第1章 直线与方程 章末检测-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

第1章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共6.(2025·江苏连云港高二期中)若直线1与直 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 线x=3交于点P,与直线x-y+5=0交于点 符合题目要求的， Q,且线段PQ的中点是(1，-1)，则1的斜率为 1.(2025·江苏南京高二月考)直线1过点 ( A(-4,3),B(-1,0),则1的倾斜角为 B、2 c ( A.30° B.60° 7.(2025·江苏无锡高二月考)已知实数x,y满 C.120° D.150 足)=宁且-2≤≤3，则的取值范 x+1 2.(2025·江苏盐城高二月考)直线1：x-y+1= 围为 0与直线l2:2x-2y+3=0的距离是 ( A(,lu[3,*m) 4 C.2 D.1 B.-2.3] 3.(2025·江苏扬州高二月考)已知点A(2,4), C.(-0,-1]U[3,+∞) B(-3,2),则线段AB的垂直平分线的方程为 D.[-1,3] 8.(2025·江苏南通如皋中学高二期中)在平面 A.10x+4y-7=0 直角坐标系xOy中，记动点P为(o,y) B.10x+4y+2=0 (x≥0，≥0)，若点P在直线x+y=4上，则 C.10x+4y-17=0 x+√后+y后的最小值为 () D.4x+10y-7=0 A.2 B.4 4.(2025·江苏南通海安高级中学高二月考)直 C.6 D.8 线1的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1,若直线1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 不经过第二象限，则实数α的取值范围为 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 ( 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， A.a>2 B.-2≤a≤3 有选错的得0分 C.a≥2 D.a≥4 9.(2025·江苏常州高二期中)下列说法中，正 5.(2025·江苏泰州高二期中)“a=-1”是“直 确的有 线ax+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平 A.直线y=3x-2在y轴上的截距是-2 行”的 ( B.直线2x-y+5=0经过第一、二、三象限 A.充分不必要条件 C.过点P(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等 B.必要不充分条件 的直线方程为x+y-3=0 C.充要条件 D.过点(5,0)，且倾斜角为90的直线方程为 D.既不充分也不必要条件 x-5=0 选择性必修第一册，SJ黑白题016 10.(2025·江苏盐城高二月考)已知直线1经过四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 点(2,3)，且点A(-3,2),B(5,-4)到直线l的 文字说明、证明过程或演算步骤 距离相等，则直线1的方程可能为( 15.(13分)(2025·江苏泰州高二月考)直线1 A.4x-y-5=0 B.4x+y-11=0 经过两直线l1:3x+4y-6=0和l2:2x+y+1=0 C.3x+4y-18=0 D.3x-4y+6=0 的交点 11.(2025·江苏南通如东高级中学高二月考) (1)若直线l与直线3x+y-1=0平行，求直 “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可 线1的方程； 夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐 (2)若直线1与直线L2垂直，求直线1与坐标 标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直 轴围成的三角形周长， 角坐标平面上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2) 的曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x2|+y1-y2, 则下列结论正确的是 () A.若点P(2,4),Q(-2,1),则d(P,Q)=7 B.