2.1不等式的性质和一元二次方程、不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

§2.1 不等式的性质和一元二次方程、不等式 目录 知识点一：不等式的性质 2 考点1：不等式的性质的应用 2  由已知条件判断不等式是否正确 2  比较数（式）大小 3  利用不等式求值或取值范围 4 知识点二：一元二次方程、不等式 5 考点2： 求一元二次不等式的解集 6  不含参的不等式 6  含参的不等式 7 考点3： 三个”二次“之间的关系 7 考点4： 一元二次不等式恒（能）成立问题 8  在R上恒成立 8  在给定区间上恒成立 9  在某区间上能成立 10 考点5：一元二次方程根的分布 10 【强化训练】 14 知识点一：不等式的性质 1. 不等式的基本性质 对称性：. 传递性：. 可加性：①；②. 可乘性：①； ②同向同正可乘性：. 可乘方性：． 可开方性：. 2. 不等式的倒数和分数性质 倒数性质：①； ②； ③. 分数性质（糖水不等式）：若， ，则 ①真分数性质：；；②假分数性质：；. 考点1：不等式的性质的应用 · 由已知条件判断不等式是否正确 方法提炼 (1) 直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2) 利用特殊值排除法； 【例1.1.】 已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 ，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （多选）已知，则下列各选项正确的是（   ） A． B． C． D． · 比较数（式）大小 方法提炼 比较数（式）大小的常用方法： (1) 作差法 1　 基本原理：⑴；⑵；⑶． 当时，； 2　 步骤：作差变形定号得出结论． (2) 作商法 1　 基本原理： 2　 步骤：作商变形判断商与1的大小关系得出结论． (3) 构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【例1.5.】 若，则有（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 （多选）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 （多选）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． · 利用不等式求值或取值范围 方法提炼 已知，，求取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 【例1.9.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.10.】 已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.11.】 设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【例1.12.】 设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.13.】 若实数，且，则的取值范围是 . 【例1.14.】 已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 知识点二：一元二次方程、不等式 1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 2. 或型不等式的解集 不等式 解集 {x|x≠a}  3. 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4. 绝对值不等式 （1）； 推广： ； （2）或； 推广：或； （3）或； （4）； （5）与的三种解法： 1　 数轴上的几何意义： 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距之和，； 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之差，. 2　 采用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想. 3　 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 考点2： 求一元二次不等式的解集 · 不含参的不等式 方法提炼 解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． (1) 因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； (2) 配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； (3) 图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集． 【例2.1.】 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 不等式的解集为 ． · 含参的不等式 方法提炼 解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． (1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； (2) 关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； (3) 关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 【例2.4.】 若，解关于的不等式. 【例2.5.】 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点3： 三个”二次“之间的关系 方法提炼 (1) 一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2) 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【例3.1.】 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知，，且，则ab的最大值为 ． 【例3.4.】 已知对，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点4： 一元二次不等式恒（能）成立问题 · 在R上恒成立 方法提炼 (1) 对任意实数恒成立的条件是或. (2) 对任意实数恒成立的条件是或. 【例4.1.】 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． · 在给定区间上恒成立 方法提炼 有两种命题情况：一是自变量在给定区间上恒成立;二是在给定参数的范围上恒成立.这两种情况的解法为： (1) 不等式解集法：若在区间上恒成立，且不等式的解集为，则； (2) 函数最值法：已知函数的值域为，则恒成立⇒ ，即；恒成立⇒，即. (3) 分离参数法：将参数与变量分离，即化成或的形式，通过解不等式或得的取值范围. (4) 主参换位法：即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. (5) 数形结合法：结合函数图像将问题转化为函数图像的对称轴、区间端点的函数值或函数图像的位置（相对于轴）关系求解. 【例4.4.】 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【例4.5.】 （多选）已知，，且不等式恒成立，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【例4.6.】 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【例4.7.】 若，对，均有恒成立，则的最小值为 【例4.8.】 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． · 在某区间上能成立 方法提炼 不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1) 若存在，有解⇒； (2) 若存在，有解⇒. 【例4.9.】 若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.10.】 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例4.11.】 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点5：一元二次方程根的分布 方法提炼 一般情况下需要从以下4个方面考虑： ①开口方向；②方程的根的判别式；③对称轴与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负. (1) 两根在同一区间 根的分布 大致图像 结论 (2) 两根不在同一区间【抓①开口方向②区间端点函数值的正负】 根的分布 大致图像 结论 或 (3) 在区间上只有一根 或 (4) ①方程有两个不等的负根 ②方程有两个不等的正根 ③方程有一正根和一负根 【例5.1.】 关于方程在内恰有一解，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ． 【例5.3.】 已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 . 【例5.4.】 已知．若，求的最大值为 ；若且，求的最大值为 . 【强化训练】 1. 若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 3. 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4. 已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5. 