1.4 两条直线的交点-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

意可知AB⊥AC,且直线AB,AC的斜率都存在，故有h·&C=-I, 即·21，解得x1或x=1,故点4的坐标为(1,7)或 (-1,3).放选AC 11.-2解析：因为1⊥b2,而且斜率存在，所以k,·6,=-1.又k,.k2是 关于a的方程2a2+8+n=0的两根，所以·6=？-1，解得 n=-2.放答案为-2 12,-2解析：由x+my-2m+1=0,得(x+1)+m()-2)=0,动直线国 过定点Q(-1,2).故原点0到动直线1：x+m-2m+1=0的距离最 大时.直线10因为直线0的斜率为品-2.所以 m2解得m=-2故答案为-之 11 黑题应用提优 1.C解析：①当m=0时，山1：3y+1=0,x-1=0,此时11⊥2，满足题 意：2当m0时，直线，与的斜率分别为=受6一2，因 为416所以与=号，二之。-1，解得=号综上m=0 m 或a=子放选C ④易错提醒 已如两条直线垂直求参数时，要考虑斜申是否存在的问则，当直线 1斜率不存在，直线2斜串为0时，1⊥山 2。B解析：从A,B中各任意取一个数相加，共有3×3=9（种）情况，若 直线1%则。子号期=4当。=4时从B中各取 个数相加，和为a=4的有2+2,3+1，共2种情况：当4=-4时，从A B中各取一个数相加，和为=-4的有-6+2.3-7，共2种情况所以 满足条件的有4种情况所以螨足条件的概率P=号放选区 3.B解析：A,B,C,0四点共圆AB1C,·-1,心 ?放毒 4.A解析：H为△ABC的垂心，AH⊥BC,BH⊥AC.又k= 3-1 -了，心直线AM,4C斜常存在且km= 4,k=5,设A(x,y),则 解得=-19. *65, y=-62. ∴.A(-19,-62).故选A. 5.AC解析：对于A,存在k=0.使得2的方程为x=0.其倾斜角为 90°，故选项A错误：对于B,直线(1：x-y-1=0过定点(0，-1)，直线 2:(k+1)x+与+k=0(k后R)=k(x+y+1)+x=0过定点(0，-1)，故 选项B正确：对于C当k:时，直线6的方程为子 0.即x-y-1=0./1与2重合，故选项C错误：对于D.若两直线垂直 则1×(+1)+(-1)×k=0.方程无解，故对任意的k,山与2都不形 直，故选项D正确故选AC 6.D解析：设A(2,0),B(-2,4),则点A,B所在直线的斜率为km= 2-2-1,由题意知，过点(2024,2025).(a,6)的直线与直线AB 4-0 平行，所以-2025 。-2024-L,整理得a+b=2024+2025=4049.放选D. 7.C解析：因为P(,)为直线1上的点.所以f(1,)=0,则 x,)-)-2,2)=0可化为x,y)-f代2,2)=0又因为 P(x)为直线1外的点，所以八2)≠0且为常数.则八x,y)- f2)=0与f(x,y)=0平行.将P2(2,2)代人八x,) 八2)=0可得f尺2)x2)=0,即点P2(2)在该方程 表示的直线上，所以八x,y)-(x1,)-八，)=0表示过点P且 参考答案 与l平行的直线.故选 C. 1或， $$\frac { 3 } { 2 }$$ 解析 集合 $$A = \left\{ \left( x ， y \right) | \frac { y - 5 } { x - 2 } = 1 \right. \right\} = 1 \left( x ， y \right) | y = x + 3 .$$ \left.{x≠2}}，B={(x，y)|ax-y+2=0\right.}， A∩B=∅， ∴ 直线 y=x+3 与直线 ax-y+2=0 平行或 ax-y+2=0 )经过点(2. ). 即 a=1 1戒 $$2 a - 5 + 2 = 0 \Rightarrow a = \frac { 3 } { 2 } ，$$ ，故答案为 $$\frac { 3 } { 2 } ，$$ 9. 1或 $$\frac { 8 } { 5 }$$ 解析：如图 ①， 当 $$\angle A = \angle D = 9 0 ^ { \circ } 时$$ ， 因为四边形ABCD为直 角梯形，所以 AB//DC， AD⊥AB. 因为 $$k _ { B C } = 0 ，$$ ，所以 m=2，n=-1 1.所 以 m+n=1. 3 D. 2 D 2 4 $$\overrightarrow { 6 }$$ 6 4 5 6 B -2 如图 ②， $$\angle A = \angle B = 9 0 ^ { \circ }$$ 时，因为四边形 ABCD 为直角梯形，所 则AD∥BC， 且 AB⊥BC， ，所以 $$k _ { A D } = k _ { B C } ， k _ { A B } \cdot { k _ { B C } } = - 1 ，$$ ，所以 $$\left( \frac { n - 2 } { m - 2 } = \frac { 2 - \left( - 1 \right) } { 4 - 5 } ，$$ 解 $$m = \frac { 1 6 } { 5 } ， n = - \frac { 8 } { 5 } ，$$ 所 $$U _ { m } + n = \frac { 8 } { 5 } ，$$ $$\frac { n + 1 } { m - 5 } ， \frac { 2 - \left( - 1 \right) } { 4 - 5 } = - 1 ，$$ ，m+n= $$\frac { 8 } { 5 } .