1.4-1.5 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

5.B解析：设直线1：4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 4x+3y+入=0，则点A到直线4x+3y-2=0和4x+3y+A=0的距离相 等，所以4+3-2！4+3+ ,解得A=-2(与直线1重合，会去)或 ④+3√4+3 A=-12故直线1：4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为4x+ 3y-12=0.故选B. 巴重难点拨 若直线1,2关于点A对称，则∥2，且点A到1,2的距离相等。 ,解析：因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根，由根与系数的关 系可得a+b=-1,ab=c,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4ee [ 又两条平行直线间的距离d=a-1。,厂c 8,所以 1 2√2 0≤c≤ 三≤号，所以同条平行直线到里高的数大值为号故答案为 2 7.5解折：由任30得即直线的交点坐标为1,2).因为 xy+1=0,y=2, 三条直线x+y-3=0,￥-y+1=0,mx+y-5=0相交于同一点，所 以m+2-5=0,所以点(m,n)到原点的距离的最小值为原点到直线 +2y5=0的距离，即d1-51 ■√5，故答案为5 V+2 1 8.解：(1)因为可化为2xy2=0,所以4与之间的距离为d= a-(3) 75 因为a>0,所以a=3. √2+1 10 (2)设存在点P(x0,0)满足，则点P在与1，山2平行的直线'：2x 1 =0上，且c-31.1 52 2,即e 5 2 所以满足条 6 件2的点满起260号-0成2%片-0若点P满起足条件③，。 13 由点到直线的距离公式，有 24oyot31_2,lxt0-11 5 5 ，即 120y0+3引=0+y0-11,所以0-2y0+4=0或3x0+2=0.因为点P 13 在第一象限，所以3x+2=0不成立联立方程 2%+2=0·解得 0-2y。+4=0, 1 x0-3 11 (合去)，联立方程 2%t6=0解得 9 所以 yo=2 37 x0-20+4=0, yo=18 P(行，沿)）即为同时满足条件的点 压轴挑战 1636 解析：不妨设正方形的四条边所在的直线分别为山1,2，山， L,它们分别经过点A,B,C,D,正方形的边长为a. ①如图①，若1∥凸2，则∥4，且与114，设直线h:x+my-1=0,: x+my2=0,6:m-y-4m=0,4:m-y8m=0,则a=-l-（-2) /1+m2 二a,解得。=，所以正方形面积 16 √m2+1 m2+117 ②如图②，若1∥3，则h2∥L4,且与141，设直线：x+my-1=0,: x+m4=0,h:-y-2m=0,l4:m-y-8m=0,则a--l-（-41 √1+m2 2二a解得国士子所以正方形面积心” /m2+1 m2+15 ③如图③，若41∥l4,则2∥43，且21山1，设直线：x+my-1=0,4: 参考答案 xmy8=0,h:m-y-2m=0,4:x-y-4m=0,则a=-1-（-8。 √/1+m 上2m-二加，解得m子所以正为形面积 7 49196 √m+1 m2+153 故答案为16：6（在6,6,16中任选其中两个填写即可）】 9175在17553 D 2 1.4-1.5阶段综合 黑 阶段强化 1,B解析：因为点P(1,a)到直线4-3+1=0的距离不超过了，所以 14-3n+11 ≤方即15-3n1≤1，解得子≤n2又meN“,所以 n=2故选B. 2.ABC解析：当4,2与PQ垂直时，它们之间的距离d最大，此时 d=√(-1-2)2+(3+1)了=5，所以l1,2之间的距离d满足0<d6 5,故选ABC. 三D将折：直线：21=0与：轴交于点A(号0，直线 6 2xy+1=0,得 x=- 5 3y-3=0与x轴交于点B(3,0),由 (x-3y-3=0, 7 所以 y=-5 p(年子)所以时(0子)店(3子)所以 147.49 (可，：成：p 5025 Pi1·Pi14949、/44149 之所以 √10025*√25+25 (,P响=平所以LAPg=平故选D 4A解折：由条件可知，受2，当3，且地0有 2a2+362-m=0, 式相加得2(a1+2)+3(b1+b2)-13-m=0,即2×4+3×6-13-m=0, 得m=13.因为点P是直线马和上的交点，所以a+36,-3=0 所 2a2+362-13=0, 以点A(a1,b1),B(a2,b2)满足直线2x+3y-13=0,即直线AB方程 为2云+3一-13=0如一子，与直线4仍垂直的直线方程的斜率为一 三所以线段心的垂直平分线方程为y一3-：一2》，整理为 3x-2y=0.故选A. 5.A解析：如图所示： 3203456 -2 直线y=-31与x轴y轴分别交于点A,B,4(万，0)，B(0, 1),AB=2又△ABP和△ABC的面积相等，.CP∥AB,,可设直线 CP的方程为y= 3+c(e>l).依题意，得点B到直线cP的距离为 黑白题009 万，即1-1山=5，c=3或c=-1(会)，直线cP的方程为y= a汉点P(号）在直线 1 3m+3, 3x+3上，2=- 解得m受实数m的值为学旅击人 {4-1} 解析：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这 三条直线把平面分成7部分： 如果这三条直线将平面划分为六部分，包括两种情况能够成立： ①直线ax+2y+8=0过另外两条直线的交点，由4x+3y=10和2x-y= 10的交点是(4，-2)，代入解得a=-1: ②直线x+2y+8=0与另外两条直线的其中一条平行，当直线 s2+8=-0和直线红+=10平行时，只西？