若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7. （多选）若，则（   ） A． B． C． D． 8. （多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 9. 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 10. 若，使成立，则实数的取值范围是 ． 11. 已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.1 不等式的性质和一元二次方程、不等式 目录 知识点一：不等式的性质 2 考点1：不等式的性质的应用 2  由已知条件判断不等式是否正确 2  比较数（式）大小 4  利用不等式求值或取值范围 6 知识点二：一元二次方程、不等式 9 考点2： 求一元二次不等式的解集 11  不含参的不等式 11  含参的不等式 12 考点3： 三个”二次“之间的关系 14 考点4： 一元二次不等式恒（能）成立问题 16  在R上恒成立 16  在给定区间上恒成立 18  在某区间上能成立 22 考点5：一元二次方程根的分布 23 【强化训练】 29 知识点一：不等式的性质 1. 不等式的基本性质 对称性：. 传递性：. 可加性：①；②. 可乘性：①； ②同向同正可乘性：. 可乘方性：． 可开方性：. 2. 不等式的倒数和分数性质 倒数性质：①； ②； ③. 分数性质（糖水不等式）：若， ，则 ①真分数性质：；；②假分数性质：；. 考点1：不等式的性质的应用 · 由已知条件判断不等式是否正确 方法提炼 (1) 直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2) 利用特殊值排除法； 【例1.1.】 已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，令，则，B错误； 对于C，令，则，C错误； 对于D，单调递减，则时，成立，D正确. 故选：D. 【例1.2.】 ，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C、D，若，，，故C、D错误， 故选：B． 【例1.3.】 （多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，两式相乘得，所以，A正确； 由题得，又，两式相乘得，所以，B错误； 因为，所以两式相乘得，C正确； 因为，所以两式相乘得，D错误． 故选：AC 【例1.4.】 （多选）已知，则下列各选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误． 故选：AC · 比较数（式）大小 方法提炼 比较数（式）大小的常用方法： (1) 作差法 1　 基本原理：⑴；⑵；⑶． 当时，； 2　 步骤：作差变形定号得出结论． (2) 作商法 1　 基本原理： 2　 步骤：作商变形判断商与1的大小关系得出结论． (3) 构造函数，利用函数的单调性比较大小． 【例1.5.】 若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以， ， 又因为， 所以，即. 故选：B. 【例1.6.】 若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在R上单调递增，所以． 又，所以． 因为，故在上单调递减， 所以，所以， 所以实数的大小关系为， 故选：B． 【例1.7.】 （多选）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为在为增函数，由有， 对于A：由，因为，所以，故A正确； 对于B：由，当时，，即，故B错误； 对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确； 对于D：令，则，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，故D错误. 故选：AC. 【例1.8.】 （多选）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. · 利用不等式求值或取值范围 方法提炼 已知，，求取值范围的步骤： 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 【例1.9.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 【例1.10.】 已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 【例1.11.】 设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【详解】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A 【例1.12.】 设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： ， 当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【例1.13.】 若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 【例1.14.】 已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，整理得， 因为， 解得， ， 设，则， 令得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，， ，， 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 知识点二：一元二次方程、不等式 1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 2. 或型不等式的解集 不等式 解集 {x|x≠a}  3. 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4. 绝对值不等式 （1）； 推广： ； （2）或； 推广：或； （3）或； （4）； （5）与的三种解法： 1　 数轴上的几何意义： 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距之和，； 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之差，. 2　 采用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想. 3　 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 考点2： 求一元二次不等式的解集 · 不含参的不等式 方法提炼 解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． (1) 因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； (2) 配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； (3) 图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集． 【例2.1.】 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【例2.2.】 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 【例2.3.】 不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为，所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：或；或；. · 含参的不等式 方法提炼 解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． (1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； (2) 关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； (3) 关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 【例2.4.】 若，解关于的不等式. 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【例2.5.】 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 【例2.6.】 已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 考点3： 三个”二次“之间的关系 方法提炼 (1) 一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2) 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【例3.1.】 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 【例3.2.】 一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 【例3.3.】 已知，，且，则ab的最大值为 ． 【答案】18 【详解】设，则，代入已知式得， 化简得， 由，解得或. 因为，，所以，故. 所以. 故答案为：18. 【例3.4.】 已知对，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，不等式恒成立， 当时，即，解得或，此时， 当时，即，解得，此时， 所以，的两根分别为，， 由根与系数的关系得：，， 则，， 所以，即， 化简得：，解得或，故D项正确. 