若点M(-1,0),N(1,0),则在x轴上存 在点P,使得d(P,M)+d(P,N)=1 C.若点M(2,1),点P在直线x-2y+6=0 上，则d(P,M)的最小值是3 D.若点M在y=x2上，点N在直线2x-y+ 8=0上，则d(M,N)的值可能是4 16.(15分)(2025·江苏南通启东中学高二月 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 考)在直角坐标系xOy中，A是射线3x-y=0 15分. (x≥0)上的一点，B是射线x+3y=0(x≥0) 12.(2025·江苏盐城高二月考)已知P(2,1), 上一点(A,B都异于点O),P为线段AB的 则点P关于直线l:x-y+3=0的对称点Q的 中点 坐标为 (1)若IOAI=IOB1,求直线OP的方程： 13.(2025·江苏徐州高二月考)已知A(1,6), (2)若点P在直线x+y-2=0上，求IABI的 B(2,10),C(3,16),D(4,21)中的三个点在 最小值 直线l:y=kx+m上，则k+m= 14.（2025·江苏南京高 二月考)如图，在平面 直角坐标系中，以OA 为始边，角α与B的终 边分别与单位圆相交于E,F两点，且a∈ (0,2),Be(?,π)，若直线EF的斜率为 4,则n(a+B) 第1章黑白题017 17.(15分)(2025·江苏无锡一中高二期中)在19.(17分)(2025·辽宁大连高二期中)过点 平面直角坐标系x0y中，已知两直线l1:x A(x0yo)作斜率分别为k,的直线1，山2， 3y-3=0和L2:x+y+1=0,定点A(1,2) 若kk=u(u≠0)，则称直线l1,2是K() (1)若L1与L2相交于点P,求直线AP的 定积直线或K。()定积直线。 方程； (2)若I,恰好是△ABC的角平分线BD所在 （0已知直线4：y=2+1,6:y=1,试 的直线，l2是中线CM所在的直线，求 问是否存在点Q,使得直线11,12是 △ABC的边BC所在直线的方程， K(u)定积直线？请说明理由. (2)若0为坐标原点，点P与点M均在第二 象限，且点M(xo,o)在二次函数y=x2 3的图象上.若直线OP与直线OM是 Ko.o(1)定积直线，直线OP与直线PM 是K(-2)定积直线，直线OM与直线 PM是Kn 定积直线，求点P的 坐标 18.(17分)(2025·江苏扬州高二月考)如图， 已知4(6,63)，B(0,0),C(12,0),直线1： (k+3)x-y-2k=0(k∈R). (1)若直线l等分△ABC的面积，求直线l的 般式方程； (2)若P(2,25),李老师站在点P用激光 笔照出一束光线，依次由BC(反射，点为 K),AC(反射点为I)反射后，光斑落在 点P,求入射光线PK的直线方程 选择性必修第一册：SJ黑白题018误：对于B,设将军在河边饮马的地点为M,则M即为直线7x-y 10=0与直线x+y-3=0的交点，联立两直线方程，解得 “(侣号)，故正确：对于G,将军从河边国军有的路战所在直 线为BM.又B(6,2),所以直线BM的方程为y-2= 3(x-6, 86 x-7y+8=0,故C错误：对于D.总路程为1MA|+1MB1=1MA1+ 1WB'1=1AB1=√(2-1)2+(4+3)2=52.所以“将军饮马”走过的 总路程为52，故D正确.故选BD. 5.5解析：直线41：mx+r+2m-3=0化简为m(x+2)+y3=0,令x+2= 0且-3=0，解得x=-2,y=3,所以直线11过定点A(-2,3).直线 2:m+y-m+1=0化简为m(x-1)+y+1=0,令-1=0且y+1=0,解 得x=1,y=-1,所以直线I过定点B(1,-1),当AB与直线11，L垂 直时，直线4,2的距离最大，且最大值为AB √(-2-1)2+(3+1)2=5，故答案为5. 6.25解析：如图.取点0(0,0).A(1.0).B(1.2).C(0,2).顺次连接得矩 形ABC,设P(x,y),0<x<I.0<y<2,显然点P在矩形0ABC内，因此 √x22+/x2+(2y)2+√(1-x)2+2+√/(1-x)2+2y)2=1P01+ IP℃1+1PA1+IPBI,而1POI+IPB1≥1OBI=5,当且仅当点P在线 段OB上（除端点外）时取等号，1PC1+1PA1≥IAC1=√5，当且仅当 点P在线段AC上（除棉点外）时取等号，因此IPO1+IPCI+IPA|+ 1PB1≥25，当且仅当P是0B与AC的交点时取等号，此时 P(分所以当=宁y=1时，原可42可 √(1-x)+厅+√/(1-x)+(2-y)2取得最小值25.