 ( 抛物线y=x2的焦点为F,P为抛 A.y2=6x B.y2=12x 物线上一动点，点Q3,),记点P到轴 C.y2=-6x D.y2=-12x 的距离为d,则d+1PQ1的最小值为( 题组3直线与抛物线的位置关系 A B 9 6.已知直线y=x-k及抛物线y2=2px(p>0),则 D. ( 11.(2025·江苏泰州高二月考)已 A.直线与抛物线有一个公共点 知抛物线y2=4x的焦点为F,定 B.直线与抛物线有两个公共点 点A(11,1),点P是抛物线上一个动点， C.直线与抛物线有一个或两个公共点 则IPFI+IPAI的最小值为 D.直线与抛物线可能没有公共点 选择性必修第一册：SJ黑白题056 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2025·河南南阳高二期中)已知0为坐标原5.(2025·重庆巴蜀中学高二期中)已知抛物线 点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点 C:y2=2px(p>0),直线y=kx-1与抛物线相交 M(xo,4)在C上，且1MF1=21OF1,则C的方 于A,B,且AB的中点为M(2,2),则 程为 ( p= A.y2=4x B.y2=8x 6.(2025·山东枣庄高二月考)已知抛物线x2= C.y2=2x D.y2=x 4y的焦点为F,点P为该抛物线上的动点，点 2.(2025·陕西渭南高二期中)某卫 B0,-1),则P的最大值为 星接收天线的曲面与轴截面的交 7. (2025·山东菏泽高二月考)已知抛物线C: 线为抛物线的一部分，已知该卫星 y2=2px(p>0)的准线为l,点P在C上，且点 接收天线的口径IAB1=6,深 P到直线！的距离与其到x轴的距离都等 度IM01=1,信号处理中心F位于焦点处，以 于2. 顶点0为坐标原点，建立如图所示的平面直 (1)求C的方程； 角坐标系xOy,则焦点F的坐标为 (2)设F为抛物线C的焦点，过Q(2,0)的直 A(,o 线与C交于A,B两点，若△ABF的面积 为3，求直线AB的斜率 c.(.o) D.( 3, 3.(2025·江苏南通启东中学高二月考)设F为 抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上 三点，若FA+FB+FC=0,则1F1+1FB1+1FC1= ( A.6 B.4 C.3 D.2 4.（多选)(2025·河北那台高二期中)已知抛物 压轴挑战 线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=√3(x-1) (2025·广东江门高二月考)如图， 与C在第一象限的交点为P,过点P作C的 已知一酒杯的内壁是由抛物线 准线的垂线，垂足为M,下列结论正确的是 x2=2py(p>0)旋转形成的抛物面， 当放入一个半径为1的玻璃球时， A.直线I过点F 玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当 B。直线1的倾斜角为写 放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰 到酒杯底部的A点，则P的取值范围 C.∠FPM= 2 为 D.△FPM是等边三角形 进阶突破拔高练PO 第3章黑白题057M(x1出)，N(22),联立 =l得到(3n2-1)2+12my+9= 3 x=y+2. 0,而3n2-1≠0,4=144n2-36(3n2-1)=36n2+36>0,由韦达定理得 -12n y+y23nm2-1 9 所以k·k3= yy2 +i‘+i(y,+3)(y+3 1h3n2-1 9 Y1y2 3n2-1 9 n2y+3n(01*n)+99w23知·(-12）49 9n2-36m2+9(3n2-1) 3n2-13n2-1 -1,故·是为定值，且该定值为-1 9 方法二：①当直线m的斜率不存在时，直线方程为x=2,可得M(2, 3),N(2,-3),此时k1·2=-1: ②当直线m的斜率存在时，投直线方程为y=k(x一2)，联立 2-与1，得到(3-2)2+4k2x-4状2-3=0，而3-2≠0.4 y=k(x-2), 16k+4(3-2)(42+3)=36(2+1)>0,由韦达定理得 1+12-3 、2(x1-2)(2-2) 42+3 所以k·= 1+12+1(x1+1)(2+1) x1·为2-3 2x1-2(1+)+42 k2(42+3)-2k2·4k2+42(2-32 12+(名+)+1 4k2+3+4k2+k2-3 -9%2 9g-1,故所·名是为定值，且该定值为-1 