$$ 故答案为 $$\frac { 8 } { 5 }$$ 10.解： (1) 设 D(x，y)， ，在平行四边形 ABCD 中， AD∥BC， ，所以 $$k _ { A D } = k _ { A C } = \frac { 3 - 1 } { 0 - 4 } = - \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，所以直线AD的方程为 $$y - 0 = - \frac { 1 } { 2 } \left( x - 1 \right) ，$$ ，即 x+2y-1=0. (2) 因为 $$k _ { A C } = \frac { 3 - 0 } { 0 - 1 } = - 3 ，$$ ，所以 △ABC 中 AC 边上的高所在直线的方 程为 $$y - 1 = \frac { 1 } { 3 } \left( x - 4 \right) ， 则 x - 3 y - 1 = 0 .$$ 1.4 两条直线的交点 白题 基过关 1.BCD解析：对于 ，直线 $$l _ { 1 } ： y = \frac { 1 } { 2 } x + 2 ， l _ { 2 } ： y = \frac { 1 } { 2 } x + 2$$ 两直线重合， 故有无数个交点，故A错误；对于 B. 联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 = 0 ， \\ 2 x + y - 5 = 0 \end{array} \right.$$ y+2=0， 解得 {x=1，\right. y=3， 所以 $$l _ { 1 }$$ 与 $$l _ { 2 }$$ 的交点坐标为(1，3)，故B正确；对于 ，直线 $$l _ { 1 }$$ $$y = - 2 x - 2 ， l _ { 2 } ： y = - 2 x + 3$$ ，两直线斜率相等且不重合，故 $$l _ { 1 }$$ 与 $$l _ { 2 }$$ ，平行， 所以没有交点，故C正确；对于 D. ，直线 $$l _ { 1 } ： y = \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } ， l _ { 2 } ： y = x ， l _ { 3 } ：$$ y=-2x+3， ，可知直线 $$l _ { 1 } ， l _ { 2 } ， l _ { 3 }$$ 的斜率分别为 $$\frac { 1 } { 2 } ， 1 ， - 2 ，$$ -2.斜率都不相 等，故三条直线两两相交，故 D 正确.故选 BCD 2.c 解析：联立 (5x-3y-17=0， 5x-3y-17=0. 解得 $$\left\{ \begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = - 4 . \end{array} \right.$$ {x-y-5=0，\right. 将点 (1，-4) 代人到直线 ly=-4， ax+y-2=0， 得 a-4-2=0， ，故 a=6 .故选 $$C _ { 1 }$$ 3.D 解析：直线 $$l _ { 1 } ： y = k x + 1 \left( k \in R \right)$$ )过定点A(0，1)，且点A在直线 $$l _ { 2 }$$ 上，所以当 k=1 1 时，两直线重合；当 k≠1 时，两直线相交.故选 D. ( 4.A 解析：由 $$且 \left\{ \begin{array}{l} a x + y - a + 1 = 0 ， \\ x + 2 y - 4 = 0 ， \end{array} \right.$$ 得 3a+1=(2a-1)y， .因为两条直线的 x+2y-4=0. 交点在第一象限，故 2a-1≠0 且 $$y = \frac { 3 a + 1 } { 2 a - 1 } ，$$ $$x = \frac { 2 a - 6 } { 2 a - 1 } ，$$ 故 $$\int { \frac { 3 a + 1 } { 2 a - 1 } } > 0 ，$$ $$\left\{ \begin{array}{l} 2 a - 1 \\ \frac { 2 a - 6 } { 2 a - 1 } > 0 ， \end{array} \right.$$ $$a < - \frac { 1 } { 3 }$$ $$\frac { 1 } { 3 } 或$$ a>3， .故选 黑白题005 m×2+4×(-5)=0, m=10. 5.B解析：由题意可知{m+4p-2=0, 解得a=-12,故-m- 2-5p+n=0, p=-2, p=-20.故选B 6,BD解析：根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一 个点：当11，平行时可得a=-1,此时不合题意，因此a≠-1：当2 3平行时可得g=2,此时不合题意，因此a≠2：联立41,6，即 2=1=0解得交点坐标为(0,1).