-子6解得a 号：当直线+3+8=0和直线2y=10平行时，只需号子产 -10此时a=-4 8 综上a的取值集合是{4，-1，骨}散答案为{-4,1，} 1.7解析：f(x)=√[x(-3)]2+(0-2)-√(x-1)2+(0-1)2 ,f八x)表示为点P(x.0)与点A(-3.2)的距离减去点P(x.0)与点 B(1,1)的距离，，f(x)=IPAI-IPB1,又IPAI-IPB≤IABI= /(-3-1)2+(2-1)2=√17，当P是直线AB与x轴交点时取等 号，f代x)的最大值为√7故答案为√7 8.解：(1)因为折痕的斜率为-1时，点A落在线段DC上，可知折痕必 过点D(0,1),所以直线方程为y=-x+1. (2)①当k=0时，此时点M与点D重合，点M坐标为(0,1)，折痕所 在的直线方程为y=了②当0时，将矩形折叠后点4落在线段 DC上的点记为M(a,1)(0<a≤2)，则A与M关于折痕所在的直线 对称，有koW·k=-l,即a=-k,点M坐标为(-k,1)(-2≤k<0), 从而折痕所在的直线与OM的交点坐标（即线段OM的中点）为 c(受，号），折痕所在的直线方程为y子=(+受)，即 y=x+号+】（-2≤k<0).综上所述，点M坐标为(k,1)(-2≤≤0) 折痕上任一点(x,y)满足的等式为y=+ -3es0 (3)当k=0时，折痕长为2当-2+√3≤k<0时，折痕所在直线交BC 于点E2号）交y前于F,）因为1EFP-2 =4+4k2≤4+4(7-45)=32-163，则 折痕长的最大值为√/32-16万=2√8-2√12=2(6-瓦)>2.综上 所述，折痕长的最大值为2(6-√2)。 压轴挑战 (2-反，)解折：由题意可得，△48c的面积为 -·1AB1·1OC1= x42=4,直线)=ar+6(o>0)与：轴的交点为（名，0）。 1 由直线y=a+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b>0, 故合<0，放点M在射线04上设直线y=m+6和BC的交点为N,则 由可得点N的幸标为(） /2-b2a+b ①若点M和点A重合，如图①，则点N为线段BC的中点，故N(1,1), 2 把A,N两点的坐标代入直线y=ab,求得a=了，b=3 选择性必修第一册·SJ ②若点M在点0和点A之间，如图②，此时6>子，点N在点B和点C 之间，由题意可斜△NMB的面积等于2，即之·1MB1·x=2,即子× 儿）以指如片01滋子 2 ③若点以在数A的左制，如图③，则<子，由点M的横坐标。<2， 求得>2a.设直线y=ar+b和AC的交点为P,则由at,求得点P (y=x+2 的坐标为 12-b2a-b a-1'"a-1 ,此时，由题意可得，△CPW的面积等于2，即 2-)w1=2,即分(2-)…合合 2-b2-b =2,化简可得 (2-b)2=21a2-11,由于此时0a<bc1,所以(2-b)2=21a2-11=2-2a2, 两边开方可得2-b=√2-2a<2,所以b>2-2,故有2-2<6<了 2 综上可得，b的取值范围应是(2-2,1).故答案为(2-√2,1). 专题探究01直线中的最值问题 黑题 专题强化 1.B解析：因为11：x-my-2=0与2：x+y+2=0的交点坐标为 /2-2m-2-2m /2-2m 2 + 1+m21+m2 ,所以1001= 1+m2 8(1+m)。22 √(1+m2)21+m ,当m=0时，1001m=25,所以1001的最 大值是22，故选B. 2.C解析：由于(m+1)2+n2=(√(m+1)2+n)2,所以(m+1)2+n2的 最小值即为P(m,n)与(-1,0)的距离的平方的最小值，则点(-1,0)】 到直线/上的点P(m,n)的最小值即为点(-1,0)到直线1的距离， 所(a+1户的最小值为（广故 放d=1-3+61_3 选C 3.C解析：如图，依题意，点P(2,4)关于直线x-y=0的对称点为 P,(4,2),关于直线x+1=0的对称点为P2(-4,4),则IPA1=1P,A1, IPBI=|P2BI,△ABP的周长=IPAI+|PB1+1ABI=IP,AI+ 1PB1+1AB1≥1PP21=√(-4-4)2+(4-2)2=217，当且仅当 点A,B分别是直线P1P2与直线xy=0及直线x+1=0的交点时取 等号，所以△ABP周长的最小值为27.故选C 2.4 B62 x+=0 x+-3-0 (第3题) (第4题) 4,BD解析：由题可知A,B在x+y-3=0的同侧，设点B关于直线x+ a+6b+2-3=0, 2 2 y-3=0的对称点为B'(a,b),如图所示，则 解得 x-1)=1 a-6 a=1,即B'(1,-3) b=-3,1 对于A,将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB,又A(2,4), -3-4 所以直线AB'的方程为y广4=12(x-2),即7x-y10=0,故A错 黑白题0101.4-1.5 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：35mim (2025·江苏南通高二月考)若点P(1,n) 6.(2025·江苏南通启东中学高二月考)如果三 (n∈N°)到直线4x-3y+1=0的距离不超过 条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10 则n 1 将平面分为六个部分，那么实数a的取值集 ( 合为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2025·江苏镇江高二期中)函数f(x)= 2.