综上所述，k,·k为定值，且该定值为-1 压轴挑战 6 解：(1)因为渐近线的倾斜角为60°，所以tan60°= =√3，所以b=√万 1 (2)由题意可知直线1的斜率存在，设1：y=:+4,由(1)可知渐近线方 4 程为y=3x,联立 y=红+4可得 5-k 不妨取M 443 (y=3x 45 5-k'5-k y= 5-k 16 48 8 所以IOMI= √(3-)2(3-)213-1 同理可得N +W尽+所以10w1= 445 16 48 V(3+6)2(5+) 8 13+k ,所以SAOMN= ow1o号g-年-48 2 所以l:y=±3x+4 (3)如图，设B(x1y),C(22),BC的中点为D(3),由题意可知 直线【的斜率的绝对值大于新近线斜率的绝对值，所以k (-m,-√3)U(3,+m) =1, 联立 可得对-好 3 ,所以3(t)=（n. 1一2 31 又因为24=+2+2，k,所以6，=2沟3，即3%= 又因为1M81=14C1,所以AD1BC,所以c·=-1,所以k.方-4 (3x3=y3, -1,联立 .4 ,可得华=所以Dk,3),将y=3代入双曲线 =-1 3=3, 方程x2 3=1中，可得x=士2因为D在双曲线的右支内部，所以>2 参考答案 又因为+m=,所以m=为-x=3-,所以m<3-22=-1,即m (-,-1). 3.3抛物线 3.3.1抛物线的标准方程 白题 甚础过关 1,D解析：设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点 P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为 准线的抛物线上故选D. 2.C解析：由题意及抛物线定义，点M到抛物线C的准线x=-2的距 离为6，所以点M到y轴的距离为6-2=4.故选C. 3.C解析：由题设，抛物线准线为=-2，结合题设及抛物线定义，则 有1PF1=1+2=3.故选C 四重难点拨 若P(0,%)为装物线2=2r(P>0)上一点，则焦半径1PF1= 4.D解析：由题意，可设抛物线为x2=2四，又因为点(1，-2)在抛物线 上，所以-4p=1→p=,放所求抛物线为：子故选D 5.B解析：由题意知动点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3， 0)的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以(3,0)为焦点， x=-3为准线的抛物线，所以p=6,点P的轨迹方程为y2=12x,故 选B 6.C解析：直线y=x-k=k(x-1),直线过定点(1,0).∴当k=0 时，直线y=0与抛物线有一个公共点，即顶点；当k≠0时，点(1,0) 在地物线的内部，∴，直线与抛物线有两个公共点综上所述，直线与 地物线有一个或两个公共点故选C, 四方法总结 判断直线与抛物线的位置关系的方法： 联立直线与张物线方程，消元整理后得到的方程的解的个数即为直 线与抛物线的交点个数 ①若二次项系数为0，此时直线与抛物线有一个交点，直线与抛物线 相交： ②若二次项系数不为0，则断该一元二次方程的判别式的符号， 带△>0，则直线与张物线有两个交点，直线与抛物线相交： 若4=0，则直战与抛物线有一个交点，直线与抛物线相切： 若△<0，则直线与抛物线没有交点，直线与抛物线相离， 7.AD解析：点(0.1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点 的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线，一条平行于抛物线的 对称轴，可得直线x=0是过(0,1)且与地物线相切的直线，直线y=1 是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足 条件故选AD, 四易错提醒 直线与抛物线只有一个交点包括两种情况： ①相交，但只有一个交点，对应联立后的方程的二次项系数为0： ②相切，对应联立后的方程的二次项系数不为0且4=0. a（2)解折：展立支子因此直 线y=x+2和抛物线y=x2的交点是(-1,1)，(2,4).放答案为(-1， 1),(2,4). 解：()直线与抛物线C相切，联立4符2+(2h-4)+ b2=0,.4=(2b-4)2-462=16-16b=0,解得b=1. 黑白题041 (2)设A(名y1),B(22),由(1)方程联立可知2+(26-4)x+62= 0,1+3=4-2b,12=b,又1AB1=8,且1AB1=√/1+k2 √(2)2-4x18=2×√(4-2b)2-46,解得b=-1,满足 △>0，，直线1的方程为y=x-L. 