因此(0,1)不在h:2红+*四+ (x+y-1=0. a-2=0上，即可得+a-2≠0，因此a≠1：所以若三条直线围成一个 三角形，只需a≠-1且a≠1且a≠2即可.放选BD. 四易错提醒 三条直我能围成一个三角形应满足：三条直线两两不平行且不交于 一点，解决此类问题时，需要考虑全而，必要时可借助图形帮助理解， 7,AC解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.，直线x- y+1=0和直线2x+y-4=0不平行.直线x-y+1=0和直线r y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线x-y+2=0平行.：x-y+1=0 的斜率为1,2x+y-4=0的斜率为-2，r-y+2=0的斜率为a,∴a=1 或：=-2时，两直线分别平行且不重合，符合题意.故选AC. 息-412=0知指：联立直线仁0.每得6则其交位 为(4.0).因为直线1与直线y=子+1平行，所以设直线1的方程为 3 +6(b1),将点(4,0)坐标代入，得=-3直线1的方程为 3 y=43,即3x-412=0,故答案为3江-4y12=0 9,解：(1)由题图知∠0AB=120°，则直线AB的倾斜角为60°，直线AB 的斜率kw=V3,点A的坐标为(4,0).所以直线AB的方程为y= 3(x-4).即W3x-y-4W3=0. (2)因为0C∥AB,所以直线OC的方程为y=√3x,IOA1=1AB1= 4.侧直线0B的颜斜角为0，斜率m-.直线0B的方程为y v 5 3 解得=6，即点6.25).又BC10B, y=2w3. 3x-y-43=0, 则有直线BC的斜率=-3，因此直线BC的方程为y-23= -5(x-6),即=-3+8w3.由5， 解得任=4，所以 y=-3x+8v3 y=4/3. 点C的坐标是(4,4) 1.5平面上的距离 1.5.1平面上两点间的距离 白题 基础过关 1.C解析：由题意知.1ABI=/(-2-3)+(1-4)=√34，以线段AB 为直径的圆的半径是子1=，故选C 2.BC解析：设所求点的坐标为(a,1-a),则√(a+2)+(1-a-3)= √2.解得a=-3或a■-1.所以所求点的坐标为(-3.4)或(-1.2).故 选BC. 3.B解析：将直线方程mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x-4),令 一40解得4。由此可得直线1恒过点（4，-8)，不妨设为 ly+8=0. (y=-8. B(4,-8),所以点A到直线I的最远距离为1AB1,此时直线1垂直 于AB.又1AB1=√(2-4)2+(-4+8)2=25，所以点A到直线1的距 离的最大值为25.故选B. 4.CD解析：如图，：ax+y+3a-3=0变形为y-3=-a(r+3),故直线1 过定点C(-3,3),且斜*为-a.义14B1=/(-2-2)2+(-1-2)=5, 要想直线1：a+y+3a-3=0上存在点P满足1PA1+1PBI=5,即1：r+ 选择性必修第一册·SJ +3n-3=0与线段AB有交点，因为kc= 3-2 -3-2 4故e【] 5k=-3=(-2 解得ae[片小故C,D满足要求A.B情视 故选CD, 5.-1解析：由题意知两直线不平行，故a≠ 之，联立4：2+3y-1=0 3 a+6 与2：x+y+2=0.解得 2a-3 -5 因为点A在第二象限，故+6 y2a-3 2-3c0. -5 3 n+6 -5 2030,解得-6<a<2,由题意符 2a-3 2a-3 =2 解得。一1或号（合去）.放a-1故答案为-1 6.A解析：由题可知中点的坐标为(1,1)，故选A 7.B解析：设BC的中点为D,因为B(3,-2),C(5.4),所以D(4,1) 所以C边上的中线长1AD1=√(4-0)+(1-4)=5.枚选B. 8.C解析：由题意.设A(a.0).B(0.b).因为M(2,1)是线段AB的中 (a+0=2 2 点，则 解得a4所以A4.0),B0,2),则直线1的方程 0+6 1b=2. 2 =1. 为行子=1，即+24=0.故选C 9.x-3y+2=0 3 解标：松的中点标为(2号）-1， -3，故直线4的斜率为了，故直线4的方程为一1=(： 4+2 2 1),即x-3y+2=0-3y+2=0中，令x=0,得y=子，令y=0,得 =-2.故与两坐标辅的交点坐标分别为(0，号）和(-2.0)，故直 线4与坐标轴新所调皮的三角形的面积为宁子1-21=子放答案 12 为x-3+2=0:3 2 重难聚焦 10B解折：设a,6.则v中点户（宁兮）且n 由M,N两点关于直线：2x-y-6=0对称，且k=2,则 2x- 1-1 e2o 公1，即N5-.故选B 四方法总结 已知点P以x0o)关于直线：+y+C=0的对称点Q(a,b),则： ①PQ的中点 xnta yo+b 22 在直线1：Ar+By+C=0上： ②PQ所在直线与直我I:A+B+C=0垂直 11.C解析：因为两点P(a,-b)与(b+1,a-1)关于点(3.4)对称.可得 (atb+L-3 2 即h怎5解得=7，所以b=7x-2》=-14故选C -h-1 a-b=9. 1b=-2, =4, 2 四重难点拨 点关于点的对称问本质上是对中点坐标公式的考查 黑白题0061.4两条直线的交点 白题 基础过关 限时：25min 题组两条直线的交点的坐标应用 6.