(多选)已知两平行直线l,2分别过点P(-1, √(x+3)2+4-√(x-1)2+1的最大值为 3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转，但始终 8. (2025·山东菏泽高二月考)如图，在平面直 保持平行，则1,12之间的距离的取值可能为 角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽 ( BC为1，AB,AD边分别在x轴、y轴的正半轴 A.1 C.5 D.7 上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使 点A落在线段DC上，设此时为M: 3.(2025·江苏泰州高二期中)若直线1：2x-y+ (1)若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线 1=0与x轴交于点A,直线2：x-3y-3=0与 的方程： x轴交于点B,直线L,与2交于点P,则 (2)若折痕所在直线的斜率为k(k为常数)， ∠APB= ( 试用k表示点M的坐标，并求折痕上任 一点(x,y)满足的等式： 4.(2025·江苏常州高三月考)若P(2,3)既 (3)当-2+√3≤k≤0时，求折痕长的最大值 是A(a1,b,),B(a2,b2)的对称中心，又是直线 11:ax+b1y-13=0与直线l2:a2x+b2y-m=0的 交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 A.3,x-2y=0 B.3x-2y-12=0 C.2x-3y-13=0 D.2x-3y+5=0 5直线y3 +1与x轴、y轴分别交于点A, B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角 压轴挑战 形ABC,如果在第一象限内有一点P(m,】 (2025·江苏南通高二月考)已知 使得△ABP和△ABC的面积相等，则实数m 点A(-2,0),B(2,0),C(0,2),直线 的值为 ( y=a.x+b(a>0)将△4BC分割为面积相等的两 453 B3,3 部分，则b的取值范围是 D.3 2 2 进阶突破拔高练PO 选择性必修第一册：SJ黑白题014 专题探究01 直线中的最值问题 黑题 专题强化 限时：35mim 题组1与距离有关的最值问题 5.(2025·浙江宁波镇海中学高二月考)已知直 1.直线l1:x-my-2=0与直线2：mx+y+2=0交 线l:mx+y+2m-3=0,l2:mx+y-m+1=0,则直 于点Q,m是实数，0为坐标原点，则1OQ1的 线(，与12之间的距离最大值为 最大值是 6.(2025·江苏南京高二月考)已知 A.2 B.22 C.23 D.4 0<x<1,0<y<2,则√2+y2+ 2.(2025·江苏镇江高二期中)已知1：3x+4y+ √x+(2y)2+V(1-x)+y2+(1-x)2+(2-y)的 6=0,P(m,n)为l上一动点，则(m+1)2+n 最小值为 的最小值为 ( 题组2与面积有关的最值问题 B.S C.9 25 D36 7.(2024·云南昆明高二月考)已知0<k<4,直 25 线l1:kx-2y-2k+8=0和直线L2:2x+2y-4k2 3.(2025·河北沧州高二期中)已知点A在直线 4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这 x-y=0上，点B在直线x+1=0上，点P的坐 个四边形面积最小的k值为 标为(2,4)，且A,B,P三点不共线，则△ABP 周长的最小值为 ( B号 D.1 A.2/15 B.17 8.(2025·江苏泰州高二月考)如图， C.217 D.8 将一块直角三角形木板ABO置于 4.(多选)(2025·重庆南岸区高二期中)古代数 平面直角坐标系中，已知AB=OB=1,AB⊥ 学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火 0B,点P(?,4)是三角形木板内一点现因 之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再 三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏 回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面 部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将 直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4).军 三角形木板锯成△AMN,设直线MN的斜率 营所在位置为B(6,2),河岸线所在直线的方 为k 程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马， (1)用k表示出直线MN的方程，并求出M,N 再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则 的坐标： (2)求锯成的△AMN的面积的最小值 A.将军从出发点到河边的路线所在直线的 方程是6x-y-8=0 县将军在河边饮马的地点的坐标为（侣，骨 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方 程是x-6y+6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为5、2 第1章黑白题015