重难聚焦 10.C解折：记直线：=是抛物线的准线，过点P作P以1，垂足 为以，如图所示，则IP=1Pm1,F(0,）因为点P到：轴的距 离比点P准线1的距离少子，所以d+PQ=PHI-年+PQI= PPI+1PQ1子易知当Q.P,P三点共线时，d41PQ1最小，且最小 Q3, (第10题) (第11题) 11.12解析：设抛物线的准线为1，则l:x=-1如图，过点P作1的垂 线，垂足为E,过点A作1的垂线，垂足为S,则PE1=1PF1,又因 为1PF1+|PAI≥|AEI≥IAS1=12,当且仅当A,P,S三点共线且点 P在点A.S之间时等号成立，故1PF1+1PA1的最小值为12.故答案 为12. 黑题 应用提优 1.B解析：由抛物线的定义，可知1MF1=+,210F1=p,因为 1MF1=210F1,所以+号=p,即0=号，由点M,4)在C上，得 16=2。,结合p>0,解得p=4.所以C的方程为y2=8x.故选B. 2.B解析：由题意，设抛物线方程为y2=2x且P>0,显然点(1,3)在 美物酸上，所以=9，则号？做焦点F的室标为(？0)故 选B. 3.A解析：设A(1,),B(22),C(为). 由题意得抛物线焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1, 因为Fi+Fi+F花=0，所以x1+2+,=3,所以Fi1+F+F花1=1+ 1+2+1++1=1+场2++3=3+3=6.故选A. 4.ABD解析：抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),而0=√3×(1-1)， 所以直线1过点F,故A正确：设直线！的倾斜角a,因为直线l:y= 月(x-1)的斜率为k=m《=厅，0≤a<m,所以。=牙，即直线1的 领斜角为号，故B正确；因为∠PPM=a=牙，故C错误；因为点P 在抛物线上.由抛物线定义可知，1PF1=PW1,又因为∠FPM=号， 所以△FPM是等边三角形，故D正确.故选ABD. (第4题) (第6题) 选择性必修第一册·SJ 5.3解析：设A(x1）,B(22),因为M(2,2)为AB的中点，所以 x1t书2=4，yty2=4, 行=241'两式作差得-=2p(),所以 y7=2w2, 40》上293，所以长==号，则y=分1因为直线 x122 过M(2,2),代人得p=3故答案为3. 6.反解析：设P(x,y),由抛物线方程x2=4y,得焦点F(0,1),准线1： y=-1,点E(0,-1)为准线与y轴的交点，作P011于点Q,则 Po=1PF+1,PE+(*=V+(*.则 √4+(y+1)下 4y+(y+1) (y+1)2 /1+4y y+1 y+ 4 =2,当且仅当y= ,即y=1时取等号，所以 1 2y·y +2 PE的最大值为反故答案为2， IPFI 又解：(1)由题意可知，准线1的方程为：=一分，由点P到直线1的距 离与其到x箱的距离都等于2可知，P(2-号，2），因为点P在C 上，所以2中2-号）（±22.整理得产-40+4=0，解得p=2,故C 的方程为2=4x (2)由(1)可知，F(1,0),则1QF1=1,由题意可知，直线AB的斜率不 为0，设t方程为=+24()，B(,3,由红，消去 (x=my+2, x整理得2-4my-8=0,则4=16m2+32>0,可得1+为3=4m,2= -8,所以1y1=√(y1*y2)-4y15=4√m+2.又因为△4BF的 面积为3，所以宁10F1X1n为1=3，即宁x1X47:3,解 得m=士2，敢直线AB的斜率为士2 压轴挑战 [1,2)解析：如图，由题意可得，圈x2+(y-1)2=1与x2=2y(p>0)只 有一个交点0(4)，联立方程22，消去x得P+2(p-1)y= 0,解得y=0或y=2(1-p),故2(1-p)≤0，则p≥1： 圆2+(ya)2=4(a>2)与x2=2y(p>0)只有两个交点，联立方程 +-0)2=4消去得y+2p-a)y+a2-4=0,a2-4>0若广 x2-2, 2(p-e)y+a2-4=0有根，则两根同号. 根据题意可知y2+2(p-a)y+a2-4=0有且仅有一个正根，故 4=4(p-a)2-4(a2-4)=0,则可得p+4=2a>2p,解得0cp<2 (a-p>0, 综上所述，p的取值范围为[1,2).故答案为[1,2). x2=2p 八A) 3.3.2抛物线的几何性质 白题 基础过关 1,AD解析：对选项A,y2=-2x,开口向左，放A正确：对选项B, y2=-2x,焦点为 ,故B错误：对选项C,y2=-2x,准线方程 黑白题042