故答案为25. (第6题) (第7题) 7.C解析：：k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4)，2：2(y-4)=4-2x也 过定点(2,4)，如图所示，在11的方程中，令x=0,则y=4-k,在12的 方程中，令y=0,则x=22+2,则点A(0,4-k),B(2h2+2,0),S= 24442宁一（付）广，侣自=次而数惟质可 1 得，当=名时，S取得最小值放选C 息解：)设直线M:=6,因为直线W过点P(兮，)，所以 上去，}6，即6=-空所以如y=+之又因为 A(1,1),B(1,0),易得直线0A:y=x,直线AB:x=1,联立 2k-1 x= 42'解得 4(k-联立红+人《 42‘解得 2k-1 y=， y产4k- x=1. x=1, 1v(品）4) 4 (2)因为如=子如=子，所以-子≤k≤子，所以1-e [分]因为1M=1,,设到直线N的距离为 4 4 4则41品品所以5=：号 2 4 2--4wg[- 4(k-1)32(1-6) 32(1-) 参考答案 小g(行）小当且仅当1，即=时。 等号成立，所以5的最小值为 第1章章末检测 上.D解桥：由于1的斜率为。-，放倾斜角a满足ama= 又0°≤<180°.从面g=150.故选D 31 3 2A解析：直线4：2-2y+3=0化为+2=0，又直线4：*-+1=0， 3 所以11∥2，所以直线1与直线2的距离是 √1+(-1)2 故选 4 解折：2高号段的中为（）小所以 4-22 段松的垂直平分线的方程是一3=(+），化为1+4 7=0,故选A. 4C解析：①若直线1斜率不存在，即a=2.:=号不经过第二象限： 3-10， 3a-11 2若直线1斜率存在，即a*2,1:y= -2a-2所以 n-2 030 >2,综上.实数a的取值范围为a≥2.故选C 5.C解析：若a=-1.则直线分别为-x+3y+3=0和直线x-3y+1=0,满 足平行.即充分性成立 若直线x+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行， ①当=0时，直线分别为3y+3=0和x-23+1=0.不满足条件： g当a0时.满是-号号甲a(e-23.每得。=3合 或a=-1.所以必要性成立， 综上.“a=-1”是“直线r+3yr+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行 的充要条件，故选C 6.A解析：设P(小)，Q(2).由题意得，x,=3又线段PQ的中 点是(1，-.则1，故=-1又0在5=0上，则 5=0.故2=4又=-1，故=-6，于是P(3,-6,0-1,4),根 2 4-(-6).5故选入 据斜率公式k=k0=一1-3 2 13 1.A解析：由于点(x,)满足关系式y=了弓，且-2≤≤3，可知 M(x.y)在线段AB上移动.且A(-2.-1),B(3.0).设Q(-1.2). ，2-（-1)=3,k=1-3=”2A为品M川，y)在线设AB 则k0t=-1-(-2) 上.所子的取值范是(，]小3，).放法入 8.B解析：如图，作点0关于直线x+y=4的对 称点C,设C(,),则有 x(-10=- 解得4所以C(4,4. 4 =4. 因为动点P为(n,0)(n≥0，n≥0)，所以1P01=1P℃1= √+后，点P到y轴的距离为，所以x+√+后可视为点 P(no)到y轴的距离和到C(4,4)的距离之和，过点P作PD1 y轴于D.过点C作CH⊥y轴于H.显然有IPDI+IPC≥ICD1.当且 仅当P与H重合时取等号，此时ICD川=|CH川=4，即x0+√x的 最小值为4.故选B 黑白题011 9.ABD解析：对于A,令x=0,求得y=-2,则直线y=3x-2在y轴上 的截距为-2，故A正确：对于B,直线2x-y+5=0的斜率为2，在y轴 上的截距为5，易知直线2x-y+5=0经过第一，二，三象限，B正确； 对于C,当直线经过原点时，设y=:,代人点P(1,2),求得k=2,此 时直线方程为y=2x;当直线截距不为0时，设方程为+’=1，代 人点P(1,2),求得a=3,此时直线方程为x+y-3=0,故C错误：对于 D,领斜角为90的直线斜率不存在.则过点(5,0)并且倾斜角为90 的直线方程为x-5=0,故D正确.故选AD. 10.AC解析：①当直线I的斜率不存在时，显然不满足题意.②当直线 1的料率存在时.设直线1的方程为y-3=(x-2),即红-y+3-2出= 3 Q由已知得二3冰-2+321=5+4*3二21，所以=4诚=一， R2+1 所以直线1的方程为4x-y-5=0或3r+4y-18=0故选AC. 11.ACD解析：对于A.由曼哈懒臣离的定义知 .-2+6=D d(P,Q)=12+21+H4-11=7,A正确：对于B. 设P(x,0),则d(P,H)+d(P,N)=1x+1I+ ---H x-112.B错误：对于C,作ME⊥x轴.