故选：D. 考点4： 一元二次不等式恒（能）成立问题 · 在R上恒成立 方法提炼 (1) 对任意实数恒成立的条件是或. (2) 对任意实数恒成立的条件是或. 【例4.1.】 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，且方程时，， 解得， 即的取值范围为． 故选：A． 【例4.2.】 若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 【例4.3.】 已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得， 即对一切实数x恒成立． 当时，不可能恒成立， 从而由二次函数的性质可得，只能，解得． 因此实数a的取值范围为． 解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得， 令，则原问题转化为对恒成立． 当时，抛物线开口向下，显然不合题意； 当时，，其图像是一条直线，也不合题意； 当时，抛物线开口向上，只要，即． 解得或，∴，因此实数a的取值范围为． 解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）： ∵恒成立． ∴问题转化为对恒成立，从而． 令，则， 令，则或． 从而在，上单调递增，在上单调递减． 又，且当时，，故． 于是，因此实数a的取值范围为． 故答案为：. · 在给定区间上恒成立 方法提炼 有两种命题情况：一是自变量在给定区间上恒成立;二是在给定参数的范围上恒成立.这两种情况的解法为： (1) 不等式解集法：若在区间上恒成立，且不等式的解集为，则； (2) 函数最值法：已知函数的值域为，则恒成立⇒ ，即；恒成立⇒，即. (3) 分离参数法：将参数与变量分离，即化成或的形式，通过解不等式或得的取值范围. (4) 主参换位法：即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. (5) 数形结合法：结合函数图像将问题转化为函数图像的对称轴、区间端点的函数值或函数图像的位置（相对于轴）关系求解. 【例4.4.】 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 【例4.5.】 （多选）已知，，且不等式恒成立，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】由，，则不等式， 令， 则， 又，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 则，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当，即时，等号成立； 故，当且仅当时，等号成立； 所以，解得， 因此可得的最小值为，的最大值为， 故选：AB. 【例4.6.】 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】根据题意，可得对于函数， ①若，则，此时 恒成立， 因此，只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可， 因为，所以， 因此； ②若，则或， 当时，恒成立， 因此只需满足在上恒成立即可， 不妨取，此时， 由于，故，故不合题意； 当时，恒成立， 因此只需满足在上恒成立即可， 不妨取，此时， 由于，故，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【例4.7.】 若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 【例4.8.】 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，而时，所以 又， 所以当时，， 当时，， 做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由解得，所以， 故选：D. · 在某区间上能成立 方法提炼 不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1) 若存在，有解⇒； (2) 若存在，有解⇒. 【例4.9.】 若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 设，，其中在区间上单调递减， 所以有最小值为， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 【例4.10.】 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以由一元二次函数的图像和性质的得， 所以， 故选：D 【例4.11.】 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 考点5：一元二次方程根的分布 方法提炼 一般情况下需要从以下4个方面考虑： ①开口方向；②方程的根的判别式；③对称轴与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负. (1) 两根在同一区间 根的分布 大致图像 结论 (2) 两根不在同一区间【抓①开口方向②区间端点函数值的正负】 根的分布 大致图像 结论 或 (3) 在区间上只有一根 或 (4) ①方程有两个不等的负根 ②方程有两个不等的正根 ③方程有一正根和一负根 【例5.1.】 关于方程在内恰有一解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，不合题意； ∴，令，有，，要使在内恰有一个零点， ∴即可，则， 故选：B 【例5.2.】 已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【详解】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 【例5.3.】 已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去； （2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况， 即此时方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （3）当时，因为， 所以方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （4）当时，函数与轴有两个零点 函数与轴有两个零点 因为，所以即 作出函数与函数图象，    由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根， 综上，满足条件的取值范围为或，即 故答案为： 【例5.4.】 已知．若，求的最大值为 ；若且，求的最大值为 . 【答案】 3 3 【详解】设，则, 代入得, 即 令,开口向上，则, 要想在上有解，则或, 由,解得, 由，即,, 综上，，故的最大值为，此时，即. 设,由于且,故, 将代入得, 即,要在上有解， 则 解得,又，故, 当时，，即，解得,此时,符合要求， 故的最大值为. 故答案为：3；3. 【强化训练】 1. 若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 故， 故选：D 2. 已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 3. 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，等价于， 解得， 故原不等式的解集为. 故选：. 4. 已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】令二次函数， 则二次函数开口向上，且对称轴为， 根据二次函数对称性可知： 若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足， 即，解得， 故选：D. 5. 若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 6. （多选）已知，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对A，，，， ，即，即，故A正确， 对B，若，则，则，故B错误， 对C，若，若，则， 函数，根据增函数加增函数为增函数的结论得在上单调递增， ，则，故C正确， 对D，若，则，，则，故D错误， 故选：AC. 7. （多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A：因为，则， 所以，所以，A错误； 对B：记，则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，即，B正确； 对C：因为，所以，， ，因，故等号不成立， 则，所以，C正确； 对D：记，则， 记，则，故， 所以在上单调递减，， 则，所以在单调递减， 又，所以，即，即，D错误. 故选：BC. 8. （多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 9. 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 10. 若，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得，， 因为，所以，根据题意，即可， 设，易知在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 故答案为： 11. 已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【详解】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以实数n的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$