(多选)(2025·江苏南通高二月考)若三条直 1。(多选)下列选项中，正确的有 ( 线1：2x-y+1=0,2:x+y-1=0,l3:2x+ay+ A.直线1：x-2y+4=0和l2:2x-4y+8=0的 a-2=0可以围成一个三角形，则实数a的值 交点坐标为(2,1) 可以为 ( B.直线l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5=0的交点 A.-1 B.0 C.1 D.3 坐标为(1,3) 7. 苏教版教材变式（多选）若三条直线2x+y C.直线1：2x+y+2=0和l2:y=-2x+3没有 4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点， 交点 则实数a的值为 () D.直线11：x-2y+1=0、2:y=x和L3:2x+y A.1 B.2 C.-2 D.-1 3=0两两相交 2.(2025·广东广州高二期中)若直线ax+y-2= &直线1与直线y子+1平行，且过直线y 0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交 4与2x+3y-8=0的交点，则直线1的方程 点，则a 为 A.2 B.4 C.6 D.8 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 3.(2025·广东东莞高二月考)已知直线1： OABC满足IOAI=IABI=4,∠OAB=120°， y=kx+1(k∈R),直线l2:x-y+1=0,则直线1 BC⊥OB,OC∥AB 与，的位置关系是 (1)求直线AB的方程； A.平行 B.相交 (2)求点C的坐标 C.重合 D.相交或重合 4.(2025·福建厦门高二期中)若直线ax+y-a+ 1=0与x+2y-4=0的交点位于第一象限，则 实数a的取值范围是 A.（,)u(3,+） R.(号3 c.(-0,-3)u(兮，+） D.(3) 5.(2025·江苏扬州高二月考)已知直线mx+ 4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为 (1,p),则n-m-p= ( A.-24B.-20 C.0 D.4 第1章黑白题009 1.5. 平面上的距离 1.5.1 平面上两点间的距离 白题 基础过关 限时：25min 题组1平面上两点间的距离公式及应用 7.(2025·江苏扬州高二期中)已知△ABC的顶 1.(2025·江苏常州高二期中)已知A点坐标为 点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上 (-2,1),B点坐标为(3,4)，以线段AB为直 的中线长为 径的圆的半径是 A.4 B.5 C.32 D.42 A.4 B.34 8.(2025·江苏徐州高二月考)直线1分别交 C.34 x轴和y轴于A,B两点，若M(2,1)是线段AB D.2 的中点，则直线的方程为 2.（多选)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距 A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=0 离等于2的点的坐标是 ( 9.(2025·广东广州高二期中)已知两点A(0,4), A.(-4,5) B.(-3,4) B(2,-2),直线L1为线段AB的垂直平分线， C.(-1,2) D.(0,1) 则直线（的方程为 :直线1与 3.(2025·广东汕头高二期中)点A(2,-4)到直 坐标轴所围成的三角形的面积为 线l:mx-y-4m-8=0(m为任意实数)的距离 重难聚焦 的最大值是 ( 题组3平面上的对称问题 A.5 B.25 10.(2025·江苏盐城高二期中)已 C.4 D.5 知直线：2x-y-6=0,则点 4.（多选)(2025·山西朔州高二月考)已知点 M(1,1)关于直线1的对称点N的坐标为 A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上 ( 存在点P满足IPAI+IPBI=5,则a的值可 A.(-1,5) B.(5,-1) 能为 C.(-5,1) D.(1,-5) A.-2 B.0 11. 已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1) C.1 D.3 关于点(3,4)对称，则ab= 5.(2025·江苏常州高二月考)若直线l1:2x+ A.-5 B.14 3y-1=0与l2:x+ay+2=0在第二象限相交于 C.-14 D.5 点A,且点A到原点的距离为2，则a的 12.(2025·山东淄博高二期中)已 值为 知点P(1,4),Q(6,3),直线1： 题组2中点公式及应用 x+y-3=0,M为直线1上一动点， 6.在平面直角坐标系x0y中，设点A(3,-2), 则IMP+IMQ1的最小值为 B(-1,4),则线段AB的中点坐标为( 13.(2025·江苏南通海门中学高二月考)直线 A.(1,1) B.(-2,3) 1:3x-y-3=0关于直线2：x+y-1=0的对 C.(2,2) D.(2,-3) 称直线方程为 选择性必修第一册，SJ黑白题010