交直 线x-2y+6=0于E,过P作P⊥ME,垂足 0 为H,如图所示.由曼哈顿距离的定义可知 d(P,M)=1PI+1M1,而点E(2,4),当P不与E重合时，由直线 x-2+6=0的斜率为子，得1Pm1>1EBI:当P与E重合时. PHI=1EH1=0.综上，IPH1≥IEHI,因此d(P,M)=IPHI+ 1M1≥1E+1MH1≥1ME1=3,C正确：对于D.若取M(0,0), V(-4.0).则d(M.N)=4,D正确.故选ACD 12.(-2,5)解析：由直线1：x-y+3=0,可知其斜率为1，则与直线1垂 直的直线斜率为-1，则过点P(2,1)与直线（垂直的直线方程为 1=-(x-2),整理得y=-+3,联立方程组：t30解得 y=-x+3, =0即过点P(2,1)作直线1垂线的垂足为(0,3).根据对称性可 (y=3. 知，两点P.Q的中点就是(0.3)，所以可求得点Q(-2.5),故答案 为(-2,5). _21-6=5,且直线AC,D 13.6解析：由题意可得kc=3=5,k如严4- 有公共点A,所以A,C.D在同一条直线上.所以该直线为y-6 5(x-1),即y=5x+1.由于B(2.10)不满足y=5r+1.故直线1为r= 5x+1.所以k=5,m=1,所以+m=6故答案为6 14.-17 ǒ 解析：由题意得∠AOE=a,∠AOF=B.OE■OF.则直线EF的 2 1 tn(a+B）= () 2m(g） -88 B=(）又ym(a*B>0,ia+Be(.）则 tan(a+B)=sin(a+B)8 s(f)5钻合n(a+p)+oms(a+B)=1,解得 8 sin(a+B)=- 7,赦答案为 171 5解：山由题意，联立，解得之即直线1过点 y=3, (-2,3),直线3x+y-1=0的斜率为-3，又直线1与直线3x+y-1=0 平行，所以直线/的斜率为-3，由直线的点斜式方程可得直线1的 方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0. (2)由直线2：2x++1=0,可得k2=-2,所以直线1的斜率k=2 选择性必修第一册·SJ 由()知直线1过点(-2.3).所以直线1的方程为-宁+2》. 令y=0.可得x=-8.所以直线1与x轴的交点为A(-8.0),令x=0 可得y=4,所以直线1与y轴的交点为B(0,4),所以1AB1= √64+16=45.又1011=8,10B1=4.所以直线1与坐标轴同成的 三角形周长为10A1+10B1+1AB1=8+4+45=12+45 16解：()由题意可设4(a,).8专）>0.6>0则P(告尝 9a-b 6 ）,若10=101，则有(3o=-(专)了，化词 b 得a= 2 31 1 故直线0那的方程为产2五之，即，产2 3 (2)由点P在直线x+y-2=0上，故有“，，9如-6-2=0.整理得6 2+6 6-60.故1AB1= =√(7a-6)2+(a+2)= /10(5a-8a+4)= 0(o专)广8≥后-2a.即1a的最小 值为2万 17.解：(1)由题意，联立{33=0·解得=0，即两直线的交点 (x+y+1=0, y=-1, P的坐标为(0.-1). 2+1 所以直线P的斜率k=二。3，放直线P的方程为)=3x-1. (2)因为点B在直线4上，不妨设点B的坐标为(3+3，)，由题意 可知点M为B中点，则(3+4.+2 22 又点M在直线马上，即 22+1=0.解得1=-2，故8(-3，-2八 3+4.+2 设点A关于直线，的对称点为A',又因为（是△ABC的角平分线 所在直线，所以A在BC上，设点A的坐标为(：，b),则 13.642-3=0 2 2 5· 解得{ ,所以kc= = 5 (2) 14 7,所以BC所在直线方程为y+2=子(+3)，化 简得x+7y+17=0. 18.解：(1)如图①，因为A(6,63),B(0,0),C(12,0),所以1AB1= 1AC1=IBC1=12,由题意得直线AB方程为y=3x,直线1：(k+ 524=0可化为4(-2+(5=0，令-2=0 解得 3xy=0, x=2, 故直线1经过的定点坐标为(2,25)，易知直线1经过的定 =2w3 点M(2,25)在直线AB上，所以1AM1=√(6-2)2+(63-23)= 8,设直线1与AC交于点D,所以Saw=分5a,即 号4w0n4=子x子x1A1AC1血4，所以D1: 子40=9.设0o.所以：花.即(-665 6,6.所以o3所以n(）将点0 黑白题012 坐标代人直线/的方程，解得：所以直线1的方程为， 17y-36W3=0 (2)如图②，设P关于BC的对称点P,(2,-25),关于AC的对称 点.直线C的方程为0器期y=-B所 以m-2·3)=, -2w3 解得/m=14, 所以P2(14,63).由 m=65. 2 感意得八，人1B网点共线由对称性得x=2 23 3 所以人射光线K的直线方程为2原：2(-2，即2x+, 10=0 19.解：(1)品然两直线斜率之积21· (女）上是定值根搭定义 可知0为两直线交点，由4：y=2加+1,4=3+1，可得Q(0, ),即存在Q0.)使得直线4.4是人，（子）定积直线 (2)设P(玉)(x<0,D0,产o),则时知w=÷,m 0,w=口（和<0,0>0,0+x),根据题意有 x-0 kom·kon=l, bp·5nw=-之；即kw=一2kaw=w= →kow=,rw= 2 krukow-话' 2,r=,所以由kw= 0.1 →0=1,0=-2，期 =-2, x w。2 1y1=1 x=-1即P氏-12) y=2. x-0 a (x+2 第1章真题演练 黑题 真题体验 1.A解析：直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到的直线为y= 了，故C.D错误又：将y子向右平移1个单位得y 子)，即=子分故选A 2.C解析：由两直线平行得，当-3=0时，两直线的方程分别为=-1 程)子思格两直线平行当=30时，商在梦行可 得k=5.综上.k的值是3或5.故选C. 3.B解析：由y=(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当 直线y=(x+1)与AP垂直时，点A到直线y=k(x+1)距离最大，即 为1AP川=2.故选B. 4.C解析：若A为直角.则A,B两点的级坐标相等.可得b=:3:若B 为直角，则k·ka-1,可得6-3-=0：若0为直角顶点显然 不合题意，故选G. 参考答案 5.B解析：因为直线：y=r-3恒过点P(0,-3),直线2x+3y-6=0 与坐标轴的交点分别为A(3,0).B(0,2),直线AP的斜率r=3,一 此时倾斜角为？，直线即的斜率不存在，此时领斜角为受：所以直 线！的领斜角的取值范围是（行号）故选取 6.C解析：若直线12与11关于1对称，则直线L1,1的交点在直线 上.即)0解得=0则4(1,0)，在直线4上任取一点 (y=0. (2,2)关于直线1对称的点为(3,1)，则点B在直线2上，由A,B 两点可知，直线名的斜率为骨子则直线与的方程为一0 1 (x-1,即x-2-1=0放选C 7,B解析：根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y=r+ 6,即y+6=0.所以d,=-24b1=1,4=136-1+ -=2.解得k=0 R+1 √+I 或=专.所以所求直线方程为y=3成4+-5=0.所以符合题意 的直线有两条，故选B, 8.D解析：建立如图所示的平面直角坐标系，可得B(4,0),C(0.4). 故直线BC的方程为x+y=4,△ABC的重为G(0+0+4,0+4+0） 3,3 设P(,0),其中0<a<4,则点P关于直线BC的对称点P,(x,y)满 a+s,yt0=4. 22 0.(-0=-. 解得4即P(4,4-a),易得P关于y轴 (y=4-a, x-0 的对称点P(-,0).由光的反射原理可知P,.Q,R,P:四点共线： 直线OR的斜率为k= 4-0-4,故直线0R的方程为y产 4-a 4-(-a）4+a 4+a (x+a),由于直线QR过△ABC的重心G 3·3小代人化简可得 44 3如2-如=0.解得a=子或a=0会去).故P(行0）放P=子 4 故选D 卡 b/ 0 0 O儿N (第8题) (第12题) 9. 2 解析：由题知.直线AC的斜率存在，由三点共线可知a≠2 由uc铝治期a…b k又b0+故 a 答案为 2 10.年解析：设直线领斜角为a,直线x-3y+a=0可化为)y=3+ 3 6 ,斜率为=3 3 3 则=ma=兮，所以a=石故答案为怎 11,5解析：因为直线x+my=0与-ym+3=0分别过定点A,B,所 以A(0.0).B(1,3),当点P与点A(或B)重合时.1PAI·1PB1为 零；当点P与点A,B均不重合时，因为P为直线x+my=0与mx y一m+3=0的交点，且易知此两直线垂直.所以△APB为直角三角 形，所以IAP2+1BP12=|AB12=10,所以IPA1·1PB1≤ 1PA12+IPB1210 2 2 =5,当且仅当1PA川=1PB1时，上式等号成立.综 上所述.IPAI·IPB1的最大值是5. 12.4解析：作直线a,b与直线11平行，且与直线11的距离为1，作直 线c,d与直线l平行，且与直线的距离为2，由图可得，4，b,c,d 有4个交点，即“距离坐标”是(1,2)的点的个数为4.故答案为4. 黑白题013